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电磁场与电磁波
这是关于电磁场与电磁波：第二章 电磁场基本规律的思维导图。内容包括：电磁场的源—电荷和电流、真空中静电场基本规律、真空中稳恒磁场基本规律、媒质的电磁特性、电磁感应定律、麦克斯韦电磁场方程、电磁场的边界条件。
编辑于2021-05-26 22:33:03- 电磁场
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电磁场与电磁波
矢量分析
广义正交坐标系
定义
满足以下特点的坐标系（维度可扩展到高维）
图像
特性
正交
三坐标矢量两两标量积为零
坐标单位矢量可变
子主题 1
概念
坐标原点
定义
反映空间位置与方向的基准点
坐标面
定义
坐标变量为常数
坐标线
定义
两坐标面交线
位置矢量（矢径）（位矢）
按数学表达式分类
直角坐标系
柱坐标系
球坐标系
符号
r
特性
起点为坐标原点
注意
区分位移
符号
R
单位矢量
数学表示
方向矢量
坐标变量
定义
立体空间的独立自由度
长度系数
定义与坐标表示、
坐标单位矢量
作用
反映空间方向
特点
与坐标面垂直
方向为坐标线切线方向之一
汇总
(矢量)线元
定义与数学表达
(矢量)面元
图形表示
数学表达式
数学表达式
分类
空间直角坐标系
柱坐标系
坐标变量（对应即为坐标单位矢量）
rc，Φ，z
坐标面组成与操作
圆柱面cylinder（缩放）——rc
扇面sector（旋转)——Φ
平面flush（平移）——z
球坐标系
坐标变量（对应有单位坐标向量）
rs，Φ，Θ，弧线类型交线切线方向对应Φ、Θ方向单位坐标矢量
坐标面组成与操作
球面sphere（缩放）——rs
圆锥面conical surface（圆锥顶角）——Θ
扇面sector（旋转）——Φ
坐标向量互换
场的性质
一种客观存在的物质属性
数学上任何一个可表示成r与t的函数的量都可以成为场
实际应用场景下尺度不能小到量子效应不可忽视
场的定律的基础是实验事实
标量场的梯度
定义
概念
标量场
定义
场量为标量的场
概念
标量场的等值面
数学表示
子主题 1
子主题 2
数学表达式
f=f(r,t) f=f(r)
方向导数
数学表达式
概念
方向角
分类
α
数学表达式
β
数学表达式
γ
数学表达式
定义
特性
定义
标量场在某方向上的方向导数=该点梯度在该方向 上投影
位移的方向余弦与单位矢量
方向余弦
单位矢量
数学表达式
三个坐标系下的数学表达式
作用
反映一个标量场的场量随空间位置的变化规律
性质
矢量场
与过这点的等值面相垂直，即与等值面法向一致
反映标量场自身空间特性，与方向选取无关
模等于标量场在该点方向导数的最大值
方向总是指向标量场场量增加的方向
单值标量场梯度的线积分 只与曲线的起止点有关，与曲线C的形状无关
解释
运算
运算举例
参数
一组坐标变量
符号
▽f、grad f
矢量微分算子▽
矢量场的散度和高斯定理
散度
定义
对于矢量场A 的定义域中的任何一点P,假设有一个
数学表达式
数学计算式
特性
矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量的状态。
矢量场的散度具有矢量场通量体密度的单位
符号
矢量微分算符▽
laplace算符
对矢量场
直角坐标系
条件
标量场f二次可导
对标量场
本质为标量场的运算符
物理意义
矢量场在空间一点的散度是矢量场
通量源密度
高斯定理
条件
矢量场的旋度和斯托克斯定理
旋度
环流量
矢量场验不合区选
量纲
环流量密度
符号
数学表达式
数学计算式
性质
良态条件
定理
标量场的梯度必为无旋场
无旋场可以表示为某一标量场的梯度
矢量场 旋度必为无散场
无源场可以表示为某一矢量场的散度
任意矢量场可以分解为无旋场与无源场之和（赫姆霍兹定理
唯一性定理
