信号与系统6离散时间信号与系统时域分析

信号与系统6离散时间信号与系统时域分析离散时间信号与系统变换域分析。信号与系统（Signals and Systems）是电子信息类本科阶段的专业基础课。学生应熟练地掌握本课程所讲述的基本概念、基本理论和基本分析方法，并利用这些经典理论分析、解释和计算信号、系统及其相互之间约束关系的问题。

信号与系统6 离散时间信号与系统时域分析 离散时间信号与系统变换域分析

• 离散时间信号与系统时域分析
  • （离散信号）离散时间序列
    • 描述
      • 定义
        • 连续时间信号的抽样
        • 一组数字序列值的集合
      • 描述方法
        • 解析式形式
        • 序列形式
        • 图形表示
    • 常见的基本序列
      • 单位样值序列
      • 单位阶跃序列
      • 矩形序列
      • 单边指数序列
      • 正弦序列
        • 模拟角频率
        • 数字角频率
      • 复指数序列
    • 基本运算
      • 时间运算
        • 序列反褶
        • 序列移位
        • 信号压扩
          • 波形扩展时补入0
          • 波形压缩时去掉余项
        • 序列的几何运算
          • 序列相加减
          • 序列相乘除
        • 序列的能量
  • 离散时间系统
    • 描述
      • 定义
        • 输入与输出都是离散信号的系统
        • 一种变换或关系，将输入序列映射为输出序列
      • 描述方式
        • 数学模型
          • 差分方程
            • 注意
              • 描述不同时间点出现的序列的运算
            • 定义
              • 子主题 1
            • 差分方程的阶
              • 子主题 1
            • 一般差分方程
              • 后向差分方程
                • 因果系统分析
                • 数字滤波器
              • 前向差分
                • 状态变量分析
        • 功能框图
          • 运算单元/功能部件（线性离散时间系统）
            • 延时器
            • 加法器
            • 标量乘法器
    • 分类
      • （无）有记忆系统
        • 无记忆
          • 输出只决定于同时刻的输入（不前向，不后向）
      • （非）线性系统
        • 线性：满足叠加原理
          • 叠加性
          • 比例性
      • 时（不）变系统
      • （非）因果系统
      • （不）稳定系统
        • 当且仅当每一个有界的输入序列都产生一个有界的输出序列时，则称该系统为稳定系统
  • 常系数线性差分方程求解
    • 齐次解
      • 列特征方程(n阶）
        • 单重根
          • C*λ^n
        • k重根
          • C1*n^(k-1)*λ^n+C2*n^(k-2)*λ^n+……+Ck*λ^n
    • 特解
  • 零状态响应与零输入响应
    • 零输入响应
      • 定义
        • 系统输入为0 时，由系统初始储能引起的系统响应
          • 通常将激励加入系统的时刻作为0
          • 为将激励输入置0时，起始条件从激励加入系统的时间考虑
      • 解法（以激励加入时间为0时刻）
        • 求系统的起始条件
          • y(-N)
          • 用递推关系排除输入信号的影响
        • 由系统的差分方程得到特征方程，求得特征根，系统的零输入响应形式即为其次解形式
        • 将起始条件带入到零输入响应形式当中，求解未知系数
      • 差分方程的边界条件是系统真正的起始状态
    • 零状态响应
      • 定义
        • 系统起始状态为零，仅有外加激励产生的系统响应
      • 解法
        • 确定特解形式，并代入方程以确定系数
        • 由特征方程求得其次解形式
        • 由零状态的起始条件带入差分方程通过迭代关系得到零状态的初始条件
        • 合并得到零状态响应形式，带入零状态初始条件确定系数
    • 拓展
      • 差分方程完全响应的分离角度
        • 齐次解（自由响应）与特解（强迫响应
        • 零状态响应与零输入响应
    • 差分方程的边界条件是系统零状态时的初始条件
  • 系统的单位样值响应
    • 单位样值响应
      • 定义
        • δ(n) 激励系统产生的零状态响应被称为该系统单位样值响应，通常用h(n)表示。
      • 作为系统特性的判据
        • 因果性
