国考省考数量关系

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数字推理

• 基础数列
  • 等差数列
  • 等比数列
  • 质数型数列
  • 周期数列
  • 直接递推数列
• 五大题型
  • I. 多重数列（难度低，特征(长≥8个，两括号）明显）
    • 
    • 含括号是奇数项分不了组，只有含括号是偶数项才能分组（两两一组）
    • 如果有两个括号更可能是交叉
    • 有很多多重数列即可以交叉又可以分组，含括号偶数项的情况
    • 交叉后是二级做差数列，那么一级的另外一组交叉一般直接是一个等差数列做信号
    • 类型
      • 1. 交叉数列
      • 2. 分组数列
    • 步骤
      • 比较长的先暂定为交叉或分组
      • 看奇数项还是偶数项
      • 奇数项交叉
        • 做差或者商验证
      • 偶数项交叉或分组
        • 先交叉做一级差或者商，不行直接看分组
  • II. 做商多级数列12%（比作差简单）特征是数字间有明显倍数关系
    • 有0肯定不做商
  • III. 分式数列（特征最明显）
    • 
    • 1. 分组规律型
      • 
    • 2. 交叉影响型
      • 
    • 3. 广义通分型
      • 
    • 4. ※反向约分型（最难）占80%
    • 共同点
      • 
      • 数列中
      • 做题步骤
        • 先试试分子和分母都试一下能不能通分，能通分后有没有规律（如果出现两个1之类的大概率不是通分型）
        • 如果没有规律或明显不是通分，那么就扩大其中比较明显的一个分子再尝试（即反向约分）
      • 例题
        • 
          • 14*3太大，大概在14-45之间乘以2最妙
    • 5. 小数、根数
      • 
  • IV. 幂次数列（有明显特征，难度中等偏简单）
    • 必背
      • 
        • 
    • 主要形式
      • 1. 基础幂次数列（不考了）
      • 2. 幂次修正数列
        • 1. 恒定指数（最简单）
          • 
        • 2. 恒定底数
          • 
        • 3. 变化指数
          • 
        • 4. 常数修正
          • 
        • 5. 等差修正
          • 
        • 6. 正负修正（用多级做差也无法转化）
          • 
        • 六种题型不用分辨是哪种，在知道是幂次数列的前提下，转化后自然就知道了
    • 两个重点
      • I. 
      • II. 
  • V. ※多级数列（无明显特征）
    • 1. 做差多级数列80%（无任何特征）
      • 二级56%
        • 1. 二级等差数列（最简单）
        • 2. 二级等比数列
        • 3. 二级其他数列
      • 三级24%
        • 1. 三级等差数列
        • 2. 三级等比数列
        • 3. 三级其他数列
    • 2. 做商多级数列12%（比作差简单）特征是数字间有明显倍数关系
      • 有0肯定不做商
    • 3. 做和多级数列7%（无特征，但是加出前两个一般就能看到特征）
    • 4. 做积多级数列（几乎不考）
  • VI. ※递推数列（无特征，但可以看整体趋势）
    • 特点：
    • 题型
      • I. 基础型
      • II. ※修正型（占80%）
    • 两种方法联合使用
      • 整体趋势法（招式）
        • 操作简单，只能解决95%题型
        • 核心
          • 六个字：看趋势→作试探
        • 
          • 和方积倍按理说一试就试出来了不要做过多停留
          • 倍数实验时取最接近的试
          • 如果只有一项是符号肯定不是乘除，判断是加还是减可以看趋势
            • 例
              • 
                • 出现符号的时候9小于15了，所以应该是后减去前
      • 子主题（内功）
        • 算的快，可解决全部题型，要求对数字敏感
        • 圈三数法
        • 圈两数法
        • 
  • VII. 小数数列
    • 可能是做差，也可能是像分数数列一样分组点的左和右
  • VIII. 表格类
    • 行相加或者列相加均相等
      • 例
        • 
• 
  • 要领：特征→做差→递推
  • 
  • 数列的极限是三个数有规律，才能推出第四个数

