弹性力学

这是一篇有关于弹性力学的思维导图，详细的归纳了弹性力的基本概念、平面问题的基本理论、平面问题的直角坐标解答等内容知识。

平面弹性力学

• 绪论
  • 研究对象：杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构
    • 平面应力问题：等厚度的薄板，体力面力平行于板面不随厚度变化，只研究
    • 平面应变问题：很长的常截面柱体，体力面力平行于横截面不随厚度变化只研究
  • 研究内容：研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
  • 研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程；在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答
    • 体积V内
      • 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程 由微分线段上形变与位移的几何关系，建立几何方程 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程
    • 边界S面上
      • 在给定面力的边界上，建立应力边界条件 在给定约束的边界上， 建立位移边界条件
• 基本概念
  • 力
    • 外力：其他物体对研究对象（弹性体）的作用力（坐标正向为正）
      • 体力：作用于物体体积内的力。
      • 面力：作用于物体表面上的力
    • 应力应变符号关系：正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
    • 内力：想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。
      • 应力与面力，在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。
      • 应力：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值（坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正）
    • 切应力互等定理：由微分体的平衡条件
  • 应变和位移
    • 正应变以伸长为正
    • 切应变以直角减小为正,用弧度表示。
    • • 一点位置的移动，用u,v表示。量纲为 L。以坐标正向为正。
  • 基本假设：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性，小变形假定
• 平面问题的基本理论
  • 平衡微分方程：
    • 两种问题都适用
  • 平面某点的应力状态:
    • 推导过程：利用平衡条件，l=cos(n,x), m=cos(n,y)。推出
      • 任意方向的正应力切应力
      • 主应力（只有正应力没切应力）
      • 最大最小应力
  • 几何方程：
  • 物理方程
    • 胡克定律：
      • 平面应力问题的物理方程：
      • 平面应变问题的物理方程：
      • 转换关系：平面应力物理方程~平面应变物理方程
      • 转换关系：平面应变物理方程~平面应力物理方程
  • 边界条件
    • 要求边界上每一点都满足要求，是精确条件
    • 位移边界条件
    • 应力边界条件
      • 它是边界上微分体的静力平衡条件，其中
    • 圣维南定理化简小边界上的边界条件
      • 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。
        • 对比
  • 平面问题的解法
    • 联立3种方程和边界条件，8个未知数11个方程联立求解找几个主元再消元化简
      • 平面应力问题
        • 按位移求解（位移法）
        • 按应力求解，只考虑全部为应力边界条件的问题，
          • 边界条件
      • 平面应变问题将平面应力问题微分方程中
    • 常体力情况下按应力求解
      • 特点：1.常体力2.单连体3.全部为应力边界条件
      • 求解步骤
        • 相容方程
        • 平衡微分方程
          • 通解：
            • 利用混合偏导数的相容性构造应力函数Φ
          • 特解：
        • 应力函数表示的相容方程
• 平面问题的直角坐标解答
  • 逆解法
    • 先设定相容方程
    • 求应力分量
    • 再研究应力是否满足边界条件
    • 应力函数加减一次项无影响
  • 半逆解法
    • 先推测应力函数形式
    • 带入相容方程，解出Φ，从而解出应力
  • 几种具体问题
    • 矩形梁的纯弯曲，逆解法
      • 梁l×h×1，无体力，只受M作用
      • 最终解
    • 简支梁受均布荷载，半逆解法
      • 不计体力
      • 由于q不随x变化，只能假设
        • 利用偏微分方程解法，并带入相容方程，解得应力函数
      • 由应力函数得到应力分量待定系数式
      • 检验边界条件，加上对称条件化，正应力对称，切应力反对称简得出精确解
    • 楔形体受重力和液体压力
      • 有y方向上的体力分量ρ1g
      • 量纲法分析出应力的表达式，从而推出应力函数
      • 得出应力分量，带入边界条件求系数
• 有限元法解平面问题
  • 基本量和基本方程的矩阵表示
    • 体力，面力
    • 位移函数
    • 应力应变
    • 节点位移列阵
    • 节点力列阵
    • 物理方程
    • 几何方程
    • 虚功方程
  • 有限元概念：采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体
    • 其理论基础是分片插值技术与变分原理
      • 将连续体变换为离散化结构
        • 整体编码与局部编码
          • 单元矩阵
          • 整体矩阵
            • • 带入单元矩阵元素
                • 对称矩阵算先算对角线，再算对角线上的另一半
      • 单元分析
        • 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。
          • 单元的位移模式
          • 单元的应变列阵
          • 单元的应力列阵
          • 单元的结点力列阵
          • 单元的等效结点荷载列阵
      • 整体分析
  • 单元的位移模式
    • • 三角形面积
  • 单元的应变列阵和应力列阵
    • • 子主题
  • 单元的结点力列阵与劲度矩阵
    • • • k是对称矩阵，只需要算出对角线以上的部分即可
        • k中每一个元素都表示单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所引起的结点力
        • 当单元作刚体平移时，三角形内不产生应力和应变，结点力也为0，k中每一行（或列）的元素之和为零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也为0
  • 整体分析
    • 先考虑边界条件，将位移为0的部分去掉，得到新的δ,划去K中对应的行列，得到新的K
    • 分析受力
      • 每个单元
      • 整体结构
        • 对每个节点所包围的单元求和，等式左边为节点受的合力，右边在不同单元受到的分力
          • 每个分力又是其在x,y方向上受的具体的力
    • 求总体的位移，已知新的K,F，求新的δ
    • 求支座反力，已知未简化的K，含0项的δ，求F
    • 求每个单元的应力，δ为单元对应的节点位移
      • 例如