信号与系统：十、Z变换

参考资料为奥本海默的《信号与系统》，以及XJTU王磊老师的PPT，这个部分是第十章：Z变换。

十、Z变换

• 1.Z-变换
  • 定义
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  • 与DTFT的联系
    • DTFT就是在单位圆上进行的Z变换
    • Z变换的对DTFT的推广
  • 双边Z变换举例
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      • a=1时的分析
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    • 一般情况下，X(z)的ROC是Z平面上一个以原点为中心的圆环
  • 双边Z变换的特点
    • X(z)必须与ROC一起，才可以与x[n]建立一一对应的关系
    • 当X(z)是有理函数时，ROC的边界总是由X(z)的极点所在的圆周界定的
    • 对于DTFT，需看ROC是否包含单位圆
• 2.Z-变换的收敛域
  • 几何表示——零极点图
    • 零极点图，表示ROC，唯一确定一个信号
    • 确定的X(z)最多差一个常数因子
  • ROC的性质
    • ROC——环形区域
    • ROC内无极点
    • 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可能不包括z=0或|z|=∞）
    • 右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括|z|=∞
    • 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包括 z=0
    • 双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一个环形区域
    • 如果x[n]的Z变换 X(z) 是有理的，且若x[n]是右/左边序列， ROC位 于最外/内层极点的外/里边
  • 举例
    • 
      • 因果-反因果，DTFT是否存在
• 3.Z-反变换
  • 定义
    • 
      • 其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周
  • 求法
    • 部分分式展开法
      • 关键在于利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换
    • 幂级数展开法（长除法）
      • 由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除
      • 由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除
      • 必须记清楚
      • 对双边序列，先要分成对应信号的右和左两部分，再分别按上述原则长除
      • 缺点——闭式解，适合——有理函数形式的X(z)
• 4.由零极点图对傅里叶变换几何求值
  • 考察动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性
  • 对一阶系统、二阶系统的分析
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    • 当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图粗略确定系统的带宽
    • 欠阻尼、过阻尼……
• 5.Z变换的性质 （都很好推）
  • 线性
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  • 时移
    • 由于信号时移可能会改变其因果性，故会在z=0和z=∞可能会有增删 在其他点出不会有影响
  • Z域尺度变换
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  • 时域反转
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    • 信号在时域反转，会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变
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  • 时间扩展
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  • 共轭对称性
    • 与前面类似
  • 卷积性质
    • 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大
  • Z域微分
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    • 举例
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  • 初值定理
    • 前提条件
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• 6.系统函数
  • 定义
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  • 特性（正反推）
    • 因果性
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    • 稳定性
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  • LTI系统的Z变换分析法
  • 系统互联时的系统函数
    • 级联
      • LTI系统的级联型结构
    • 并联
      • LTI系统的并联型结构
    • 反馈连接
• 7.单边Z-变换
  • 定义
    • 特例——因果信号的双边Z变换
    • 在讨论单边Z变换时,不再强调其ROC
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  • 与双边不同的时移特性
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  • 利用单边Z变换分析增量线性系统
• 8.S平面与Z平面
  • 与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与Z平面之间存在着一种映射关 系，就是这种映射关系
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• 零点与ROC
  • 零极点图的原理
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