数量关系

• 计算题
• 数字推理题
• 做题经验
  • 1. 男女分组的意义
    • 看到分组想到倍数
      • n个人一组，这个倍数就是n
        • 看到倍数想到倍数法，带入选项
    • 例
      • 
  • 2. 复杂分式化为简单分式
    • 
  • 3. 55/6=9又1/6
    • 5/9余数是5
      • 24*25=600
  • 4. 求百分比（设百分比为X）比如浓度等，可以不加百分号，比较好算
  • 5. 甲的工作效率是乙的N倍=甲：乙工作效率=N:1
    • 甲的工作天数是乙的N倍=甲：乙工作效率=1:N
  • 6. 素数就是质数
  • 7. 翻日历
    • 
      • 七天没翻，所以今天是第八天了
  • 8. 三个数的最小公倍数和最大公约数
    • 先求其中两个再与第三个求
  • 9. 约数个数
    • 
    • 
      • 
      • 分别是：1，2，4，23，46，92
    • 
• 数的性质
  • 1. 有些数一定是正整数的性质可以利用，把选项带入方程可排除错误答案
  • 2. 看一个数能不能被另一个数整除，把除数质解，看被除数是不是符合是这些质数的倍数关系
  • 3. 看倍数关系经常是列出方程后，利用答案倒减某个数的结果来看是否符合（特别是3、7、9、11、13出现小数也不会抹去）
  • 4. 几个连续奇数/偶数和是X，那么平均数就是这几个数的中位数，可推测出这几个连续数
  • 5. 连续数字中所有某类特质的数的总和的平均数=这里面最小数与最大数求和的平均数（除以2）
    • 
    • 等差数列平均数也可以用（最小数加最大数）/2得到
      • 例题
        • 
          • 
          • 可以分别求个十百千万位数是的平均数*对应的位数=总的平均数
  • 6. 等差数列求和及平均数思维
    • 例题
      • 
        • 先求出日期数字之和（等差数列求和公式）
        • 再求出每个人日期之和（均等）
        • 推算出每个人的值夜班具体日期
  • 7. 如果有n个奇数项，（n-1)个偶数项，一共就有2n-1项(一定是奇数个总数）
    • 考点：且奇数项平均数=偶数项平均数
    • 如果有n个奇数项，n个偶数项，一共就有2n项(一定是偶数个总数）
      • 如果有n个奇数项，不可能有n+1个偶数项，因为第一项是奇数项
  • 8. 余数的性质：余数一定小于除数（分母是除数）
    • 
      • 先单独看余数最大是52
      • 再单独看商最大是999/53=18几则最大是18
    • 求余数最大52时商是多少
      • 基于
        • 例：如果5/4余1，那么商是多少（5-余数）/4
      • 先看被除数最大时，如果余数是52，商是多少
        • （999-52）/53（这个不变）=17.几
      • 所以如果满足都是整数的情况，余数是52，商应该是17
        • 这个数就应该是（x-52)/53=17,这个数是953（仅为验证用，其实前面那一步得到17就可以了）
    • 商最大18时余数45＜余数最大52时商17
  • 9. 巧用余数做循环题（循环是指固定一组，其他的都是这一组的复制）
    • 知道了一个循环的起点（为第一个），和一个循环的总数n,那么第X个位置就是1、先求X/n的余数2、从起点（第一个）数到第余数个，数到的位置是啥就是啥
      • 
        • 第136个，136/7余3，即第三个是小说
      • 
        • 注意2050年相对于2011年是第40年，所以40/12,余4是马年
      • 
        • 这种题的数列的余数也是循环的，得到循环正常做即可
    • 其他周期循环题
      • 
        • 
          • 每3一周期，每周期前两个是不能被3整除，第100个就是第50个周期的第2个数
• 年份月份日期天数
  • 基本规律
    • 1357810腊31天永不差
    • 4、6、9、11，30天
    • 润2月29天，平2月28天
    • 4的倍数是闰年；整百年份，400倍数是闰年
    • 一个月最少有4个星期日，最少有四个完整星期
    • 一个整星期是7天，所以4个整星期是28天
      • 例题
        • 
          • I. 8月份比四个整星期多了3天
          • II. 22个工作日说明休息了9天
          • III. 多的三天里面有一天是休息日
          • IV. 结论：第一天是周日或者第三天是周六
    • 每周的星期几与下一个星期几都是差7天（第7天（不包括上个星期几）是本身）
      • 例题
        • 
          • I. 因为是一个月内，一定是1、3、5个周日是偶数
          • II. 第一个周日与第五个周日相差28天
          • III. 因为日期都是偶数，且在一个月内，还差了28天那就是月初和月底，月底日期一定大于28号，只能是30号，30-28=2号，2号是周日，9号是周日10号就是周一
          • IV. 方法二
            • 一个月最少有四个周日，最多有五个周日，这里是三个周日是偶数说明肯定是有5个周日，那么按最长31天算，第一个周日31-28就是在前三天中，是偶数所以肯定是2号
      • 每周播电视剧问题
        • 算出一周一共播放几集电视剧，那么如果周三开始播，到下周三之前播了一周的总集数量
        • 一周播八集，播了35集，周三开始播，那么用余数法也可以，35/8余3，周三周四周五，得到第35集是在周五播出
      • 今天是周四、再过六天是周四、不算今天第七天是周四，算今天第八天是周四
    • 
      • 每隔n天，那每个循环就是n+1天去一次
  • 做题技巧
    • 1. 问：几月几号后第X天是几月几号
    • 2. 先根据X数估算过了几个月（按30天/月估算）
    • 3. 再减去实际每个月份少或多于30天的天数
      • 得到的数字就是过了这些天实际是几月几号
        • 基于：因为4月1号过30天是5月1号
          • 过当月的总天数就是下月的当日
    • 4. 再减成实际问题中问的天数，减得数字往前推就是答案
    • 5. 过6个月，则计算月份天数时只看起始月份到第五个月份的天数
  • 例题
    • 
      • 按3个月/90天算，过2+3+4月的总天数（28+31+30）或(90-2+1)就是5月的当日
      • 过89天是5月15日，过80天就是15-9=6
      • 第89天是（第）15号，则第80天是（第）6号
    • 
      • 最小公倍数30，说明30天一个循环，不包括周三
    • 时差问题
      • 
        • 
      • 时间变化（钟表时间的变化）=飞行时间+两地时差（正或者负）
• 都是过一个循环是当日，第循环日（不包括上个循环）是本身
  • 如果是2号，就是2+7=9号就是下个循环的当日
  • 第96减去第35=61，可以当成第1-第61，第1就是第36

