导数与微分

这是一篇关于导数与微分的思维导图，包含导数的概念、 导数运算与导数公式、 复合函数求导法则等。

导数与微分

• 导数的概念
  • 定义：设y=f(x)在x。的某一邻域内有定义,在该邻域中任意给定x。一个改变量 △x,得到函数值f(x。)的一个改变量 △y=f(x+△x)-f（x。),如果极限lim△y/△x=limf(x +△x) -f(x。)/△x存在,则称 y=f(x)在x。点可导,并且称上面的极限为f(x)在x。点的导数,用f'(x。)
  • 导数的几何意义：f'(x。)表示曲线y=f(x)在点M(x。，f(x。))处的切线的斜率，即f'(x。)=tanɑ(ɑ是倾角） 切线方程为 y-y。=f'(x。）（x-x。） 法线与切线垂直
  • • 二、函数在可导点的局部性质：定义：设y=f(x)在x。的某一邻域内有定义,若极限limx→x+ f(x)-f(x。）/x-x。存在,则称f(x)在 x。点有可导,且称上面的极限为f(x)在x。点的y右导数,用f'+(x。)表示;若极限limx→x- f(x)-f(x。）/x-x。存在,则称上面的极限为f(x)在x。点左导数,用f‘(x。)表示.
    • 性质1：f(x)在x。点可导的充要条件是在x。点既左可导又右可导且f'+(x。)=f'-(x。).
    • 性质2： f(x)在x。点连续是f( x)在x。点可导的必要条件但不是充分条件。
• 导数运算与导数公式
  • 反函数的导数：两个互为反函数的函数，他们的导数也互为倒数
  • 一个可导函数X不可导函数为可导=可导函数在不可导函数的不可导点上的函数值为0
  • 分段函数求导在分界点上的导数一定用定义来求
• 复合函数求导法则
  • 性质3.6 设u=g(x)在x。点可导,而 y =f(u)在u。=g(x。)点可导,则y=f[g(x)]在x。点可导,且dy/dx|x=x。=(f[g(x)])'|x=x。 =f'(u。）g'(x。）=f'[g(x。)]g'(x。）写成导函数的形式为dy/dx=(f[g(x)])'=f'[g(x)]g'(x)(称之为复合函数导数的链式法则) 简写为dy/dx=dy/du*du/dx
  • 隐函数求导：将y看作x的函数，两边同时求导
  • 对数求导法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法{用于幂指函数和多个函数想乘除}
• 微分及其计算
  • 定义：设 y=f(x)在x。的某一邻域内有定义,若在其中给x。一个改变量△z x,相应的函数值的改变量△ y 可表示如下:△y=f（x。+ △x) -f（x。) =A△ x +o（△x）(△x→0）其中A与△x 无关,则称 y =f(x)在x。点可微,且称 A△x 为f（x)在x。点的微分 记为dy|x=x。=df|x=x。=A△x
  • 性质：y=f(x）在x。点可微的充要条件是f(x)在x。点可导，当f(x)在x。点可导时 df|x=x。=f'(x。)△x 可微=可导
  • 复合函数的微分：链式法则
  • 微分：导数乘以dx
• 高阶导数与高阶微分
  • 定义3.4若 y'=f'(x)在 x。点可导,则称 y =f(x)在x。点二阶可导,且称y'=f'(x)在x。点的导数为 y =f(x)在x。点的二阶导数,用f"(。或y“|x=x。,或d²y/dx²|x=x。表示.类似地可以定义三阶导数f"’(x。),四阶导数f（⁴)(x。)及n 阶导数f(n)(x。）
  • 高阶微分 y =f(x)的微分函数 dy 关于x 可微,则称y=f(x)关于x二阶可微,且称 dy =df(x)关于x 的微分为 y =f(x)的二阶微分,用d²y示,类似地可以定义n阶微分dnxy 或 dnf(x)).
  • n！表示n的阶乘