导图社区 极限
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极限
题型一：极限的概念性质及存在准则P9
题型二：直接求极限重点
1.0/0型 P19
（1）表达式开低次方时候：利用有理化+等价代换 如例题一方法一 有理化时候上下同乘的那个式子，一般极限存在可以先求出来 例如，习题第一章20题
（2）看到f（b）-f（a）形式想到拉格朗日中值定理 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）注意极限ξ与极限a、b一致 例一例二方法二
（3）洛必达+等价无穷小 注意：反常积分也可以直接等价，然后计算反常积分或者想到洛必达也行 如例四、例六法二
（4）凑加1减1、凑加x减x+等价无穷 如例三 例五方法二 例六
（5）幂指数函数（1+x）^x，不方便洛必达，将幂指函数转化为指数函数，再转化为对数函数，再转为幂函数 或利用推论P22 a(x)趋近于0，a(x)b(x)趋近于0时，(1+a(x))^b(x)-1~a(x)b(x) 如例五方法一
（6）利用泰勒公式 公式在p17页 在定参数题目中，lim趋于0看最小的次幂项，lim趋于∞看最大的项，其他项可以忽略 如第一章习题28
2.∞/∞型 P22
(1)洛必达+等价 变限积分函数求导y｀=g(f(x))df(x) 如第一章34题
(2)同除以最高阶 无穷大比较P11 对数函数远小于幂数函数远小于幂指函数 如例二例三
3.∞-∞型 P23
(1)通分化为0/0型（适用于分式差题目）如例一
(2)根式有理化a^2-b^2=(a+b)(a-b)再等价无穷小代换 如例二方法二 有理化的式子可能可以极限存在直接可以求出！
(3)提无穷因子，然后等价或者泰勒 如例三方法三（此方法一般最快）
4.0*∞型P25
(1)化为0/0或∞/∞，一般处理“0”用等价无穷小替换，分之一再除到分子，变成0/0或∞/∞ P25页例一
5.1/∞型P26(重点)
(1)基础方法：凑e 利用lim[1+f(x)]^1/f(x)=e,其中limf(x)=0 如例一法一
(2)写成指数 e^ln 如例一法二
(3)高级方法利用公式三步法 第一步：原式=lim(1+a)^b;第二步：limab=A;第三步：原式=e^A 如例一法三，例二，例三，例四法二 习题第一章21
可能需要拆项
次幂取负，函数取到数来凑lim(1+a)^b 习题第一章23题
加x减x凑lim(1+a)^b 如第一章24题
6.∞^0和0^0型极限P28
(1)通过e^ln转化为0*∞型
7.数列极限
1.不定式P28
(1)数列不可以直接洛必达，改成函数极限，再洛必达 如例一
2.n项和求极限P29
(1)夹逼原理[变化与主体次量级时候使用]，缩小时：分母最大，整体缩小；放大时：分母最小，整体放大 两边极限相同得最终极限 如例一连乘用夹逼可能用到，缩小时候，同乘最小，放大时候同乘最大
(2)定积分定义[变化与主体同量级时候使用]：提可爱因子1/n 如例二 第一章26
(3)夹逼+定积分定义 如例四 第一章40题
(4)级数
(5)利用结论[常用结论]P31 如例六
3.n项连乘数列极限P32
(1)夹逼准则，对连乘项可能需要重新组织顺序 如例一
(2)取对数化为n项和，再用定积分定义（把n项和求出）如例二
4.递推关系x1=a，xn+1=f(xn)(n=1,2,3,4…)定义的数列P32
【题目单调时候用】(1)第一步：证明数列｛xn｝收敛（常用单调有界原理） 第二步：令limxn=A，等式两段取极限xn+1=f(xn)，得A=f(A)，从而求出A 如例一例二方法一
【题目不单调或不好判断时候用】(2)第一步：令limxn=A，等式两段取极限xn+1=f(xn)，得A=f(A)，先求出A 第二步：证明limxn=A，用极限的保号性函数值推到极限，去掉一个计算值，利用xn=f(xn-1)证明一个递推不等式：|xn-A|＜=B|xn-A|，这里0＜B＜1 如例二方法二 例四 用到多次递推证明
5.证明数列极限存在，单调有界原理
(1)零点定理，重点找函数两端点异号 第一章48 P5
(2)介值定理，闭区间连续，若m<=C<=M,则存在keci，使得f(e)=C 第一章49
(3)估值定理，一个函数的积分应该是大于最小值乘以区间长度小于最大值乘以区间长度。 第一章43
(4)有界性
(5)最值定理，闭区间[a,b]连续,则在区间内，存在最大值M，最小值m
题型三：确定极限式中的参数
(1)[已知极限值]传统方法:按类型计算，通过看是否满足洛必达完成判断，同时将a，b求出 如例二法一 第一章27
(2)[已知极限值]提无穷因子，用等价代换思想 例二法三 例三
(3)[未知极限值]用极限的性质
极限存在为A，则左极限=右极限=A
(4)[未知极限]可能用到抓大头或者看小头的性质，在不同范围，根据连续确定未知量 如第一章42题
题型四：无穷小量的比较重点
无穷小比较的本质就是0/0型
洛必达
等价无穷小
泰勒
创造条件凑加减等价
有时候带入选项更快如例三
常用结论P39：若f(x)在x=0的某领域内连续，且当x趋近于0时f(x)是x的的m阶无穷小，g(x)是x的n阶无穷小，则当x趋近于0时F(x)=积分（上限g(x）下限0）f(t)dt是x的n(m+1)阶无穷小
常用方法用结论定阶数 例一方法五
第一章32习题
重要不等式 第一章习题25
常用技巧
(1)x^x=e^xlnx
(2)间断点找无定义的点，因为初等函数在自己的定义内连续
(3)ln(x+根号下1+x^2)~x
(4)当趋于无穷时候，e指数函数速度远远大于幂函数远远大于对数函数，小心lnx/x趋近于0这种可以用到等价无穷小替换
(5)1^2+2^2+3^2+.........+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) 如第一章38题
结论 如习题第一章18
递推函数常用结论
P33页，数列｛xn｝由x1=a，xn+1=f(xn)(n=1,2,3…),xn属于I所确定时
(1)若f(x)在I上单增，则当x1小于等于x2时，｛xn}单调增；当x1大于等于x2时，｛xn｝单调减；
(2)若f(x)在I上单调减，则｛xn｝不单调
极限保号性（常用于判断极限值取舍）P34例二
和的绝对值不超过绝对值的和
