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初中数学冀教版思维导图
这是一篇关于初中数学冀教版的思维导图。包含了代数计算、几何推理等内容，最细节的复习体系知识点梳理图，非常实用，赶紧get加强记忆。
编辑于2021-07-03 02:31:58- 代数计算
- 几何推理
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初中数学
八上知识体系
代数计算
1. 分式和分式方程
1.1. 分式
概念
分式：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式
最简分式：分子和分母没有公因式的分式
性质
分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变
方法
分式的变形
约分：百分数中的分子和分母的公因式约去
通分：把几个异分母分式分别化为与他们相等的同分母分式
分式的运算
分式的乘除
乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
除法：把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘
分式的加减
同分母：分母不变，分子相加（减）
异分母：先通分，再相加减
分式的混合运算
与数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号先算括号内的
分式混合运算结果，应化为最简分式或整式
1.2. 分式方程
1概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2.求解
1.去分母（乘最简公分母）
2.解方程（解整式方程）
3.验根（公分母不为零）
3.应用
审题—设未知数—列方程—解方程—验算—答
2. 实数
2.1. 平方根
概念
如果x²=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也称为二次方根
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
表示方法
正数a的正的平方根记作“√a”，负的平方根记作“-√a”
根指数2省略不写
正数a的两个平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”
平方根的性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
开平方
求一个数a的平方根的运算叫作开平方，其中数a叫作被开方数
平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系
算术平方根
正数a的两个平方根±√a，其中正数a的平方根√a，叫作a的算术平方根，记作“√a”
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，积√0=0
2.2. 立方根
立方根与开立方
如果x³=a，那么x叫作a的立方根
求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方与立方运算互为逆运算
立方根的表示方法
一个数的立方根，用符号“3√a”表示，读作“三次根号a”其中a是被开方数，3是根指数
立方根的性质
正数的立方根是正数
负数的立方根是负数
0的立方根是0
2.3. 实数
概念
无理数： 无限不循环小数
实数：有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点一一对应
分类
（按定义分）实数
有理数
正有理数
0
负有理数
无理数
正无理数
负无理数
（按正负分）实数
正实数
正有理数
正无理数
0
负实数
负有理数
负无理数
2.4. 近似数
概念
与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数
精确度
近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度
平方根的估算
夹逼法：以较大整数为基础，开始逐步减0.1，并求其平分
3. 二次根式
3.1. 概念
一般地，式子√a（a≥0）叫作二次根式
√：二次根号
a：被开方数
3.2. 性质
1.当a≥0时，√a≥0（非负性）
2.当a≥0时，（√a）²=a
3.√a²=lal=
a（a≥0）
-a（a＜0）
3.3. 运算
二次根式的乘除
乘法法则
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
√a*√b=√ab（a≥0，b≥0）
除法法则
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
分母有理化
在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。
把分母中的根号化去的过程称为分母有理化
最简二次根式
1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
2.被开方数中不含字母
3.分母中不含有根号
二次根式的化简
因式的外移和内移
二次根式的加减
同类二次根式
经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式
二次根式的加减
先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式
二次根式的混合运算
加、减、乘、除、乘方、开方运算
运算顺序与有理式的运算顺序相同
运算律仍然适用
几何推理
1. 数学方法
1.1. 推理逻辑
命题
命题的真假
真命题：命题正确
假命题：命题不正确，能够举出反例
命题的互逆
原命题：互逆命题中的一个命题
逆命题：互逆命题中的另一个命题
互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题
互逆定理：一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为圆定理的逆定理，两个定理构成互逆定理
证明
定义：根据已学过的基本事实，定义性质和定理等，通过有理有据的推理，证明某个命题是真命题的过程
反证法
定义：先假设原命题结论不正确，从假设出发，逐步推理论证，推出与学过的性质定理、基本事实相矛盾的结果，因此假设错误，这种证明方法叫做反证法
一般步骤
1.假设命题结论不成立
2.从假设和其他已知条件出发，推理论证得出与已学过的性质定理相矛盾的结果
3.由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的
1.2. 绘图手段
尺规作图：只用直尺和圆规作出图形的方法
2. 图形的全等
2.1. 全等图形
概念
全等图形：能完全重合的两个图形叫做全等图形
