初中数学之图形与几何

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初中数学--图形与几何

• 直线、射线、线段和角
  • 概念
    • 直线：无尽头，两段可无限延伸
    • 线段：平面中两点之间的连线
    • 射线：直线上的一点和它的一旁的部分组成的图形
    • 垂直平分线：垂直于一条线段并平分这条线段的直线
    • 角平分线：从一个角的顶点出发引出一条射线，把这个 角分成两个相等的角
    • 余角：两个角的和等于90°，这两个角互为余角
    • 补角：两个角的和等于180°，这两个互为补角
  • 基本性质
    • 直线、射线、线段
      • 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线
      • 两点的所有连线中，线段最短
      • 经过一点（直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直
      • 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
      • 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
      • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
      • 线段的重点到两端点的距离相等
    • 角
      • 角平分线性质
        • 角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等
        • 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
      • 同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等
• 相交线和平行线
  • 相交线
    • 邻补角：∠1+∠2=180°对顶角：∠1=∠3同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠5
  • 平行线
    • 定义：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
    • 推论：如果这两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
    • 性质：两条直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
    • 判定方法
      • 同位角相等，两直线平行
      • 内错角相等，两直线平行
      • 同旁内角互补，两直线平行
      • 平行于同一直线的两条直线平行
      • 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
    • 基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例
• 三角形与四边形
  • 三角形
    • 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边
    • 三角形 三个内角之和是180°
    • 等腰三角形
      • 三角形ABC中，AB=AC，则该三角形是等腰三角形
      • 三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高线、顶角的角平分线三线合一
      • 等角对等边，等边对等角
    • 等边三角形
      • 腰和底边相等的等腰三角形
      • 等边三角形具有所有等腰三角形的性质
      • 三边相等，三角都是60°
      • 边长为a，则面积为√3a²/4，高为√3a/2
    • 直角三角形
      • 直角三角形的两个锐角互余
      • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边
      • 如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
      • 勾股定理：a²+b²=c²
      • 逆定理：如果三角形中，a²+b²=c²，则该三角形就是直角三角形
    • 三角形四心
      • 外心
        • 外接圆圆心，三角形垂直平分线交点，到三顶点距离相等
      • 内心
        • 内切圆圆心，为三角形角平分线交点，到三边距离相等
      • 重心
        • 三条中线的交点，把每条中线均分成2:1
          • 三条中线将三角形分成六个小三角形，面积都相等
      • 垂心
        • 三条高线的交点
      • 性质：直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一，即r=1/2(a+b-c)
    • 全等与相似
      • 全等≌
        • 边角边定理（SAS）：两边及其夹角相等
        • 角边角定理（ASA)：两角及其夹着的边相等
        • 角角边定理（AAS）：两个角相等，意味着第三个角也是相等的，本质也是“ASA”
        • 边边边定理（SSS）：三角形的三条边分别对应相等
        • 根据已知条件，利用辅助线
          • 线段的垂直平分线：垂直平分线两边的三角形全等
          • 等腰三角形的三线合一：底边的中线、高线以及顶角的角平分线
          • 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等
          • 中位线：延长中位线，使得与中位线相等，有三角形全等以及平行四边形
          • 中线：延长中线，使得与中线相等，有两对全等三角形
          • 平行四边形中相对的三角形都是全等的
      • 相似∽
        • 性质定理
          • 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
          • 相似三角形周长的比等于相似比
          • 相似三角形面积的比等于相似比的平方
        • 判断定理
          • 两角对应相等
          • 两边对应成比例且夹角相等
          • 三边对应成比例
          • 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
          • 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
  • 四边形
    • 多边形
      • 内角和=(n-2)*180°
      • 外角和为360°
      • 对角线的条数=n(n-3)/2
    • 平行四边形
      • 性质
        • 对边平行且相等
        • 对角相等，邻角互补
        • 对角线互相平分
        • 中心对称图形
        • 对称中心为对角线的交点
      • 判断
        • 两组对角分别相等的四边形是平行是四边形
        • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
        • 一组对边平行且相等为平行四边形
        • 四边形的对角线要满足互相平分是平行四边形
        • 平行四边形中相对的两个三角形是全等的
    • 菱形
      • 一组邻边相等的平行四边形是菱形
      • 四条边都相等的四边形是菱形
      • 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
      • 对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形
      • 菱形的四条边都相等，对角线相互平分相互垂直，是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴，四个小的直角三角形都是全等的
      • 面积=底*高=对角线乘积的一半
    • 矩形
      • 有一个角是直角的平行四边形是矩形
      • 有三个角是直角的四边形是矩形
      • 对角线相等的平行四边形是矩形
      • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
      • 性质
        • 四个角都是直角
        • 对角线是平分且相等的
        • 矩形是中心对称图形也是轴对称图形
    • 梯形
      • 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
      • 等腰梯形
        • 两腰相等，两底平行
        • 对角线相等
        • 轴对称图形，只有一条对称轴
      • 中位线定理：梯形的中位线（连接两腰中点的线段）等于上下底和的二分之一
      • 面积=1/2*平行的两底的和*高
• 圆与圆锥
  • 圆
    • 相关概念
      • 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径
      • 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧
      • 等圆或等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中能够重合的弧叫做等弧
      • 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
      • 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角
      • 圆的切线：如果一条直线与圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆在交点处的切线
      • 弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角
    • 有关性质
      • 圆是轴对称图形、中心对称图形
      • 垂径定理
        • 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
        • 推理：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的两条弧
        • 垂径定理的逆定理：平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧；弦的垂直平分线经过圆心
      • 圆心角
        • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
        • 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的弧也相等
        • 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等，所对的弦也相等
      • 圆周角
        • 一条弧所对应的圆周角等于它所对的圆心角的一半
        • 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
        • 同弧或等弧所对的圆周角相等
      • 圆内接四边形的性质
        • 圆内接四边形的对角互补
        • 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角
        • 可证明四点共圆
      • 切线
        • 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
        • 性质
          • 经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线
          • 经过切点垂直于切线的直线必过圆心
          • 圆的切线垂直于经过切点的半径
        • 切线长定理
          • 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
      • 弦切角定理
        • 弦切角度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半
        • 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角
      • 相交弦定理
        • 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
      • 割线定理
        • 从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等
      • 切割线定理
        • 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
    • 点和圆、直线和圆、圆与圆之间的关系
      • 点和圆
        • 点与圆的位置关系：点在圆上、圆内、圆外
      • 直线和圆
        • 相离
          • 直线与圆没有交点，圆心到直线的距离d＞半径r
        • 相切
          • d=r，连接圆心和切点对应有一个垂直的关系
        • 相交
          • d＜r，有两个交点
          • 连接圆心和两个交点，对应出现一个等腰三角形，高线、中线、角平分线三线合一，r²=d²+(AB/2)²
      • 圆与圆
        • 外离
          • d＞r₁+r₂，4条公切线
        • 外切
          • d=r₁+r₂，3条公切线
        • 相交
          • ∣r₁-r₂∣＜d＜r₁+r₂，2条公切线
        • 内切
          • d=∣r₁-r₂∣，1条公切线
        • 内含
          • 0＜d＜∣r₁-r₂∣,0条公切线
  • 圆锥
    • 弧长公式
      • l=nπr/180，n°的圆心角所对的弧长l
    • 扇形面积公式
      • S=nπr²/360=½lr
    • 圆锥的侧面积
      • S=½*2πr*l=πrl