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数学思维导图
这是一篇关于数学思维导图，职高数学知识点，包含集合与数理逻辑、不等式、函数等知识总结。
编辑于2023-11-14 20:55:53
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数学知识梳理
集合与数理逻辑
特性
确定性
互异性
无序性
子集个数
2ⁿ
真子集
2ⁿ-1
非空子集
2ⁿ-1
非空真子集
2ⁿ-2
运算
交集
A∩B，｛x⎮x∈A且x∈B｝
取公共部分
并集
A∪B，｛x⎮x∈A或x∈B｝
取全部
补集
CᵤA，｛x⎮x∈U且x∉A｝
取剩下
条件
p＝＞q
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p＜＝q
q是p的充分条件，p是q的必要条件
p＜＝＞q
p是q的充要条件，q是p的充要条件
p＜≠＞q
其他
小范围推大范围
小推大
A＝｛x⎮p（x）｝，B＝｛x⎮q（x）｝，p（x）＝＞q（x）＜＝＞A⊆B
子集与推出的关系
不等式
性质
a>b，b＞c＝>a＞c
a＞b<＝>a＋c＞b＋c
a＞b，c＞0＝>ac＞bc
a＞b，c＜0＝>ac＜bc
a＞b，c＞d=>a＋c＞b＋d
a＞b＞0，c＞d＞0＝>ac＞bd
a＞b＞0＝>aⁿ>bⁿ
n∈N，n≥1
a＞b＞0＝>ⁿ√a＞ⁿ√b
n∈N，n≥2
一元二次
△=b²－4ac
△＞0
x₁，₂=-b±√b²-4ac/2a（令x₁＜x₂）
有两个相异的实数根
ax²+bx+c=0
｛x丨x＜x₁或x>x₂｝
大于取两边
ax²+bx+c＞0
｛x丨x₁＜x＜x₂｝
小于取中间
ax²+bx+c＜0
△=0
x₁＝x₂=-b/2a
有两个相等的实数根
ax²+bx+c=0
｛x丨x≠-b/2a｝
ax²+bx+c＞0
空集
ax²+bx+c＜0
△＜0
没有实数根
ax²+bx+c=0
R
ax²+bx+c＞0
空集
ax²+bx+c＜0
含绝对值
绝对值性质
⎮x⎮＜a－a＜x＜a（a＞0）
小于取中间
⎮x⎮＞a<＝>x＜－a或x＞a（a＞0）
大于取两边
不等式
｜ax＋b｜≦c<=>-c≦ax＋b≦c(c＞0)
小于取中间
｜ax＋b｜≧c<=>ax＋b≦-c或ax＋b≧c(c＞0)
大于取两边
函数
f（x）
定义域的求法
f（x）是整式时，定义域是全体实数，如一次函数y=kx＋b,二次函数y=ax²＋bx＋c等
f（x）是分式函数式,分式的分母不为零
f（x） 是偶次根式时,被开方式为非负值；f（x）奇次根式时，被开方式无要求；零的零次方无意义
对数函数的真数大于零
对数或指数型函数的底数需大于0或不等于1
y=tan x中，x≠k兀+兀/2（K∈Z）
求函数的值域或最值
配方法
数形结合法
单调性
增函数
对于函数f（x）定义域内某个区间上的任意两个自变量x₁，x₂当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）
函数图像上升
减函数
对于函数f（x）定义域内某个区间上的任意两个自变量x₁,x₂,当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）
函数图像下降
奇偶性
奇函数
f（-x）=-f（x）
关于原点对称
偶函数
f（-x）=f（x）
关于y轴对称
判断奇偶性的方法
四则运算法
奇＋奇=奇
奇＋偶=非奇非偶
偶＋偶=偶
奇×偶=奇
偶×偶=偶
若函数f（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则f（0）=0
奇函数在y轴两侧对称区间上单调性相同,若有最值，则最值相反,偶函数在y轴两侧对称区间上单调性相反,若有最值，则最值相同
一次函数
y=ax²＋bx＋c（a≠0）
a>0
开口向上
x=-b/2a时有最小值4ac-b²/4a