典型错题

• 极限思维
  • 
    • 考点
      • 参赛人数与参赛名次之和是等差数列求和关系
      • 平均数思维
      • 整数思维
      • 极端构造思维
• 容斥原理
  • 
    • 上午活跃+下午活跃-上下午都活跃=N-上下午都不活跃
    • 上下午都活跃=N-上下午都不活跃-上下午有出现不活跃
    • 上下午都不活跃=0
    • 其实上下午中有出现不活跃的情况就是只满足上午活跃、只满足下午活跃的集合
      • 
  • 
    • 能教英语日语是包含三种都能教的情况的
  • 
    • 考点：极端思维+容斥原理
      • 不要与极端容斥混淆
  • 
    • 知道了A+B+C(即x+2y+3z),求A∪B∪C(即x+y+z),可以不求x直接用前面减1y和2z
• 概率
  • 
    • 无绿有黑或白=无绿-无绿无黑无白
  • 比赛获胜概率问题
    • 注意点：前两局能奠定胜局的话，第三局是否获胜的概率可以无视了
      • 
      • 
    • 解题思路，把所有情况穷举出来相加即可
• 浓度
  • 
    • 一定浓度的溶液，加一定溶质和溶剂，他变浓还是变淡的判断方法
    • 
• 最大公约数
  • 
    • 两段打孔，除以最大公约数后还要加个1
• 最小公倍数
  • 都是解重合
  • 小数的最小公倍数
    • 0.8和1
      • 看成8和10，最小公倍数40，再缩回，则为4
  • 解循环
    • 
      • 一个10一个12要想循环回当前的组合就要用最小公倍数，即再过60年（第61年），直接1921+60即可
  • 解植树
    • 
      • 如果要少挖洞则要看每几米重合一次（重合一个洞），则算0.8与1的最小公倍数
        • 每4米少挖一个洞，则原来的洞能用的有10个
          • 如果是每2米少挖一个洞，则原来的洞能用20个
        • 再看新的距离下需要几个洞：40/0.8=50个洞
        • 新挖洞为：50-10=40
          • 如果是每2米少挖一个洞，则新洞是50-20=30个
• 环形跑道套圈
  • 
    • 每追到一次就比另个一人多跑了一圈的距离，所以碰到三次多跑了1200米。实际跑了1600米
    • 然后根据多跑了多少米返推碰到了几次
• 循环比赛
  • 
    • 考点
      • 循环比赛总分算法
      • 比赛中的极端构造法
• 路程问题
  • 
    • 优先考虑列方程，不用动脑
      • B
• 插空法
  • 
  • 技巧
    • 用少的元素插多的元素
    • 道路两侧，相同元素，平均分配，无论松树还是柏树都只有一种情况
    • 然后不同两测分别用插空法，所以二步相乘：
• 几何面积
  • 
    • 三角形ABO与三角形CDO是相似三角形，各条边以及高都是1：2
    • 0点如果是AO：OC=1：2，则也同比例分段了BD与高
  • 面积扩大（直接设数法大胆设1即可）
    • 
      • 9
    • 
      • 1.21
    • 
      • 20
    • 
      • 8天

代入法

• 直接代入法
  • 
    • 使用情形
      • 正面不会算就看选项代入
    • 技巧
      • 1. 能被X整除可推出是X的倍数，X是除数是分母
      • 2. 看乘积结果有几个0看乘数质解后合计有几个2几个5，数少者（一般是5）
      • 3. 不能被X整除，那么所有乘数质解后不能全覆盖X质解的那部分
  • 例题
    • 
      • 像这种一做就蒙的，一定记得试试能不能用代入法
• 直接倍数法
  • 
    • 使用情形
      • 使用选项代入法时，可以根据分析出的倍数关系，排除或锁定答案
    • 技巧
      • 
        • 看末位
      • 
        • 看末两位（00也可以）
      • 
        • 看末三位（000也可以）
      • 
        • 看所有位之和
      • 
        • 
      • 
        • 
      • 能被7、11、13整除
        • 主要针对三位数
        • 看末三位与之前的差
      • 尾数有几个0，那么他的倍数至少尾数也会有几个0
        • 例：23425一定不是460的倍数
      • 3、7、9、11、13出现小数也不会抹去
• 因子倍数法
  • 
    • 技巧
      • 1.涉及小数倍数，其结果就带有小数带3、7、9、11、13因子的倍数
      • 2.方程式中提取公因式
        • 
      • 也就是说3、7、9、11、13这几个数的倍数不管怎么扩大，这几个数是一定摆脱不掉的
      • 
• 比例倍数法
  • a:b=m:n，则a:m=b:n
    • 适用情形
      • 
        • 启示：丙占总数的1/5，乙占总数的1/2
    • 技巧
      • 1. 知道甲占总份数的量（比例），乙占总份数的量（比例）后用最小公倍数假设总量，最后得到甲乙丙的量（份数）
      • 2. 有多少份，结果就是多少的倍数
      • 3. 工效：单位时间工作量
      • 4. 有些题只需要求出二者的比例，然后代入选项哪个符合占比份额的倍数关系哪个就是答案
      • 5. 分阶段式方程：
        • 通过合买价格推出合买单价是144
        • 通过合买单价144推出合买数量113
        • 通过x+y=113代入选项，反过来推合理范围，能排除两个人都是同一阶段的情况的选项
        • 锁定两个人分开的时候各自所在的区间,就可以联合解方程了

