函数及极限思维导图

这是一篇关于函数及极限思维导图，包含函数的极限、极限运算法则、函数的连续性等。希望对你有所帮助！

函数及极限

基本初等函数

常函数：y=c（c为常数）

幂函数：y=x^a

指数函数：y=a^x（a>0且a≠1）

对数函数：y=logax（a>0且a≠1）

三角函数

正弦函数：y=sinx

余弦函数：y=cosx

正切函数：y=tanx

余切函数：y=cotx

正割函数：y=secx

余割函数：y=cscx

函数的极限

定义：设函数f(x)在点x0的某个去心领域U内有定义，如果当x→x0时，函数值f(x)能够无限趋近于某个常数A，则称当x→x0时，函数f(x)的极限为A，记作lim[x→x0]f(x)=A。

定理：函数f(x)当x→x0时极限存在的充要条件是左极限与右极限同时存在且相当，即lim[x→x0-]f(x)=lim[x→x0+]f(x)

无穷小量和无穷大量

无穷小量

定义：极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。

lim[x→x0]f(x)=A→0

性质

有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量

有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量

常量与无穷小量的乘积为无穷小量

有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量

比较

高阶无穷小/低阶无穷小

若β/α=0，则称β是α的高阶无穷小，记作β=0(α)。

（例：当x→0时，x³是x²的高阶无穷小。）

同阶无穷小

若limβ/α=C（C≠0），则称β与α是同阶无穷小。

（例：y=2x与y=x是同阶无穷小）

等价无穷小

特别是当C=1时，则称β与α时等价无穷小。记作α~β。

替换公式（当x→0时）

sinx~x

arcsinx~x

tanx~x

arctanx~x

e^x-1~x

ln(1+x)~x

1-cosx~1/2x²

(1+αx)^β~αβx

无穷大量

定义：在自变量x的某个变化过程中，相应的函数值的绝对值 |f(x)| 能够无穷增大，则称f(x)为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大。

（例：当x→0时，1/x，1/x²，1/sinx，1/tanx都是无穷大量）

（例：当x→∞时，x²，e^x，ln(x+1)都为无穷大量。）

与无穷小量的关系

在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小

恒不等于零的无穷小的倒数为无穷大

极限运算法则

定理：设limf(x)=A，limg(x)=B，则有

四则运算法则依然成立

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B

lim[f(x)g(x)]=limf(x)·limg(x)=A×B

limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B（B≠0）

推论：设limf(x)=A

若C为常数，则lim[Cf(x)]=Climf(x)=CA

若n为正整数，则lim[f(x)]ⁿ=Aⁿ

极限运算

0/0式求解方法

分解因式

有理化

约掉分母为0的项，方便计算

∞/∞式求解方法

分子分母同时除以x的最高次幂

两个重要极限

lim[x→0]sinx/x=1

lim[x→0](1+x)^1/x=e 或 lim[x→∞](1+1/x)^x=e

函数的连续性

函数f(x)在点x0处连续

增量：△x与△y

定义：lim[x→x0]f(x)=f(x0)

判断连续的步骤

f(x)在点x0处有定义

lim[x→0]f(x)存在

lim[x→x0]f(x)=f(x0)

函数在区间上的连续

左连续

右连续

函数不连续或间断

定义：若函数f(x)在点x0满足下列条件之一，则称点x0为函数f(x)的间断点或不连续点。

f(x)在点x0处无定义

lim[x→x0]f(x)不存在

lim[x→x0]f(x)≠f(x0)

间断点的分类

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：若lim[x→x0-]f(x)与lim[x→x0+]f(x)都存在，且lim[x→x0-]f(x)=lim[x→x0+]f(x)，但是f(x)在x0处无定义。则称点x0为f(x)的可去间断点。

跳跃间断点：若lim[x→x0-]f(x)与lim[x→x0+]f(x)都存在，但是lim[x→x0-]f(x)≠lim[x→x0+]f(x)，则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点。

第二类间断点（左或右极限至少有一个不存在）

无穷间断点：若limf(x)=∞，或lim[x→x0-]f(x)=∞，或lim[x→x0+]f(x)=∞，则称点x0为函数f(x)的无穷间断点。

震荡间断点：若当x→x0时，函数值f(x)无限次地在两个不同的数之间变动，则称点x0为函数f(x)的震荡间断点。

零点定理

定义：令y=0时，求x的值

判断步骤：f(a)·f(b)<0