单调性
x∈（-∞，-b/2a]时
单调递减
x∈[-b/2a，+∞）时
单调递增
对称轴
x=-b/2a
顶点坐标
（-b/2a，4ac-b²/4a）
奇偶性
b=0
偶函数，图像关于y轴对称
b≠0
非奇非偶
a<0
开口向下
最值
x=-b/2a时，有最大值
对称轴
x=-b/2a
顶点坐标
（-b/2a，4ac-b²/4a）
单调性
x∈（-∞，-b/2a]时
单调递增
x∈[-b/2a，+∞）时
单调递减
奇偶性
b=0
偶函数图像关于y轴对称
b≠0
非奇非偶
指数函数
幂函数
y=xᵃ（α是常数）
性质
过定点
幂函数在（0，+∞）都有定义，且图像恒过点（1，1）
单调性
在（0，+∞）上，当a>0时，函数在定义域内是增函数
a<0时，函数在定义域内是减函数
奇偶性
当a为奇数时，幂函数为奇函数
为偶函数时，函数在定义域内为偶函数
定义
y=aᵃ（a＞0且a≠1）
定义域
R
值域
（0，+∞）
过定点
图像过定点（0，1）
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
当a>1时，在R上是增函数
当0<a<1时， 在R上是减函数
对数函数
运算公式
积
logₐ(MN)=logₐM+logₐN
商
logₐM/N=logₐM-logₐN
幂
logₐMⁿ=n logₐM
换底公式
logₐb=logₑb/logₑa
定义
y=logₐX(a＞0且c≠1)
定义域
（0，+∞）
值域
R
过顶点
图像过定点（1，0）
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在（0，+∞）内是增函数
a>1
在（0，+∞）内是减函数
0＜a＜1
函数值的变化情况
a>1
logₐx＞0（X>1）
logₐX=0（X=1）
logₐX＜0（0<X<1）
0<a<1
logₐX＜0（x>1）
logₐX=0（X=0）
logₐX＞0（0<X<1）
三角函数
弧度制与角度制的转换
2兀=360⁰
兀=180⁰
1⁰=兀/180≈0.01745rad
1=（180/兀）⁰≈57.3⁰
弧长与扇形面积计算公式
弧长
L=|α|·r
扇形面积
s=1/2L·r=1/2lαl·r²
各象限的三角函数值的符号
一全正，二正弦，三正切，四余弦
函数
概念
函数是一种数学概念，用于描述一个输入和输出的关系
函数类型
线性函数
定义
线性函数是一种基本的函数类型，其图像是一条直线
性质
线性函数具有可加性和齐次性
线性函数可以通过一次函数、二次函数等特殊类型的函数来定义
应用
线性函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用
线性函数可以用来描述各种线性关系，如直线、平面等
实例
一次函数y=ax+b
二次函数y=ax^2+bx+c
三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d;
非线性函数
定义
非线性函数是指不满足线性关系的函数
分类
多项式函数
指数函数
对数函数
幂函数
三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
反三角函数
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
分段函数
绝对值函数
符号函数
取整函数
复合函数
函数嵌套
函数组合
隐函数
隐函数是指无法直接表示的函数
参数方程
参数方程是指用参数表示的函数
性质
连续性
连续函数是指在定义域内每一点都有定义的函数
可导性
可导函数是指在定义域内每一点都可导的函数
单调性
单调函数是指在定义域内每一点都有单调性的函数
凹凸性
凸函数是指在定义域内每一点都有凸性的函数
凹函数是指在定义域内每一点都有凹性的函数
极值
极值是指函数在某一点处的值大于或小于其附近点的值
拐点
拐点是指函数在某一点处的导数为零
渐近线