假设法

• 划归为一法
  • 
    • 使用情形
      • 两个以上人或物的a/b=c,其中只知道这两个人的一个部分的确定量例如时间（相当于也知道了另外两个量的比例），两个人或物的其他部分全是倍数关系，没有具体数值
    • 原理
      • 设其中一个量A，由于比例关系那么对应的B可以用A的倍数来表示且这两个一定是互相对应的进行变化（自己老是忘这一点！！！）
      • 因为最后发现这个A是可以约掉的，这样求真正的x就变成一元一次方程了，所以不管A设为多少都能算出x了
    • 技巧
      • 1. 设数字的时候一定要看清对应关系是相除的还是相乘的，再设数/未知数
        • 例如题目已知
        • 那么第一反应是设速度粗的是1，细的是2
        • 但是！：这样也意味着你同时假设了蜡烛的长度是2，这个千万不能忘！！！
      • 2. 甲是乙的A/B倍=甲比乙为A:B
        • 例
          • A是B的1/5,A:B=1:5
          • A是B的2倍,A:B=2:1
      • 3. 
        • 数量先x、数量后y有比例关系，总售价w、总成本z有比例关系，求总售价/数量后与总成本与数量先的比例
          • w/y比上z/x的关系就是确定的，但是xy/wz不能确定
          • 也就是说只有在两个数的比例关系确定的情况下才可以设数
        • 这里要注意后亏损的1/5并没有说是在先亏损得1/4的基础上
        • 最后问的是两个数的比例关系，说明这两个数可以随意假设，没有绝对量
      • 4. 比之前怎么多了多少少了多少之类的题，之前的具体数没告诉说明不影响差异数，假设一个数然后强列式子
    • 例题
      • 
      • 巧设数字
        • 
          • 设总电量是210，而不是设1
• 比例假设法
  • 
    • 适用情形
      • 给出比例的同时还给了两个条件之间的差值绝对值（多了多少
    • 技巧
      • 1. 一个占总量1/5，一个占总量1/3那么总量就可设为15
      • 2. 有了比例，有了差值绝对值，就可以知道所有的数值了
      • 3. 如果（甲+乙）/甲=m/n,mn互质，则乙占m-n份
• 浮动主题

方程

• 基本方程
  • 
    • 技巧
      • 1. 出现比例关系的时候可以设甲3x，乙5x这样，方便理解
        • a:b=3:2,设为3x,2x
        • a:b:c=4:3:2,设为4x,3x,2x
      • 2. 哪个未知数能覆盖全部就设哪个为未知数
        • 例
          • 
            • 
              • 正确的设法，直接设总数为X
      • 3. 没有头绪的时候就先直接设
      • 4. 数学里的和差同性是指任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。奇偶同性可用公式表述为：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数
        • 两数和差是奇数，那么二者一定一奇一偶
• 比例方程
  • 
    • 技巧
      • 1. 分子或分母相减能抵掉未知数时使用,可简便计算
      • 2. 
      • 3. 
        • 
          • 出现这种式子用代入法
• 不定方程
  • 不定型（没有限定条件）
    • 
      • 使用情形
        • 不定式方程有好几组解，题目只要求出一组就能答题
      • 技巧
        • 1. 没有条件，指定特值，比如设其中一个未知数是0
        • 2. 工程问题只知道天数，先按照天数的最小公倍数设工程量
        • 3. 如果一个题中一个数字条件都没给，那就全设成1
          • 例
            • 
  • 确定型（有限定条件）
    • 
      • 使用情形
        • 不定式方程，但未知数有限定范围比如正整数等
      • 技巧
        • 1. 倍数性。利用倍数关系，验证选项。
          • （29=7x+4y)这种提不出未知数没头的情况没法用（提不出公因式）
          • （32=7x+4y,7x=4(8-y））这种就把没头y找出来了8-y一定是7的倍数，同时x一定是4的倍数，所以y=1，x=4的倍数（能提出公因式）
        • 2. 奇偶性。（29=7x+4y)，29是奇数，4y是偶数，7x一定是奇数才行
        • 3. 有限定范围的不定方程确定型，一定不能随意指定特指
        • 4. 平均数思维2，（1）有大小排序的数字，他们的总和已知情况下同时可知平均数，然后最大的数一定大于平均数，最小的数一定小于平均数。（2）两个未知数x>y，那么28=4x+3y,x大于4，y小于4
    • 不定性方程确定型，可以直接用选项代入法锁定答案
• 浮动主题