空间某一区域给定场的散度与旋度以及矢量场在区域边界上的法向分量，则场唯一确定
物理意义
矢量场的旋度表明
该矢量场的环流源密度
斯托克斯定理
条件
良态区域
由旋度推到过程决定
矢量微分算子的运算
旋度
直角坐标系
(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a
向量积公式
自由空间中的电磁场定律
基本定义
基础
试验事实
自由空间中的电磁场定律
概念
闭环积分
体、面、线、点电荷模型
奇异电荷
面点荷
线电荷
点电荷
体电流、面电流、线电流模型J，K，I（密度）
单位A/m^2，A/m，A
在体、面、线内流动
面厚度趋于零
横截面、横截线、
数学表达
基本场量
电场强度
洛伦兹力公式
磁场强度
积分形式自由空间场定律
磁场环量等于传导电流+位移电流
磁感应强度B
电通密度适量D
电荷是电通密度矢量D的源
不存在磁通密度矢量的源（磁荷）
系统变量非时变时，电场与磁场之间不存在相互耦合
原量为零时：电磁场
边界场与边界内部场关系
积分形式电磁场定律的应用
求点电荷的电场
求线电流的磁场
自由空间中的微分形式电磁场定律和边界条件
微分形式电磁场定律
思路
导数运算较积分运算更易
运用斯托克斯定理
分析
时变的磁场产生涡旋源源导致感生电场
电流与时变电场为涡旋源产生涡旋磁场
电荷为通量源产生电场通量
磁场无通量源（磁荷）
空间上点电荷密度减少时，必有电流密度的净通量
E->ρ；H->J
整体物理意义
描述良态域场关系
良态指三维连续可到
描述空间各点场与源关系
五个场定律中仅有三个独立
▽·(▽×A）
通量带上ε、μ，环量不带
边界条件
概念
不连续边界
过渡区较观测湿度可忽略不计
过渡区
自然边界条件
处理思想
不连续出场非良态微分场定律不适用，以积分场定理处理边界条件
法向关系式
方法
构造高斯盒
in由区域2指向区域1，sδ垂直于边界
运用高斯定理，结合电磁场五定律
公式
由电场高斯定理
空间趋于一点
δ趋于0
由磁场高斯定理
由电荷守恒定律
注意边界上面电流K
切向关系式
方法
构造斯托克斯环路
运用斯托克斯定理
公式
由法拉第电磁感应定律
E1与E2切向分量总是相等，且三向量共面
条件：磁场强度不突变
修正的安培环路定理
自然边界条件
物理意义
若界面无面点荷，则E1=E2
微分形式电磁场条件和边界条件的应用
思路
对良态域用微分形式场定律
对非良态域用边界条件
题型
求电荷总量
求点电荷分布
已知场分布求源分布
已知源分布求场分布
高斯
分析场特性
静态场
动态场
通过场方程求场分量
注意场解适用区域
物质存在时的宏观场定律
求解思路
物质对电磁场的反应
宏观方法
物质的极化
概念
极化强度
简单媒质中
极化特性
讨论
束缚电荷
自由电荷
电位移矢量
线性各向同性介质
相对介电常数
介电常数
电介质本构（组成）关系
介质分类方法
常见电介质的相对介电常数
电磁特性
物质的电特性
物质极化的宏观模型
极化的求解
思路
极化电荷计算式
极化电荷体密度
存在介质时的高斯定理
概要
极化面点荷密度
极化电流计算式
存在介质时修正的安培环路定律
方法
先求解宏观等效源分布，用等效源代替物质再求解场
直接使用物质中的场定律
常见模型
永久极化物体
永久极化板
班内极化强度为常数
板内极化强度为坐标函数
概要
物质的磁化
概念
物质按磁化现象明显程度分类
磁偶极子
磁偶极矩
物质的磁化现象
两种模型
安培电流模型
与磁场相关的带电粒子的运动
磁畴
永久磁化与非永久磁化
磁化强度矢量
磁偶极矩密度
磁化电流
描述
安培电流模型下的场定律
关于电磁场的基本物理量
电磁场导出的物理量
方程组
物质中的Maxwell方程组
自由空间中的场定律为物质中的场定律在P=0，M=0下的特例
简单媒质下
磁化电流
张量
物质中的场量组成关系
参量
物质类型
线性单值各项同性
线性单值各项异性
极化
磁化
电导
概念
电极化率张量
相对介电张量
介电张量
磁化率张量
相对磁导率张量
磁导率张量