渐近线是指函数在某一点处的极限
应用
非线性方程
非线性方程是指不满足线性关系的方程
非线性优化
非线性优化是指在非线性约束条件下求极值的问题
非线性动力学
非线性动力学是指研究非线性系统运动规律的学科;
单调函数
定义
单调函数是指在某个区间内，函数的值随着自变量的增加而增加或减少的函数
分类
单调递增函数
函数值随着自变量的增加而增加
单调递减函数
函数值随着自变量的增加而减少
性质
单调函数具有连续性
单调函数具有可导性
单调函数具有极值
应用
单调函数可以用于求解不等式
单调函数可以用于求解函数最值
单调函数可以用于求解函数零点;
凸函数
定义
凸函数是指一个函数的图像在定义域内是凸集的函数
性质
凸函数具有许多优良的性质，如凸性、单调性、有界性等
分类
凸函数可以分为线性凸函数和非线性凸函数
凸函数的判定
判定一个函数是否为凸函数，可以通过定义、图像观察、二阶导数等方法
凸函数的应用
凸函数在优化问题、经济学、统计学等领域有着广泛的应用
凸函数的推广
凸函数的推广包括拟凸函数、强凸函数、弱凸函数等概念。
函数性质
有界性
定义
有界函数
上界
下界
无界函数
性质
有界性判断
单调性
奇偶性
定义
奇函数
f(x) = f(x)
偶函数
f(x) = f(x)
性质
奇函数
图像关于原点对称
定义域关于原点对称
偶函数
图像关于y轴对称
定义域关于原点对称
判断方法
定义法
直接根据定义判断
图像法
观察函数图像是否关于原点或y轴对称
解析法
根据解析式判断
应用
求函数值
判断函数性质
求解不等式;
周期性
定义
周期性是指一个函数在一定条件下，其值随着自变量的变化呈现一定的周期性规律
性质
周期性函数具有周期性，即函数值在一定范围内重复出现
周期性函数具有对称性，即函数图像关于某个点或直线对称
周期性函数具有单调性，即函数值在一定范围内单调递增或递减
有界性
周期性函数具有有界性，即函数值在一定范围内有界
周期性函数具有最大值和最小值，即函数值在一定范围内存在最大值和最小值
判断
判断周期性函数，可以通过观察函数图像，找出其周期性规律
判断周期性函数，可以通过计算函数值，找出其周期性规律
判断周期性函数，可以通过分析函数性质，找出其周期性规律.
有界性与连续性
有界函数不一定连续
连续函数一定有界
有界性与可积性
有界函数不一定可积
可积函数一定有界
应用
求极限
求积分;
单调性
定义
单调递增
函数值随着自变量增大而增大
函数值随着自变量减小而减小
单调递减
函数值随着自变量增大而减小
函数值随着自变量减小而增大
判断方法
定义法
根据函数单调性的定义进行判断
图像法
观察函数图像的走势进行判断
导数法
利用导数判断函数单调性
性质
单调性是函数的基本性质之一
单调性决定了函数图像的走势
单调性在函数求解、分析等问题中有重要作用;
连续性
定义
连续性是指函数在某一点处的极限值等于该点处的函数值
连续函数的性质
有界性
连续函数在闭区间上必定有界
单调性
连续函数在闭区间上必定存在单调区间
极值性
连续函数在闭区间上必定存在极值
介值性
连续函数在闭区间上必定存在介值
零点存在性
连续函数在闭区间上必定存在零点
连续函数的应用
求极限
利用连续性求极限
求导数
利用连续性求导数
求积分
利用连续性求积分;
可微性
定义
可微性是指函数在某一点处的切线斜率存在且连续
性质
可微性是函数性质的一个重要方面
可微性可以反映函数在某一点处的变化情况
可微性是研究函数性质和计算方法时需要考虑的重要因素
应用
可微性在微积分学、函数论、微分方程等领域有着广泛的应用
可微性是研究函数性质和计算方法时需要考虑的重要因素
可微性可以反映函数在某一点处的变化情况;
函数应用
数值计算
优化问题
微分方程
概率统计;
偶函数
定义
偶函数是一种满足f(x)=f(x)的函数
性质
偶函数关于y轴对称
偶函数的图像关于y轴对称
偶函数的导数是奇函数
常见偶函数
x^2
x^4
x^6
cos(x)
sin(x)
偶函数的应用
物理学
工程学
经济学
计算机科学;