应用问题

• 工程问题
  • 
    • 只知其一用假设
  • 技巧
    • 1. 数比较大不知道假设哪个，假设单位效率为1
    • 2. 数比较多就先别急着算数，先把式子列出来，最后化简
    • 3. 题目隐含的条件不明确或者未告知的统一用最简方法假设
      • 例
        • 
  • 新增
    • 例题
      • 
        • 1. 总的工作量一定，所以前后相等
        • 2. 在计划时间内，乙的工作量一定，所以这时间内乙工作的部分前后相等
        • 3. 所以计划外5天乙的工作量=甲工作了3天的工作量
        • 4. 则工作效率甲比乙=5:3
        • 5. 同时工作效率之比还是（计划时间+5）：计划时间
        • 6. 所以(5+x)/x=5/3
• 统筹工效
  • 
    • 适用范围
      • 1工程问题是两个人生产相同东西各自效率的情况2.统筹功效是两个人都能生产零件A或零件B或者完成项目A或项目B，且各自有各自的单位效率，两个人合作，单位时间最多能生产多少完整套（1A1B算一套）
    • 技巧
      • abcac法，A（B＋C）/（A+C)
        • 1. 先画表格，列必须代表部件，行是生产部件的东西，内容一定是单位效率（量）
        • 2. 交叉相乘，大中大是A，大中小是B，A旁边是C
        • 3. 这类问题关键是套数的定义，所以1A1B，加起来还是1，需要设工程量的情况下都设1，最后倒求时间也用1除
• 十字交叉（A/B)
  • 
    • 适用范围
      • 满足A*x%+B*y%=(A+B)r%的情况
        • 1. 浓度调和,溶质含量恒定，混合浓度r%,AB是溶液总质量，ab是各自浓度
        • 2. 各自平均分之和=总数平均分,r，AB是人数之比，ab是各自平均分
    • 技巧
      • 1. 
        • 极限思维要列公式再思考
        • 考试分数可以是小数点后1位
• 平面路径
  • 种类
    • 
      • 
    • 
      • 
        • 技巧
          • 1. 通过连线把奇点变偶点，消得只剩2个奇点
          • 2. 连线的时候连最短距离的线
          • 3. 踩过的线不能回踩，想走最长的路就是不碰死角
• 爬楼问题
  • n-1层
  • 从第一层到第四层是爬了3层
• 乘船过河
  • a总人数里面要减去一名划船人员
  • b一艘船每次能载的人数也要减去固定的划船人员
  • a/b得到需要几趟，每趟都是一去一回的路程
  • 过河最后一趟是不用返程的
• 排队问题
  • 把两个按反方向顺序排序的人变成同一方向的排序
    • 用总数-其中一个第多少=剩余人数+1=另一个方向数的第多少人
    • 两个相同方向上的第多少人之间的差额-1=中间的人数（不包括两者）
  • 例
    • 
• 方阵问题
  • 公式：(X/4+1)平方
  • 
    • 
• 植树问题
  • 固定长度L等距离n种树
    • 如果是直线
      • 有（L/n)+1（头上的）棵树,如果去除除两个端点的树则中间有（L/n)-1棵树
        • 如果只是不算头上的那棵树那即是（L/n)棵树
        • 例
          • 
            • 60
          • 
            • 397
          • 
            • 
    • 如果是圆形
      • 有（L/n)棵树
        • 例
          • 
            • 如果要少挖洞则要看每几米重合一次（重合一个洞），则算0.8与1的最小公倍数
• 砝码称物
  • 均等称物
    • 核心
      • 如果是三等分，那么从称出可以合成1/3的份数起，再加一步就可以完成三等分目标
    • 例题
      • 
  • 不均等称物
    • 核心
      • 1. 快速凑份（目标要求份数）
      • 2. 如果分物，看均分之后与目标份数的差额份数
      • 3. 然后用法码快速凑出差额份数
      • 4. 凑出差额份数，当场就能完成（所以凑出差额份数即为最后一步）
    • 例题
      • 
  • 先称码还是先平均分物
    • 如果码相加离目标份数差距大，先分物
    • 如果称码可以两步之内得到目标份数（均分成几份就是每份的份数），先称码
  • 如果没有头绪就进一步均分凑份
• 浮动主题

应用问题

• 溶液问题
  • 
    • 公式
      • 浓度=溶质/(溶质+溶剂）或者叫溶液
    • 技巧
      • 1. 溶液和溶质质量恒定，不管怎么倒总和一定，利用这个把溶质或者溶液的量减出来
      • 2. 溶液取出来一部分，浓度不变
      • 3. 饱和溶液的浓度就是上限浓度
      • 4. 溶液增加一部分是会变浓还是稀释的快速比较：可以原来的溶质/溶剂（溶液）列分式，再把新加部分的溶质/溶剂（溶液）列分式，二者通分分子或者分母则可以较，增加的部分比原来浓，则更浓，增加部分比原来稀则更稀
      • 5. 来回倒腾的题，把每一步的溶质、溶液列出来最清晰
• 牛吃草问题
  • 子主题
  • 
    • 问法
      • 1. 问n天吃完的需要的牛数
      • 2. 问n头牛吃完，要用多长时间
    • 适用于
      • 1. 抽干水（水可以匀速长或者不涨，速度未知）
      • 2. 开采河沙（河沙匀速沉积，速度未知）
      • 3. 匀速研磨或者消耗来生产东西
      • 4. 匀速漏气的氧气罐吸氧
    • 特殊情形
      • 如果要保证不被吃完/开采完需要多少牛/人
        • 即表格中时间是无穷大，第二列趋近于0，人数/牛数即直接为第三步除出来的数
• 约数倍数-小数分数型
  • 
    • 技巧
      • 1. 分子先化成最简
      • 2. 不管求约还是倍，先求分子再求分母
      • 3. 整体求约还是倍，分子永远随整体同时分母反着来
    • 适用于
      • 等距打孔用最大公约数
      • 多个等距交叉，起点终点能重合，周长就是最小公倍数
• 时间统筹
  • 不能同时进行只能按顺序（谈话）
    • 让短的先干可最大化节约时间
    • 
      • 
  • 部分能同时进行
    • 有先后顺序不能同时进行的部分
      • 先干短的
        • 洗水壶→烧水
    • 其他能同时进行的部分
      • 取最长即可
        • 其他
    • 例
      • 
• 距离统筹
  • 完成任务时（最后一次需要返回）
    • 
      • 
    • 方法
      • 先求出要运多少次
        • 20/3
          • 7次
      • 重点：则最短的那一次放在最后，因为都要返回
      • 直接把第一次和最后一次当成等差数列，进行求和
  • 运到最后一个时（最后一次不用返回）
    • 
      • 
    • 
    • 方法
      • 1. 先求出要运多少次
      • 2. 重点：则最长的那一次放在最后，因为不用返回
      • 3. 同时把最长的那一次按最大运送量顺带把他前面的几个给运送了
      • 4. 然后试算
  • 支点法
    • 