电导率张量
符号：双上划线
永久磁化
H=B/μ0-M
非永久磁化
H=B/μ
概要
概要
静电场的标量位
概念
静态场
分类
静电场
J=Jf+Jp
场定律
边界条件
介质电磁特性
σ=0
稳恒场
稳恒电场
稳恒磁场
场定律
电磁场之间不存在直接耦合
介质中存在简介耦合
介质电磁特性
边界条件
静电场的标量位
静电场标量位（电位）的引入
方程
静电场满足方程
J = 0
保守场条件
保守场性质
由场论
定义式
推导得到
表达式
静电场标量位的电位参考点
电位参考点
参考电位
电位参考零点
P0即为电位参考零点
标量电位的物理意义
电场对电荷做功
已知电荷分布求电场方法
叠加定理
微元电场叠加直接法
微分体元电荷产生电场叠加
全部抽象模型
标量电位间接法
常见类型
电偶极子
r>>d
标量位的微分方程与边界条件
标量位的微分方程与边界条件
真空中电场满足微分方程
电荷密度为0的区域
介质中电场满足的场方程
静电场标量位方程
一般边界条件
推导
静电场的一般边界条件
电场有限且不存在偶极层
静电场的导体边界条件
导体表面边界条件
标量位的性质
静电场的求解条件
切向不唯一
极值定理
证明
平均值定理
条件
laplace方程是无电荷域满足的方程
公式
证明
前提公式
证明思路
概要
应用
唯一性定理
第一类边界条件
证明
第二类边界条件
证明
混合边界条件
概念
格林函数
唯一性定理的应用
镜像法
原理
实例
静电场示意场图的画法
基本法则
分离变量法及位函数的远区多级子展开式
静电场直角坐标分离变量法
须知参量
思路
由电荷分布确定泊松方程
泊松方程特解
泊松方程通解（laplace方程解
平凡解
一般解
运用分离变量法
利用边界条件确定方程的待定系数
题目给出电位分布
电位函数一般条件
默认条件：导体等电位、静电场条件等
利用唯一性定理凑出满足所有条件的解
分离变量法
使用条件
效果
直角坐标系下
思路
φ==0（零解，无实际意义
非零解
平凡解
物理意义
注意
一般解
函数形式
平凡解与一般解中取其一
应用
解题步骤
叠加原理和傅里叶级数求解系数
推导
傅氏系数
激励电压为一常数
激励电压为正弦函数
电位问题的叠加原理
推广
概念
分离变量法解
分离变量解族
变量可分离
静电场柱坐标系分离变量法
柱坐标系laplace表达式
平凡解
物理意义
静电荷
一般解
与z变量无关的二维一般解
物理意义
推导
关于φ方程的解
推导
关于R方程的解
推导
静电场球坐标系下的分离变量解
laplace方程变形
平凡解
物理意义
一般解
一般解
关于θ的解
Legendre函数
表达式
常用
思路
关于φ的解
rs、θ函数的进一步分离
关于rs的解
求解
物理意义
选解原则
位函数在远区的多级子展开式<56课
推导
条件
积分运算实例
复变函数在静电场问题中的应用
静磁场
毕奥萨伐尔定律<61课
静磁场的矢量位<58,59课
引入
说明
定义式说明
推导
静电位的泊松方程
说明
封闭电流线
Wb为磁通量单位
子主题 3
封闭电流线
Wb为磁通量单位
子主题 3
磁场强度计算公式
磁矢位的物理意义
将其视为一种数学处理手段
静磁场的边界条件（自由空间中的静磁场
电磁场的能量与功率
电磁功能关系
电磁场物质属性
电磁能
电场能WE
能量密度
对时变电场仍成立
对于分布电荷系统
互作用能
比较
例外
原因：分布点和系统自能为0
静磁场能
能量密度
极化能与磁化能
引入
极化能
磁化能
功率密度
电功率密度
总结
这些公式对时变场仍成立。
静电场的能量
有物质存在时的宏观场定律
时空场的低频特性
平面电磁波
基本概念
概念
振动
简谐振动
波动
简谐波
波数
圆波数/相位常数
相速
均匀波
均匀平面波
媒质中
衰减常数
传播常数
波包
群速
其他
三维波动方程推导（真空、无源）
maxwell方程组
三维矢量波动方程
三维标量波动方程
分类
平面波
一维矢量波动方程
推导
基于Maxwell方程组