奇函数
定义
奇函数是指满足f(x) = f(x)的函数
性质
奇函数的图像关于原点对称
奇函数的导数是偶函数
奇函数的积分是偶函数
常见奇函数
正弦函数sin(x)
余弦函数cos(x)
正切函数tan(x)
余切函数cot(x)
奇函数的应用
奇函数在物理学、工程学等领域有广泛应用
奇函数可以用来分析振动、波动等物理现象
奇函数可以用来分析信号处理、图像处理等问题;
减函数
定义
减函数是一种数学函数，其值随着自变量的增加而减少
性质
单调性：减函数具有单调递减的性质
奇偶性：减函数可以是奇函数或偶函数
有界性：减函数可以是有界函数或无界函数
常见减函数
y = x^2 1
y = x^2 + 1
y = x^3 + 1
应用
物理学：减函数在物理学中常用于描述能量、力、速度等物理量之间的关系
经济学：减函数在经济学中常用于描述价格、需求、供给等经济变量之间的关系
工程学：减函数在工程学中常用于描述应力、应变、位移等工程变量之间的关系;
增函数
定义
函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值也增加
性质
单调性
函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值也增加
奇偶性
函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值也增加
周期性
函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值也增加
图像
图像是一条向右上方倾斜的直线
图像是一条向右上方倾斜的曲线
应用
在数学分析中，增函数可以用来研究函数的性质
在物理学中，增函数可以用来描述物理量之间的关系;
一元二次不等式
定义
一元二次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的最高次项为二次的不等式
一元二次不等式的一般形式
一元二次不等式的一般形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集可以通过解一元二次不等式得到
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法包括因式分解法、配方法、判别式法等
一元二次不等式的应用
一元二次不等式在解决实际问题中有广泛的应用，如求解最大值、最小值、不等式组等;
含绝对值的不等式
概念和性质
绝对值的定义
绝对值的几何意义
绝对值的代数意义
绝对值的性质
非负性
绝对值不等式的性质
解法和技巧
零点分段法
确定零点位置
分段讨论
合并解集
平方法
两边平方
化简不等式
解方程组
几何意义法
数形结合
利用几何图形的性质
求解不等式
应用和实例
线性规划问题
确定目标函数
建立约束条件
求解最优解
绝对值方程的应用
求方程的解
求方程的根
求函数的值域;
集合
集合的定义
集合的概念
集合的元素
集合元素的特性
集合元素的关系
集合的表示方法
列举法
描述法
集合的分类
有限集
无限集
空集
集合的运算
并集
并集的定义
并集的运算法则
交集
交集的定义
交集的运算法则
差集
差集的定义
差集的运算法则
对称差
对称差的定义
对称差的运算法则
集合的性质
子集
子集的定义
子集的运算法则
真子集
真子集的定义
真子集的运算法则
相等
相等的定义
相等的运算法则
包含
包含的定义
包含的运算法则
集合的应用
集合在数学中的作用
集合在代数中的应用
集合在几何中的应用
集合在实际生活中的应用
集合在计算机科学中的应用
集合在统计学中的应用
不等式
定义
不等式是一种数学表达式，表示两个数值之间的关系
类型
线性不等式
非线性不等式
性质
传递性
对称性
反身性
解法
代数解法
几何解法
数形结合法
应用
求解最优化问题
求解不等式方程
求解线性规划问题;
当a＜0，不等式两边乘以－1
大于取两边，小于取中间
重点