应用问题

• 循环比赛
  • 单循环(每个队伍都要跟其他队伍打一场）
    • 
  • 双循环
    • 
  • 核心
    • 问法
      • 1. 算出总分后问各名次是多少分（用直接构造法）
      • 2. 知道了前几个选手各都比赛了几场，问剩下的选手应该比赛了几场（画图连线法）
    • 技巧
      • 1. 构造时用极限构造法，第一名设为满分，后面的后延，一般能对上答案
      • 2. 画图连线法，先连场数最多的，次连场数最少的，之后剩下的连一下答案就有了
      • 3. 每个人各自单独比赛的场次相加一定是偶数（因为一定是总场次的两倍）
• 淘汰比赛
  • 
    • 1. 经典型
      • 打擂台，输的下场车轮战
      • 捉对，两两PK
    • 2. 新型
      • 
    • 比赛总场次一定是总人数-1（因为冠军只有一个剩下都淘汰）
    • 3. 反复淘汰型
      • 原理
        • 
      • 问法
        • 题目告知每个人胜负情况，问他们至少打了几局
      • 技巧
        • 1. 两个人间各自输的次数相加=两个人各自赢得次数相加=两个人的比赛总场次
          • 因为两个人之间甲输=乙赢，甲赢=乙输，甲输+甲赢就是总场数了
            • 两个人之间比赛，不是甲输就是乙输/不是甲赢就是乙赢
        • 2. 甲乙丙三个人反复淘汰的情况下，总场次数=甲输的场次+甲赢得场次+乙丙之间打的场次（因为除了甲输、甲赢剩下的都是乙丙之间打）
        • 3. 甲胜那么乙或丙一定负，所以甲胜X场乙和丙加起来负Y场次,那么Y-X就是乙和丙之间比赛输的总场次
        • 4. 乙丙之间比赛的次数N就是甲被淘汰的次数N，除非甲在第一轮没参加则场次是N-1
• 九宫推理
  • 
    • 核心
      • 九宫格所有横竖斜的和都一样
    • 重点
      • 1. a、f、h是等差数列，a在中间，f、h不一定（最容易考，顶点和远处两腰的关系）
      • 2. 等差思维贯穿全局
      • 3. e=A/3平均数思维
• 经济利润
  • 
    • 问法
      • 利润率给出，盈利价卖了多少、亏钱价卖了多少，至少原价要卖出多少
    • 技巧
      • 1. 要想盈利的价格卖得量最少，那么亏钱的价格卖得量越少越好（亏得越少要求的盈利就越少）
      • 2. 用了极限思维的情况下，也别忘了考虑不等式思维
        • 例
          • 

极端思维

• 极端构造设定法
  • 技巧
    • 1. 看到几个数的平均数，一定马上想到总和，平均数*个数
    • 2. 总数一定，让最大的数最大，最小的数要尽可能小，其他数字也尽可能小，此时，只有最大的数是x
    • 3. 总数一定，让最小的数最大，最大的数要尽可能小，其他数要在比最小数大的基础上尽可能的小，最小的数是x，那就有x+1、x+2等都未知（如果求得x是小数取整则取小）
      • 反之，最大的数最小，其他数要尽可能大
    • 4. 总数一定，让最小的数最小，其他数尽可能大
    • 5. 平均数思维1：等差数列的和等于这一行数中间的数*个数，利用这个速算极限思维下的求和（因为极限思维经常会构造出相邻的数字1234这样）
    • 6. 整数思维，利用一些数字的性质一定是整数（例如名次）通过平均数可猜整数和个数
    • 7. 等差数列求和公式n（a1+an)/2,
      • 适用于
        • 参赛人数n所有参赛者名次之和就等于n(1+n)/2（如果求n用最笨的速算法反而最好）
• 极端容斥
  • 题型一：二多相加取一半
    • 
      • 注意：
        • 满足两个条件最多有多少，满足两个条件指的是只满足其中两个条件
      • 情形
        • 1. 先判断
          • 不构成三角形（较小两数和不能大于第三边）
            • 较小两数和
          • A+B+C＞2M（M是总数）
            • 3M-(A+B+C)
        • 2. 普通
          • （A+B+C)/2
  • 题型二：三少相加减二和
    • 
      • 问法：
        • 三个条件都满足的最少有多少
      • 做法：
        • (A+B+C)-2M
    • 延伸：N少相加减（N-1)和
      • 
• 调和平均数法
  • 
    • 方法
      • a,x,b的倒数是等差数列，x=2ab/(a+b)
    • 适用题型
      • 1. 等距离平均速度
        • 前一半路程和后一半路程距离相等速度不等，求总路程平均速度,是x（时间是等差数列，时间的倒数速度也是等差数列）
      • 2. 等价钱平均价格
        • 用相同的钱数买了两种单价不同的糖，合起来算价格多少,是x（单价）
      • 3. 定盐加减水
        • 盐不变浓度a%增加水浓度变为x%,在增加相同水浓度是b%,中间是x
          • 计算时可去掉百分号
      • 4. 等间隔时间发车前后过车问题
        • 一条路前后两头等间隔时间发车，匀速行驶的人每a分钟被后面追上，每b分钟前面迎头开来，发车间隔时间是x
      • 5. 前后更换轮胎问题
        • 轮胎套前轮上能走a米，套后轮上能走b米，前后两个都套上走多远x米