          • 充要条件
        • 稳定性
          • 充要条件
      • 求解
        • 一般形式
          • • 利用系统的线性
              • 按零状态响应求法求解
                • 视h（0）为起始条件，问题转化为零输入响应
  • 卷积和（离散卷积)
    • 定义
    • 性质
      • 交换律、分配率、结合律
      • 移不变性
    • 常用
      • 与δ（n)卷积
      • 与u（n)卷积
    • 计算
      • 解析法
      • 图形法
      • 竖乘法
• 离散时间信号与系统变换域分析
  • z变换
    • z变换
      • 定义
        • 双边
          • 单边，注意定义中得到时刻关系
      • 引出
        • 由理想抽样的laplace变化引出
          • • • 令z=esT
                • • 令T=1
              • 令n代表nT，z代表e^s
      • 意义
        • 引入laplace变换与z变换进行对应
    • 收敛域
      • 定义
        • 对任意给定的序列x(n)，使得幂级数收敛的z的所有取值称为X(z)的收敛域或ROC
      • 形状
        • 圆形、环形
        • z=e^(σ+jw) = r*e^jw
      • 序列分类
        • 无限长度序列
          • n>=0
            • |z|>|a|
          • n<0
            • |z|<|b|
          • 双边序列
            • 环状
        • 有限长度序列
          • n>=0
            • z不等于0
          • n<0
            • z不等于无穷
          • 过0点
            • z不等于0或无穷
      • s域与z域关系
        • 考虑σ
          • σ=0
            • s平面虚轴对应z域单位圆
          • σ>0
            • s域右边平面对应z域单位圆外
          • σ<0
            • s域左边平面对应单位圆内
        • 考虑w
          • w=0
            • s平面实轴对应z平面正实轴
          • w=j*kπ，k为奇数
            • s平面负实轴对应z域负实轴
          • 以2π为周期绕圆旋转
        • 概要
          • • z域与复频域关系
      • 判据
        • 达兰克尔判别法
    • 典型序列的z变换
      • 单位样值序列
        • 1
      • 单位阶跃序列
        • z/(z-1)
      • 因果指数序列
        • z/(z-a）
        • • 指数可以为复指数
            • 子主题 1
              • 子主题 1
                • 子主题 1
                  • 子主题 1
                    • 子主题 1
                      • 子主题 1
                        • 子主题 1
    • 性质
      • 基于运算的性质
        • 时间运算
          • 反褶性质(双边ZT可用)
            • X(z)
            • ROC
          • 扩展性质（双边zT可用)
            • X(z)
            • ROC
          • 位移性质
            • X(z)
            • ROC
            • 双边
            • 单边变换
        • 幅度运算
          • 仅线性运算
            • X(z)
            • ROC
        • 基于z域运算的性质
          • z域压扩
          • z域微分
      • 基于卷积的性质
        • z域卷积
          • • 收敛域
        • 时域卷积
          • • 收敛域
      • 基于z变换定义的性质
        • 初值定理
          • • 推导
          • x(n)是因果序列
        • 终值定理
          • • 推导
          • 条件
            • 序列存在确定性终止，即序列随n收敛
              • 序列极点位于单位元内或一阶极点落在z=+1的单位元上
    • 逆z变换
      • 幂级数系数