对应点：两个全等图形重合时，互相重合的点
对应边：两全等图形重合时，互相重合的边
对应角：两全等图形重合时，互相重合的角
性质
两全等图形中，对应角相等
两全等图形中，对应边相等
2.2. 全等三角形
概念
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，用“≌”表示
全等变换：只改变图形的位置，不改变的图形的形状，大小。
性质
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
两全等三角形的中线、高线、角平分线对应相等
判定
1.SSS：三边相等
2.SAS：两边一夹角
3.ASA：两角一夹边
4.AAS：两边一角
5.HL：两直角三角形中，对应直角边和斜边相等
6.不能判断三角形全等的两种情况
1.SSA：已知两边及一边的对角的两个三角形不一定全等
2.AAA：有三个角对应相等的两个三角形不一定全等
3. 轴对称和中心对称
3.1. 图形的轴对称
概念
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫轴对称
轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁部分完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
对称轴：上述“直线”为轴对称图形的对称轴，对称轴是一条直线，不是射线，也不是线段
性质
关于某条直线对称的两个图形是全等形
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上
3.2. 线段的轴对称
线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等
3.3. 角的轴对称
角的平分线：过角的顶点，并且平分这个角的一条直线
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上
3.4. 常见图形的对称轴
1.角
角平分线所在直线，1条
2.等腰三角形
底边的垂直平分线，1条
3.等边三角形
每条边的垂直平分线，3条
4.正方形
1.对角线所在直线，2条
2.对边中点所在直线，2条
5.圆
直径所在的直线，无数条
3.5. 轴对称图形的画法
作某点关于某直线对称
1.过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长
2.在延长线上从垂足出发，截取与已知点到垂足距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点
作已知直线关于某直线对称
1.找：在原图形上找特殊点
2.作：作各特殊点关于已知直线的对称点
3.连：按原图对应连接各对称点
3.6. 中心对称图形
概念：如果一个图形绕某一个点旋转180度后，能与他自身重合，我们就叫这个图形为中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
性质：在成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分
4. 勾股定理
4.1. 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
4.2. 勾股定理的逆定理
勾股数
定义：能够成为直角三角形三边的三个正整数
类型
类型一：3—4-5型
类型二：5—12—13型
类型三：8—15—17型
逆定理
内容
如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方，那么该三角形是直角三角形
应用
1.判定三角形的形状
2.求不规则图形的面积
5. 特殊三角形
5.1. 等腰三角形
等腰三角形
概念
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形
性质定理
等腰三角形两底角相等，“等边对等角”
判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，“等角对等边”
等边三角形
概念
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形
性质定理
等边三角形的三边都相等，三个角也都相等，并且每一个内角是60°
判定定理
1.三条边都相等的三角形是等边三角形
2.三个角都相等是三角形是等边三角形
3.有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形
5.2. 直角三角形
概念
有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形
性质定理
1.直角三角形两锐角互余
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
七下
6二元一次方程组
二元一次方程组
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程
二元一次方程的一组解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值
方程组：有几个方程组成的一组方程
二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组
二元一次方程组的解：二元一次方程组中方程的公共解
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组：求二元一次方程组的解的过程（将二元一次）
代入消元法（消元法）：将方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程
加减消元法（加减法）：将二元一次方程组中的两个方程适当变形后进行相加减，消去一个未知数，得到一元一次方程
二元一次方程组的应用
找等量关系
设未知数，列方程
解方程，得结果
简单的三元一次方程组
三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程
三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组
解方程组：转化思想，将三元转化为二元，再转化为一元
7相交线与平行线
命题
命题：能够进行肯定或者否定判断的语句，命题由条件和结论两部分组成，可写成“如果…那么…”
真命题：正确的命题
假命题：不正确的命题
反例：举出一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子，来证明某命题是假命题
演绎推理：依据已有事实，按照确定的规则得到某个具体结论的推理
基本事实：命题经过检验，被公认为真命题
定理：正确性以经过演绎推理得到证实的真命题，并作为判定其他命题真假的依据
相交线
对顶角：两角具有公共顶点，且两边互为反向延长线
对顶角相等