行程问题

• 基础行程问题
  • 
    • 技巧
      • 1. 只知其一用假设
      • 2. 小时分钟最后再换算
      • 3. 路程相等可以求两个的平均速度（调和平均），时间相等时不可以
      • 4. 先列方程，看未知数不好解再考虑用比例假设法
      • 5. 几点钟到已知，那么到之前的时间是往前推的，分钟要算好
      • 6. 直线多次迎面相遇（两端出发）第n次相遇共走了2n-1次路程
      • 7. 时间相同——则二者路程之比=速度之比
  • 跑火车问题
    • 火车
      • 通过一段路程
        • 
        • 火车自身长度要包含在通过长度中（车头到车头是路程长度+车尾出去（即车头到车尾）
      • 两辆火车之间互相跑
        • 
        • 速度快的是A，慢的是B
          • 车尾平齐到车头平齐
            • A车头到B车头=两辆车长度之差
          • 车头平齐到车尾平齐
            • A车尾到B车尾=两辆车长度之差
          • 车尾平齐到完全超越
            • AB车尾到B车头=B车的长度
          • 车头平齐到完全超越
            • AB车头到A车头=自身的长度
• 相对速度-相遇追及
  • 
    • 技巧
      • 1. 如果有三个人的速度都没告知的情况下，三者速度又有逻辑关联，那只能设一个数，其他数则用x,y
• 相对速度-环形运动
  • 
    • 技巧
      • 1. 环形跑道反向运动相遇1次是全程是1圈，相遇N次全程是N圈
      • 2. 同向运动相遇，相遇1次多跑了一圈，第n次相遇多跑了N圈
• 相对速度-流水行船
  • 
    • 技巧
      • 1. 消t法

容斥原理

• 两集合标准型
  • 
    • 算法
      • 满足1+满足2-都满足=总数－都不满足
• 两集合图示标数型
  • 
    • 适用情形
      • 只满足，因此条件无法直接代入的情况
    • 算法
      • 画图标数法，把图画出来再标数
    • 标准型转图示型（只满足A、B条件出现)的转化公式
      • 
• 三集合标准型
  • 
    • 算法
      • 
    • 注意（适用于本章节全部情况）
      • 1. 如果题目说满足两个条件的
        • 描述是满足A、B是多少，满足B、C是多少，满足A、C是多少那么就是这部分各自分开给的
        • 描述是直接说满足两个条件的是多少，那就不包含三个条件都满足的情况而且是直接给的总和，那就不适用本情形了
      • 2. 只满足A和B，那就是也不包含三个条件都满足的情况，就不是
      • 3. 只满足A，那就是相交部分不算进去，就不是
• 三集合图示标数型
  • 
    • 适用情形
      • 只满足，因此条件无法直接代入的情况
    • 算法
      • 画图标数法，把图画出来再标数（标数由中间向外围标记）
    • 注意
      • 1. “满足某条件”和“仅满足某条件”的区别
        • 例
          • “语文不及格”和“只有语文不及格”
      • 2. 注意通过文字描述，分析是否有“三者都不满足”的情形
      • 3. 这三个部分都确定的情况下，要想仅满足两个条件的部分足够大，他们的交叉部分就要足够小，即最小
• 三集合整体重复型
  • 
    • 适用情形
      • 满足一个条件的数目、满足两个条件的数目，那么就是直接给了总数，而且不包含条件数以上的满足情况（相交部分）
    • 算法
      • 1. 只满足一个条件的(只参加一次）集合是x,满足两个条件的（只参加两次）集合是y,满足三个条件的（三次全参加）集合是z
      • 2. 人数：W=A∪B∪C=x+y+z,即至少满足一个条件的数目
        • 
      • 3. 总人次：A+B+C=x+2y+3z
      • 4. 人次：满足A的是x1+y1+y2+z（所有跟A沾边的总计人次），满足B的是x2+y1+y3+z,满足C的是x3+y2+y3+z
    • 注意
      • 如果题目描述的是“满足一个条件的是多少”，“满足两个条件的是多少”那么就是直接给了总数，且不含相交部分并不是的情况或者相加的情况
      • 如果题目描述的是“满足A的情况”则是，“满足A和B的情况”则是
      • 如果题目描述的是“仅满足A的情况”则不是，“仅满足A和B的情况”则不是
    • 技巧
      • 知道了A+B+C和y、z的数，用x+2y+3z-y-2z=W,这样可以快速算W省去算x的步骤
        • A∪B∪C=A+B+C-y-2z
      • 注意人数和人次（参加了几次）在容斥里面的对应关系