        • 只要把给定的X(z)展开成幂级数形式，则幂级数的系数就 是相应的 x(n)
        • 使用条件
          • 单极点有限序列
      • 部分因式分解法
        • 将z变换分解为基本序列z变换的组合，则逆z变换等于响应的基本序列的组合
        • 运算
          • 初步变形（离散信号z变换的一般形式）
            • 对X(z)/z进行部分分式分解，再乘z，得到基本形式的分解形式
          • 考虑实数因子，注意重根的运算
          • 分解后，对应不同收敛域有不同的序列解
            • 左边:极点被收敛域包围
            • 右边：极点包围收敛域
            • 双边：收敛域为换代装
        • 条件
          • 分式中分母的阶次应高于分子的阶次
      • 围线积分法
        • 原理
          • 留数定理
          • 指数函数的正交性
        • 运算
          • 将0、1、2……依次带入n中，运用留数定理解算即可得到x（n）
        • 条件
  • 利用z变换求解离散时间系统响应
    • 利用z变换求解常系数线性差分方程的一般步骤
      • 对差分方程两边进行z变换
        • 求解在z域进行运算：将系统的起始条件包含在响应的z变换中/直接求解系统的全响应
          • 求逆z变换，得到相应的响应
    • z变换求解差分方程
      • 离散时间系统差分方程一般形式
        • 将激励加入时间设为0时刻
          • • 直接求解差分方程
          • • 解零输入响应的逆z变换，得到零输入响应xzi(n)
          • • • 解零状态响应的逆z变换，得到零状态响应xzs(n)
          • 双零法求解差分方程
      • 使用条件
        • 差分方程为常系数线性差分方程
  • 离散系统函数H(z)
    • 离散系统函数的定义
      • 系统单位样值响应的z变换
    • 离散系统函数的计算
      • 从系统响应角度出发，系统函数等于系统零状态响应的z 变换与激励的z变换的比值
        • 形式1，由单位样值响应的因果性与h（n)的因果性得到
        • 形式2，注意下标从1开始
          • 仅有一阶极点
          • 一般情况
      • 条件：h(n)为因果序列
        • h(n)为左边序列时，表中关于单位圆内外的情况相反
      • 最简离散系统框图
        • 原理
          • 其他分解形式
            • • 子主题 1
                • 子主题 1
                  • 子主题 1
        • 作用
          • N阶差分方程仅需要N个延时器便能组成系统框图
  • 离散系统的因果性与稳定性
    • 原理
      • 从变化域观察离散系统函数特性，发现其与系统的因果性与稳定性的联系
    • 稳定性的z域体现
      • 原理
        • • • • 对因果系统与非因果系统均适用
                • 对因果系统，系统稳定的条件是极点在单位圆内
      • 判据
        • 对因果系统与非因果系统均适用
          • 对因果系统，系统稳定的条件是极点在单位圆内
    • 因果性的z域体现
      • 原理
        • • 离散系统函数极点分布在某一直径的圆外
      • 判据
    • 如果系统是因果稳定系统， 极点均位于单位圆内
    • 运算
      • 时域法
      • z域法
        • 进行双边z变换，再利用上述判据进行判断
          • 已知系统因果，可以只进行单边z变换
  • 序列的傅里叶变换
    • 定义
    • 计算
      • 称为序列x(n)的傅里叶变换，即单位圆上的 z变换为序列 的傅里叶变换。
      • 逆变换
        • • 推导
    • 作用
      • 特性
    • 序列存在傅里叶变换的条件
      • 序列存在傅里叶变换的充分条件是绝对可和
  • 离散系统的频率响应
    • 离散时间系统的频率响应
      • 定义
        • h(n) 的傅里叶变换
      • 存在条件
    • 作用
  • z域系统分析
    • 离散时间系统的系统函数
      • 形式
        • 从时域出发
        • 从系统响应角度出发
          • 由差分方程的一般形式
            • 注意求和下标
    • 离散时间系统的稳定性与因果性
      • 离散时间系统因果性判据
        • • • 原因
      • 离散时间系统稳定性判据
        • 对因果系统与非因果系统均适用
          • 对因果系统，系统稳定的条件是极点在单位圆内
    • 序列的傅里叶变换
    • 离散时间系统的频率响应
  • 利用离散时间系统实现对模拟信号的滤波