同位角，内错角，同旁内角的位置判断
经过直线上或直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短。（将垂线段的长度称为点到直线的距离）
平行线
平行线：同一平面内不相交的两条直线，叫做平行线
两平行线之间的距离，处处相等
经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
平行于同一条直线的两直线平行（性质后学习）
平行线判定定理
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线性质定理
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
图形的平移
平移：在平面内一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移
在平面内一个图形平移后得到的图形与原图形对应线段相等，对应角相等各对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等
8整式的乘法
同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
积的乘方，等于各因式乘方的积
先算乘方，再算乘法
同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减
整式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式
单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加
多项式与多项式相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
分配律转化：多*多~单*多～单*单
乘法公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍
科学记数法
科学记数法：把一个较大的数或较小的数写成a×10^2（1=<a<10，n为整数）的形式
9三角形
三角形的边
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形
三角形任意两边的和大于第三边
等腰三角形：两条边相等的三角形，相等的两边叫做腰
等边三角形：三边相等的三角形，等边是特殊的等腰
不等边三角形：三边互不相等的三角形
三角形的内角和外角
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形
直角三角形：有一个内角是直角的三角形
钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形
三角形的角平分线、中线和高
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段
三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段
三角形的高线（高）：三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段
10一元一次不等式和一元一次不等式组
不等式
不等式：用不等号连接而成的式子
不等号：大于、小于、不大于、不小于
不等式的基本性质
如果a>b，那么a土c>b土c
如果a>b且c>0，那么ac>bc
如果a>b，且c<0，那么ac<bc
解一元一次不等式
不等式的解：对于含有未知数的不等式能使不等式成立的未知数的值
解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集
解不等式：求不等式解集的过程
与数轴结合，数形结合思想
一元一次不等式应用
生活中数量的不相等关系，通过列一元一次不等式来解决
一元一次不等式组
不等式组：由若干个不等式组成的一组不等式
一元一次不等式组：还有同一个未知数的一元一次不等式的不等式组
解不等式组：求不等式组解集的过程，一般先求每个不等式的解集，借助数轴找出它们的公共部分，确定不等式组的解集
不等式组无解：两个不等式的解集出现无公共部分的情况
11因式分解
因式分解
因式分解（分解因式）：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，每个整式都叫做这个多项式的因式
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程
提公因式法
多项式的公因式：多项式的各项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式
提公因式法：运用乘法对加法的分配律，把公因式写在括号外面，作为积的一个因式，这种将多项式分解因式的方法叫做提公因式法
当多项式的各项系数都是整数，是公因式的系数，应取各项系数的最大公约数字母，应取各项相同的字母，且相同字母的指数取最低的
公式法
因式分解公式：逆用平方差公式，两个数的平方差，等于两个数的和与两个数的差的积
九下
29直线与圆位置关系
点与圆
直线与圆
切线性质与判定
切线长定理
正多边形与圆
30二次函数
定义
图像与性质
不共线三点坐标定函数
应用
二次函数与一元二次方程关系
31随机事件概率
确定事件与随机事件
随机事件概率
频率估计概率
列举法求简单事件概率
32投影与视图
投影
视图
直棱柱和圆锥侧面展开图
九上
23数据分析
平均数与加权平均数
中位数与众数
方差
用样本估计总体
24一元二次方程
一元二次方程
解一元二次方程
根与系数关系
应用
25图形的相似
比例线段
平行线分线段成比例
黄金分割
相似三角形
相似三角形判定
性质
应用
相似多边形与图形的位似
26解直角三角形
锐角三角函数
锐角三角函数计算
解直角三角形
应用
27反比例函数
定义
图像与性质
应用
28圆
概念与性质
过三点的圆
圆心角和圆周角
垂径定理
弧长与扇形面积的计算
八下
18数据的收集与整理
统计初步认识
抽样调查
数据的整理与表示
频数分布表与直方图
19平面直角坐标系
确定平面上物体的位置
平面直角坐标系
坐标与图形的位置
坐标与图形的变化
20函数
常量与变量
函数
函数的表示
艾宾浩斯
函数初步应用
21一次函数
一次函数
一次函数图像与性质
待定系数法
一次函数应用
一次函数与二元一次方程的关系
匀速变化与一次函数
22四边形
平行四边形性质
平行四边形判定
三角形中位线
矩形
菱形
正方形
多边形的内角与外角和
七上
1有理数
正数和负数
数轴
绝对值与相反数
有理数的大小
有理数的加减、混合运算
有理数的乘除乘方、混合运算
计算器使用
2几何图形初步认识
点和线
线段的长短
线段的和差
角及角的度量
角的大小
角的和差
平面图形旋转
七巧板
3代数式
用字母表示数
代数式
代数式的值
4整式
整式
合并同类项
去括号
整式的加减
地球仪
5一元一次方程
一元一次方程
等式的基本性质
解一元一次方程
一元一次方程的应用