空间解析几何高等数学2思维导图

这是一篇关于空间解析几何高等数学2的思维导图。包含了曲面、平面等方面的内容，内容详实，结构清晰，可以收藏。

空间解析几何

• 向量代数
  • 概念
    • 向量的坐标：设向量a的起点为，终点为，则a=AB={}={}
    • 向量的模（大小）：
    • 向量的方向角与方向余弦：
    • 特殊向量
      • 单位向量：模为1的向量，与a同向的单位向量为 i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1)
      • 负向量:与a模相同，方向相反的向量，记为-a
      • 零向量:模为0，没有确定方向的向量，记为0
    • 两自由向量相等：a=b，模相等且方向相同
    • 向量在轴上的投影：
  • 向量运算
    • 加减法
      • 加法
        • 其和仍为向量，遵循平行四边形法则和三角形法则
        • 坐标表达式：
        • 运算律：a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c
      • 减法：a-b=a+(-b)
    • 数乘向量
      • 定义：数λ与向量a的乘积为一向量，记作λa
      • 坐标表达式：
      • 运算律：λ（μa)=(λμ)a=μ(λa)，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
    • 数量积
      • 定义：
      • 坐标表达式：
      • 性质：
      • 两向量夹角余弦公式：
    • 向量积（叉积）
      • 定义：c=a×b
        • c⊥a，c⊥b，且符合右手规则
      • 几何意义：表示是以a,b为邻边的平行四边形面积。
      • 性质：
    • 混合积
      • 定义：（a×b）c=[abc]（运算结果为一数量）
      • 计算：
      • 性质：[abc]=[bca]=[cab]，三向量a,b,c共面<=>
• 平面
  • 平面方程
    • 前提：设平面过点，法向量为n={A,B,C}
    • 点法式:
    • 一般方程：Ax+By+Cz+D=0(n={A,B,C}为平面的法向量)
  • 两平面夹角
    • 设平面π1、π2的法向量为n1={A1,B1,C1}和n2={A2,B2,C2}
    • （0≤θ≤）π1⊥π2 <=>n1⊥n2<=>A1A2+B1B2+C1C2=0π1∥π2 <=>n1∥n2<=>
  • 点到平面的距离
    • 点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
• 直线
  • 直线方程
    • 对称式方程:设直线过点，方向向量为s={m,n,p}方程为：
    • 参数式方程：（-∞<t<∞）
    • 一般方程：（两个平面）方向向量：
  • 两直线夹角
    • 设直线L1、L2的方向向量为和，则（0≤θ≤）L1⊥L2 <=>s1⊥s2<=>m1m2+n1n2+p1p2=0L1∥L2 <=>s1∥s2<=>
  • 直线与平面的夹角
    • 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线和平面的夹角。设直线的方向向量，平面的法向量为，记直线和平面的夹角为，直线的方向向量和平面的法向量的夹角为，则，故有      直线与平面垂直、平行的充要条件                    
• 曲面
  • 柱面
    • 母线平行于坐标轴的柱面C是面内的定曲线，L是平行于轴的直线，动直线L沿定曲线C移动形成的曲面叫做母线平行于轴的柱面，其方程为。类似，母线平行于轴的柱面方程为；母线平行于轴的柱面方程为。例如：是准线在面内，母线平行于轴的抛物柱面；是准线在面内，母线平行于轴的双曲柱面。
  • 旋转曲面
    • 旋转轴为坐标轴的旋转曲面平面曲线绕其平面上一定直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，定直线叫旋转曲面的轴。 设面内曲线C的方程为，该曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程；绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 。
  • 常用二次曲面
    • 常用二次曲面1）椭圆锥面： 标准方程为2）椭球面：标准方程为    3)单叶双曲面：标准方程为，如果，就是旋转双曲面。    4)双叶双曲面：标准方程为，如果，就是旋转双曲面。    5)椭圆抛物面：标准方程为（和同号），如果，就是旋转抛物面。6)双曲抛物面：标准方程为（和同号）,也叫马鞍面。