排列组合

• 排列组合
  • 1. 特殊元素优先安排
    • I. 
      • 数字问题先考虑尾数，再考虑首数，最后考虑中间
    • II. 
  • 2. 元素定序问题（空位法）
    • 这里的定序是指几个元素的相对顺序固定
      • 
      • 
  • 3. 捆绑法（要求相邻）
    • 
      • 
    • 例题
      • 
  • 4. 插空法（要求不相邻时）
    • 
      • 
    • 
    • 组合+概率
      • 
        • 一共12人，3个人不相邻相当于3插剩余9个人（10个空）
          • 因为不需要一个个选出来所以不用排序
    • 用插空法时一定要用少的去插多的
  • 5. 分组除序问题
    • 
      • 
        • 
    • 领悟
      • 1. 只要是说了不同组都要考虑排序问题
      • 2. 但是排序是在最后一次性排序
      • 3. 在一次性排序之前必须先把部分分组数相同的进行除序（有几个分组数相同就除以A几几）
      • 4. 例题
        • 
          • 
    • 加深领悟
      • 不同元素进行分组/分配
        • 分组（没有组名/不考虑排序）
          • 
            • 
          • 
            • 
          • 
            • 
        • 分配（有组名的分组/考虑排序）
          • 情况1：不同元素，不同组名，平均分组
            • 例题：将六本不同的书，平均分给甲乙丙三个人，共多少种分法
              • 
          • 情况2：不同元素，不同组名，不平均分组
            • 例题：将六本不同的书，分给甲乙丙三个人，每个人的数量是3，2，1，共多少种分法
              • 
          • 情况3：不同元素，不同组名，部分平均分组
            • 有要求每组至少有1个元素
              • 
                • 
          • 情况4：不同元素，不同组名，任意分组（可以有某组是0个元素）
            • 相当于店客法
              • 
                • 店是底数（不可重复），客是指数（可重复）
      • 相同元素进行分组/分配
        • 分组（没有组名/不考虑排序）
          • 相同元素，不分组名只能用穷举法
            • 情况1：有要求每组至少有1个元素
              • 
                • 
            • 情况2：没有要求每组至少有几个元素
              • 
                • 
            • 情况3：平均分
              • 只能有一种情况
        • 分配（有组名的分组/考虑排序）
          • 相同元素，不同组名，平均分配，那么同样只有一种情况
          • 直接用隔板法（隔板法的好处就是不用考虑不同组的排序情况，直接选板就行）
            • 隔板法公式
              • 
            • 情况1：有要求每组至少有1个元素，则总板数=元素数-1
              • 
                • C5,2
            • 情况2：没有要求每组至少有几个元素，则总板数=元素数+2
              • 
                • C8,2
            • 情况3：直接要求每组元素个数是具体的不少于多少
              • 
                • 所以把2号盒放1个球，3号盒放2个球
                  • 相当于把问题转化为情况1，每组至少一个元素的情况
                    • 得到总板数=（元素数-3）-1
                • C16,2
            • 选板数都是分组数-1
• 概率
  • 
    • 算法
      • 1. 公式
        • 
      • 2. 概率可直接用概率算
      • 3. 概率也有用排列组合算的情况
    • 技巧
      • 1. 用排列组合计算概率时，分母是所有排列组合的情况
      • 2. 分子是我们需要的情况，但是在考虑顺序的情形下，一定不要忘记分子还有特定情形达成以后，其他元素的排序要乘上
      • 3. 抓阄问题不受顺序影响，先抓后抓概率都一样，每个人概率也一样
        • 例
          • 
      • 4. 需要求至少有一个什么，就用逆向计算求没有这个的情况，看到有什么就想到总-没有这个
        • 例
          • 有黑或白且无绿=无绿且有黑或白=所有无绿情况-无绿且没有黑白的情况
      • 5. 如果计算概率要满足的几个条件之间还有包含关系，那么被包含的那个条件可以不用算了，满足范围大的一个即可全部满足
      • 6. 概率要有排序，没说排序的话两种第一次都要加起来
        • 
    • 条件概率
      • 
        • 其中一颗是奶糖了，另一颗也是奶糖的概率
          • 先求出两颗奶糖的概率（即正常情况下得到题目结果的概率）
          • 再求出至少有一颗奶糖的概率（即至少满足确定条件及它以上的情况做分母）
          • 1/2即条件概率
• 
  • 公式
    • 
    • 
    • 
  • 技巧
    • 1. 分情况是分类，最后相加；分步骤是分步，最后相乘
    • 2. 几种选法是组合不考虑顺序，几种安排是排列要考虑顺序
    • 3. 题目出现“第几次”，说明有排序
    • 4. 分情况时发现情况种类太多不如用逆向法
    • 5. 不同元素才考虑分组除序问题，相同元素考虑隔板法（不同组名时）
• 浮动主题
• 浮动主题

几何图形

• 几何长度
  • 公式
    • 
  • 技巧
    • 1. 图形翻滚的路线长，就是求弧长
    • 2. 分针和秒针（如果弧度（角）相同的情况下，弧长比就是针长比
    • 3. 同一时间内，分针走过的弧度永远是秒针的1/60度
    • 所以分针走的弧长/秒针走的弧长=分针长度/秒针长度*1/60弧度
  • 三角形
    • 
    • 
• 几何面积
  • 类型
    • 平面表面积
      • 
    • 立体图形表面积
      • 
  • 技巧
    • 1. 三角形任意一条边的中点与顶点连线，一定能把三角形分成两个面积相等的三角形
      • 
    • 2. 两条边长度比很多时候能转化为，两条边各自形成的三角形的面积比
• 几何体积
  • 公式
    • 
  • 技巧
    • 1. 比之前怎么怎么样的题，之前的具体数没告诉说明不影响差异数，假设一个数然后强列式子
    • 2. 多步骤比如杯中取东西放入另一杯中，直接列表格
      • 常用于浓度问题和体积问题
    • 3. 放入杯中的石块的体积=水位增长高度*水杯底面积
    • 4. 正四面体的体积=√2/12*a的三次方，但是一般用切割法计算
      • 例
        • 
• 立体切割
  • 对角面切割
    • 
      • 问法
        • 把一个立方体切割成两个后，两个物体表面积最大是多少？/即切面面积最大是多少。按最大的切然后求表面积即可解答
      • 技巧
        • 1. 切面面积大小排序=切线长度排序=切面周长排序
        • 2. 对半切割，能切得最大面积是过长边切法，最小面积是垂直竖切最长边
          • 
  • 外爬线切割
    • 
      • 问法
        • 立方体对角点之间，通过在表面爬，最短和最长的距离是多少？
      • 技巧
        • 切最长边，距离（切线）最短；切最短边，距离（切线）最长
        • 切完展开是三角形，所以切线长度用勾股定理计算