第一章 函数与极限

高中数学中函数极限是函数学习的重中之重，也是比较难掌握的知识点。极限思想是从求圆的面积周长解决数学问题时就开始接触的方法。极限思想在解决求极限的数学问题中使用频率非常高，更是高中数学函数求极限一大切入点与必考点。本文涵盖所有内容细节，复习时可脱离课本。

第一章 函数与极限

• 1.1函数
  • 一、定义
    • 函数
    • 反函数
    • 基本初等函数
    • 初等函数
  • 二、初等性质
    • 奇偶性
    • 单调性
    • 有界性
    • 周期性
• 1.2数列极限
  • 一、定义
  • 二、性质
    • （唯一性）数列有极限必唯一（反证法）
    • （有界性）数列有极限必有界（反之不对）
    • （保号性）
• 1.3函数极限
  • 一、定义
    • 1⃣️a的去心邻域
      • x ➡️a ，x 不等于a
      • limf(x)(x ➡️a) 与f(a) 无关
      • 左极限、右极限
    • 2⃣️∞
  • 二、性质
    • （唯一性）函数有极限必唯一（反证法）
    • （局部有界性-去心邻域）函数有极限局部有界（反之不对）
    • （保号性）
• 1.4无穷小与无穷大
  • 一、无穷小
    • 0是无穷小，无穷小不一定是0
    • 非零函数a(x)，其是否为无穷小与自变量趋向有关
    • 常规性质
  • 二、无穷大
    • 1⃣️定义
    • 2⃣️无穷大与无穷小的关系（倒数转化）
• 1.5极限运算法则
  • 一、四则求导法则
    • +- 与求极限可互换次序
    • 求极限时常数倍可提取到极限外
    • 积的极限=极限的积
    • 商的极限= 极限的商（证明）
    • 多项式求极限
  • 二、复合函数极限法则
    • （证明）
• 1.10闭区间上连续函数的性质
  • 1⃣️最值定理：闭区间连续函数可以取到最大、最小值（反之不对）
  • 2⃣️有界定理
  • 3⃣️零点定理：闭区间端点函数值异号，在开区间内函数存在零点
  • 4⃣️介值定理：闭区间内存在ζ，使函数可以取到介值（值域内的任意值）
  • ⚠️闭区间连续，开区间找点—零点定⚠️闭区间连续，闭区间找点/出现了函数值之和—介值
• 1.9连续函数运算与初等函数连续性
  • 一、连续函数运算
    • 四则（连续函数加减乘除后仍连续）
    • 复合（复合函数求极限，若外层函数连续，等价于对内层函数求极限再复合）
  • 二、初等函数连续性
    • 基本初等函数在其定义域内连续
    • 初等函数在其定义域内连续 （初等函数由连续的基初经过四则和复合运算（不改变连续性）得来）
• 1.8函数的连续性与间断点
  • 一、连续
    • 1⃣️函数在一点连续（左、右连续）
    • 2⃣️函数在闭区间连续
  • 二、间断点及分类
    • 间断
    • 分类
      • 第一类间断点：左右极限存在
        • 1⃣️可去间断点：左右极限相等但不等于函数值
        • 2⃣️跳跃间断点：左右极限不等
      • 第二类间断点：左右极限至少一个不存在
• 1.7无穷小的比较
  • 一、无穷小的概念与性质
  • 二、无穷小的比较
    • 1⃣️limβ/α=0,β为α的高阶无小 limβ/α=∞,β为α的低阶无
    • 2⃣️limβ/α=k（k不等于0、∞），β为α的同阶无小 limβ/α=1，β为α的等价无穷小,α
    • 3⃣️ limβ/α^K=k（k不等于0、∞），β为α的K阶无穷小
  • 三、等价无穷小的性质与常见的等价无穷小
    • 等价无穷小的性质
      • 1⃣️两个等价无穷小差距为高阶无穷小
      • 2⃣️等价无穷小可替换
    • 常见的等价无穷小
      • 1⃣️x～sinx，x～tanx，x～arcsinx，x～arctanx，x～ln(1+x)，x～e^x-1
      • 2⃣️1-cosx～1/2 x^2
      • 3⃣️(1+x)^a-1～ax
• 1.6极限存在准则
  • 一、极限存在准则
    • 准则1⃣️：迫敛定理/夹逼定理
      • 数列型
      • 函数型
    • 准则2⃣️：单调有界数列必有极限
  • 二、两个重要极限
    • lim(sinx/x)（x➡️0）= lim(sin•/•)（•➡️） 单位圆面积
    • lim(1+1/n)^n=e（n-∞）➡️ lim(1+1/x)^x=e（x-∞）➡️ lim(1+•)^(1/•)=e（•-0）