导图社区 高等代数线性方程组
这是一篇关于高代线性方程组思维导图，包含消元法、n维向量空间、线性相关性、线性方程组有解判别定理等。
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第三章 线性方程组
1. 消元法
初等变换
用一非零的数乘某一个方程
把一个方程的倍数加到另一个方程
互换两个方程的位置
不改变解
消元法解线性方程组
用初等变换将线性方程组化成阶梯形方程组
把最后的一些恒等式“0=0"(如果出现的话)去掉
如果剩下的是一些0=非零的数，那么方程组无解，反之有解
定理
在齐次线性方程组中，如果s<n，那么必有非零解
证明：因为方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，即r£s<n,由r<n可知，它的解不是唯一的，因而必有非零解
2. n维向量空间
定义
所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组（1），称为向量（1）的分量
以数域P中的数作为n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间
性质
对应分量相等，则向量相等
向量可相加减
加法交换律，结合律
零向量
分量全为零的向量（0,0,...,0),记为0
负向量
a-b=a+(-b)
数量乘法的运算规则
k(a+b)=ka+kb
(k+l)a=ka+la
k(la）=(kl)a
1a=a
3. 线性相关性
线性组合
向量a称为向量组的一个线性组合，如果有数域P中的数，使（a可以经向量线性表出）
零向量是任一向量组的线性组合
n维单位向量
任一个n维向量都是向量组的一个线性组合，因为，向量称为n维单位向量
等价
两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价
自反性
对称性
传递性
等价的性质
线性相关
如果向量组（s³2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关
任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的
三个向量线性相关的几何意义就是他们共面
向量组（s³1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数使
部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关
两个成比例的向量是线性相关
向量组a线性相关就表示a=0
n维单位向量组成的向量组是线性无关的
向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解
设与是两个向量组，if向量组可以经线性表出r>s.那么向量组必线性相关
推论：如果向量组可以经线性表出，且向量组线性无关，那么r£n
任意n+1个n维向量必线性相关
两个线性无关的等价的向量组，必含有相同的个数的向量
极大线性无关组
一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，if这个部分组本身是线性无关，并且从这向量组中任意添一个向量（if还有的话），所得的部分向量组都线性相关
一向量组的极大线性无关组都含有相同的个数的向量
4. 矩阵的秩
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
矩阵A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，当A为零矩阵时，A的秩为零
K阶子式
在 sxn 矩阵 A 中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列的交点上的k方个元素按原来的次序所组成的k级行列式,称为A的k阶子式
A的秩=A的行秩=A的列秩
矩阵的初等列变换和初等行变换皆不改变该矩阵的秩，列秩和行秩
推论
矩阵A的秩等于A在初等行变换下的阶梯形矩阵中非零行的数目。
设，则A的列向量组（行向量组）线性相关的充分必要条件是|A|=0，线性无关的充分必要条件是|A|≠0
5. 线性方程组有解判别定理
线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩
6. 线性方程组解的结构
齐次线性方程组的解的集合的性质
两个解的和还是方程组的解
一个解的倍数还是方程组的解
基础解系
奇次线性方程组的一组解称为它的一个基础解系，如果
1）奇次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合
2）线性无关
不是唯一的
任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系
在齐次线性方程组有非零解（|A=0|）的情况下，它有基础解系，并且基础解系的个数等于n-r，r为系数矩阵的秩
也就是自由未知量的个数
如果是线性方程组（1）的一个特解，那么线性方程组（1）的任一个解¡都可以表成
h是导出组的一个解
在线性方程组有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解
关系
线解-线解=导出组的解
齐次线性方程组的解
线解+导出解的解=线解
如果全为0，就线性无关
if阶梯形方程组r(方程的个数)=n(未知量的个数)，则方程组有唯一的解，r<n方程组有无穷多解
