高一 数学：函数

这是一个关于高一 数学 必修一 第三单元 函数的思维导图。“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，函数是高中数学的重难点部分，适用于高中数学学习。

函数

• 函数
  • 概念
    • 三要素
      • 定义域
        • 定义
          • 自变量x的取值范围 使解析式有意义
        • 例：y＝x^（1/2）的定义域是【0，+∞） y＝1/x的定义域是｛x|x≠0｝
      • 值域
        • 定义
          • 函数值y的取值范围
        • 方法
          • 配方法（求最大值max，最小值min）
          • 反解自变量
          • 换元法（适用于含有根号的函数）
          • 单调法(指利用函数的单调性，适用求最值问题)
          • 数形结合（图象法）（画图看最值，适用于分段函数）
          • 基本不等式
          • 观察法（根据自变量的取值范围和对应关系，直接得出函数的最值）
          • 判别式法（利用方程，根据二次方程有实数根求值域）
      • 对应关系
        • 换元法求解析式
      • 定义
        • 对于集合A中的任意一个数x，按照某种程度上的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。（y＝f（x），x∈A）
    • 区间
      • （a，b）注：a＜b
      • 开区间：（ ） 闭区间：【 】
  • 表示
    • 列表法
    • 图象法
    • 解析法
  • 性质
    • 单调性
      • 增函数
        • 区间上单调递增
      • 减函数
        • 区间上单调递减
      • 求最值
        • 单调递增有最小值，无最大值 单调递减有最大值，无最小值
    • 奇偶性
      • 奇函数
        • f（-x）＝-f（x） f（0）等于0（0在定义域内）
      • 偶函数
        • f（x）＝f（-x）
      • 既奇又偶
        • f（x）＝0
      • 非奇非偶
        • 例：f（x）＝x+1
• 应用
  • 建模
    • 解实际问题：利用数学模型→数学模型的解→实际问题的解→解决实际问题
  • 求函数解析式
    • 待定系数法
    • 求A设A（适用于分段函数）
• 分段函数
  • 定义
    • 在自变量不同取值范围内，有不同的对应关系，需要用不同解析式表示的函数叫做分段函数
  • 定义域
    • 是自变量各个不同取值范围的并集
  • 值域
    • 先判断所属的取值范围，再代入相应的解析式中进行求解
• 幂函数
  • 图象
  • 定义
    • 形如y＝x^a（a为常数，x是自变量）叫做幂函数
  • 性质
    • a＞0
      • 图象经过点（1，1）（0，0）
      • 图象在【0，+∞）上是增函数
    • a＜0
      • 图象经过点（1，1）
      • 图象在（0，+∞）上是增函数
    • a是奇数
      • 幂函数为奇函数
    • a是偶数
      • 幂函数为偶函数
    • 子主题 5在（1，+∞）上任取一点作x轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，a的值就越大
    • 比较大小
• 图象及变化规律
  • 规律
    • 平移变换
    • 翻折变换
    • 对称变换
  • 图象