由电场、磁场间的耦合关系
解
电场有x分量、磁场有y分量
+z方向传播
S方向表示传播方向
子主题 3
η为空间波阻抗
推导
-z方向传播
电场有y分量、磁场有x分量
均匀平面波传播特性
一维标量波动方程
解
一维波动方程的达朗贝尔解
性质
总量z±ct的二阶可微
物理意义
平面波在有耗散媒质中的传播
衰减特性
复数介电常数的引入
引入复数介电常数与复数相对介电常数后的maxwell方程组
解
与真空情况下的比较
有耗散媒质中传播常数与衰减常数的表达式
良导体
传导电流与位移电流的表达式
良导体判据
良导体内的衰减常数与传播常数
良导体的趋肤效应
相速vp
定义
表达式
子主题 1
真空中（σ=0）
良导体中（σ>>wε）
色散
引入
子主题 2
色散媒质
一切有耗散媒质均为色散媒质
波包的传播
波包
传播的方程
波包的传播速度（群速）vg
对非色散媒质
相速=群速
对色散媒质
对良导体
定理
群速=相速表示无色散
沿任意方向传播的均匀平面波
参数
传播方向
复数传播矢量
媒质ε、μ、σ
（复矢量随位矢）方程
特性
有复数形式MaxWell方程
带矢量微分算子的运算
电磁矢量量垂直于传播方向
磁场强度矢量与电场强度矢量关系
右手螺旋
平面波的反射与折射
边界
无界均匀媒质
传输问题
无界直边界（两半无界媒质）
反射与折射问题
符号约定
i
入射光
r
反射光
τ
折射光
图解
施奈尔（shell)定理
边值定理
对绝缘介质有η、kf = 0
三定律
证明
使用条件
σ、ε、μ在区域内均为常量
TEM波
内容
反射线与折射线均在入射面内
反射角等于入射角
折射角与入射角满足方程
理想导体表面反射
垂直入射
合成波（驻波）
方程
电场
磁场
坡印廷矢量时间平均量
证明
斜入射
垂直极化
入射场
反射场
合成场
导行波特性
平行极化
合成电场
合成磁场
两种无耗介质交界面处的折射与反射
边界条件
垂直入射
斜入射
垂直极化
边界条件
平行极化
图示
全反射
定义
三层介质的无反射条件（透射）
全折射
布儒斯特角
子主题 2
定义
均匀极化波的斜入射
电磁波的辐射
标量位函数与矢量位函数
非齐次（复数）波动方程的引入
推导
洛伦兹条件
库伦条件
中间结论
非齐次波动方程
亥姆霍兹方程（复数波动方程）
一维波动方程的解（空间维度仅包含rs)
条件
Φ由点电荷产生，且在空间其它区域视为无电荷分布
条件
电流元仅分布于原点附近
推导
非齐次达朗贝尔方程
复数形式
推迟势
时变电偶极子的辐射
公式描述
推导
条件
极化方向为iz
近区场（似近场\束缚场）
公式
条件
坡印廷矢量
为虚数，无实际能量传播
远区场
公式
条件
方向性函数
辐射场强度正比于sin(θ)
感应场
辐射功率
公式
电尺寸
辐射电阻
原理
将辐射器辐射的能量等效为被一个电阻吸收的功率
推导
自由空间中
时变磁偶极子的辐射
公式描述
推导
一个中间结论（5-34——5-38）
条件
磁偶极矩m方向为iz
R<<λ
利用电磁对偶原理
含义
对偶式
概要
电磁场的基本定理
坡印廷（Poynting)定理
需求
讨论电磁场系统与外界的功能关系的一般分析方法
考虑物质时的坡印廷定理（简单煤质
图示
说明
计算式
自由空间中具有分布电荷时系统的功能关系
电磁场供给运动电荷的功率
微分形式（p为功率密度
积分形式
物理解释
关于坡印廷矢量与不同形式坡印廷定理的解释
亥姆霍兹定理
证明
自由主题
静电场场图绘制规则
基本法则
自由主题
矢量场按保守型分类
保守场（有势/位场）
定义
场矢量的线积分值仅与
特性
总可以表示成一个标量场的梯度
标量场称为该保守场的势场或位场
数学表示
旋度为零
非保守场
数学表示
旋度不为零
自由主题
待归类
矢径
相对矢径
矢量代数运算
矢量的导数与微分
加法
标量积
矢量积
公式
A×(B×C)=(A·C)·B-(A·B)·C
(A×B)×C=(A·C)·B-(B·C)·A
满足分配率而不满足结合律
混合积
形式
（A×B）·C