初中数学知识网络建构（LJ）- 整式的乘除

本思维导图用15面简单清晰的思维导图，整理了整式的乘除这一章的定义及公式，有助于大家更深入地理解和运用本单元的知识点。在弄清楚概念和公式的基础上，再进行题目的训练。

同 底 数 幂 的 乘 法

• 特点
  • 底数相同的幂相乘
    • 前提
• 公式
  • （m，n都是正整数）
    • 推广
      • （m，n，p都是正整数）
    • 逆用
      • （m，n都是正整数）【指加幂乘】
• 法则
  • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加【底同指加】
• 实质
  • 将乘法运算转化为指数的加法运算

幂 的 乘 方

• 特点
  • 几个相同的幂相乘
• 公式
  • （m，n都是正整数）
    • 推广
      • （m，n，p都是正整数）
    • 逆用
      • （m，n都是正整数）
• 法则
  • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
• 实质
  • 指数作乘法运算

积 的 乘 方

• 特点
  • 底数是乘积形式的乘方
• 公式
  • （n是正整数）【首先确定底数有几个因式】
    • 推广
      • （n是正整数）
    • 逆用
      • （n是正整数）【前提：指数相同】
• 法则
  • 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
• 实质
  • 将指数“分配”给每一个因式

同 底 数 幂 的 除 法

• 特点
  • 底数相同的幂相除
• 公式
  • （a≠0，m，n都是正整数，且m>n）
    • 推广
      • （a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n+p）
    • 逆用
      • （a≠0，m，n都是正整数，且m>n）【指减幂除】
• 法则
  • 同底数幂相除，底数不变，指数相减【底同指减】
• 实质
  • 将除法运算转化为指数的减法运算

整 数 指 数 幂 的 运 算

• 同底数幂的乘法
  • （m，n都是整数）
• 幂的乘方
  • （m，n都是整数）
• 积的乘方
  • （n是整数）
• 同底数幂的除法
  • （a≠0，m，n都是整数）
• 零指数幂
  • （a≠0）
• 负整数指数幂
  • （a≠0，p是整数）

单 项 式 乘 单 项 式

• 法则
  • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘， 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
• 实质
  • 把单项式乘法转化为有理数乘法和同底数幂的乘法
• 步骤
  • （1）系数：积的系数等于各因式系数的积
  • （2）相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
  • （3）单独字母：连同它的指数不变，作为积的因式

单 项 式 乘 多 项 式

• 法则
  • 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再 把所得的积相加
• 公式
• 实质
  • 把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式
• 步骤
  • 乘：利用分配律，转化为单项式乘单项式
  • 加：将单项式与单项式相乘的结果相加

多 项 式 乘 多 项 式

• 法则
  • 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每 一项，再把所得的积相加
• 公式
• 实质
  • 把多项式乘多项式转化为单项式与多项式相乘

平 方 差 公 式

• 公式
  • 【首先确定相同项和相反项】
• 语言描述
  • 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
• 推导过程
• 结构特征
• 逆用公式

完 全 平 方 公 式

• 公式
  • 【首平方，尾平方，2倍首尾放中央】
• 语言描述
  • 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍
• 推导过程
• 结构特征
• 逆用公式

整 式 的 乘 法

• 单项式乘单项式
  • 转化为有理数乘法和同底数幂的乘法
• 单项式乘多项式
• 多项式乘多项式
  • • 平方差公式
    • 完全平方公式

单 项 式 除 以 单 项 式

• 法则
  • 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
• 实质
  • 把单项式除以单项式转化为有理数除法和同底数幂的除法
• 步骤
  • （1）系数：商的系数等于各因式系数的商【首先确定商的符号】
  • （2）相同字母：同底数幂相除，底数不变，指数相减
  • （3）单独字母：只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式

多 项 式 乘 单 项 式

• 法则
  • 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再 把所得的商相加
• 公式
• 实质
  • 把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式

整 式 的 除 法

• 单项式除以单项式
  • 转化为有理数除法和同底数幂的除法
• 多项式除以单项式

整 式 的 除 法

• 幂 的 运 算
  • 幂的乘方
    • （m，n都是正整数）
  • 同底数幂的乘法
    • （m，n都是正整数）
  • 积的乘方
    • （n是正整数）
  • 同底数幂的除法
    • （a≠0，m，n都是正整数，且m>n）
  • 指 数 是 整 数 时 仍 然 适 用
  • 零指数幂
    • （a≠0）
  • 负整数指数幂
    • （a≠0，p是整数）
• 整 式 的 乘 法
  • 单项式乘单项式
    • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相 乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
  • 单项式乘多项式
    • 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加
  • 多项式乘多项式
    • 多项式与多项式相乘，先用 一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项，再把所 得的积相加
      • 平方差公式：
      • 完全平方公式：
• 整 式 的 除 法
  • 单项式除以单项式
    • 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
  • 多项式除以单项式
    • 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所 得的商相加
• 科 学 计 数 法
  • 一般地，一个绝对值小于1的数可以表示为a×10ⁿ，其中1≤a<10，n是负整数. n的绝对值等于原数中从左到右第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的一个零）.