导图社区 第一章 函数极限连续
这里有一张对考研数学第一章详细总结的思维导图，详细的归纳了第一节函数、第二节极限、第三节连续的概念和性质等内容知识，考研党一定不能错过。
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第一章 函数极限连续
第一节 函数
一.函数的概念及常见函数
1.函数概念 两个基本要素：定义域和对应规则
2.复合函数
3.反函数：注意是唯一确定的y=f(x)
4.基本初等函数（5种）：幂函数（x的a次方），指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数
5.初等函数：基本初等函数复合运算
二.函数性态（4个）
1.单调性
a.单调增（无等号),单调不减（有等号） 一般应用于方程根的个数和不等式
b.导函数大于零可以推出来单调增（反过来不可以）
c.导函数大于等于零和单调不减是充要条件
2.奇偶性
a.常见奇函数：sinx,tanx,arctanx,arcsinx,ln1-x/1+x,ln(x+√(1+x²),(e^x-1)/(e^+1),f(x)-f(-x),
b.常见偶函数：x²,|x|,cosx,f(x)+f(-x)
c.奇函数关于0点对称，若在0点有定义，f(0)=0,偶函数关于y轴对称
d.判定：
（1） 利用定义
（2） 设f(x)可导
1||| f(x)是奇函数可以推出来导函数是偶函数（反过来不对）
2||| f(x)是偶函数和导函数是奇函数是充要条件
3||| 连续的奇函数其原函数都是偶函数（连续是为了保证有原函数）
4||| 连续的偶函数其原函数中有唯一一个是奇函数
5||| 偶函数泰勒展开式只有偶次项，奇函数的泰勒展开式只有奇次项
3.周期性
a.若f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/|a|(a≠0）为周期
b.sin函数的奇数幂周期为2Π，偶数幂为Π
c.判定：
（2） 可导的周期函数其导函数为周期函数（反过来不对 如，1+cosx）
（3） 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分等于0
4.有界性
a. |sinx|≤1，|cosx|≤1,|arcsinx|≤Π/2，|arctanx|<Π/2，|arccosx|≤Π
b. 判定：
（2） f(x)在闭区间上连续可推出其在闭区间上有界
（3） f(x)在开区间上连续+左端点的右极限和右端点的左极限存在可推出f(x)在开区间上有界（左右端点为无穷时仍成立）
（4） 若f(x)的导函数在有限区间上有界可推出f(x)在该区间上有界
三.常考题型的方法和技巧
1. .复合函数
a.f(x+1)的定义域为[0，a],指的是自变量x的取值范围，不是x+1
b.注意复合函数的定义域和值域
2. 函数性态
a. 常用结论：若f’(X0)>0,则存在δ>0,当X∈（X0-δ，X0）时，f(x)<f(X0);当X∈（X0，X0+δ）时,f(x)<f(X0).若倒数小于0有相应的结论
b. 作证命题时要灵活运用各性态的性质，还有积分中值定理，定积分的估值性等
第二节 极限
一.极限的概念
1. 数列极限
a. 几何意义
b. 数列的极限如果存在极限值等于多少与数列的前有限项无关
c. 数列Xn的极限=奇数列的极限=偶数列的极限
2. 函数极限
a. 函数极限中的X趋向于∞是指|X|趋向于无穷，而在数列极限中，n趋向于∞是指n趋向于+∞
b. 函数极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
c. 需要分左右极限求极限的问题
（1） 分段函数在分界点处的极限（包括带有绝对值的函数）
（2） e∞
（3） arctan∞
二.极限的性质
1. 局部有界性
2. 保号性
a. 由极限正负判断函数正负时没有等号，由函数正负判断极限正负时有等号
b. 保序性：和保号性类似，只不过是两个函数和两个函数的极限来互相判断
3. 极限值与无穷小之间的关系：函数=函数的极限值+一个无穷小
三.极限存在准则
1. 夹逼准则（n项和）
2. 单调有界准则（递推关系）
四.无穷小
1. 高阶=0，同阶=C，等价=1，无穷小的阶=C（低阶加高阶决定阶数的是低阶无穷小）
2. 性质
a. 有限个无穷小的和（积）仍是无穷小
b. 无穷小量与有界量的积仍是无穷小
五.无穷大
1. 常用的无穷大比较
a. X→∞，（Lnx）^α≪x^β≪a^x(其中α>0,β>0,a>1)
b. n→∞，（Lnn）^α≪n^β≪a^n≪n!≪n^n
2. 无穷大与无界变量的关系
a. 无穷大：N以后的每一项都很大
b. 无界变量：有很大
3. 无穷大与无穷小的关系
a. 若f(x)是无穷大，则他的倒数为无穷小，若f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则其倒数为无穷大
六.常考题型的方法和技巧
1. 极限的概念性质及存在准则
2. 求极限的常用方法（9种）
a. 利用有理运算法则求极限
（1） 存在±不存在=不存在
（2） 不存在±不存在=不一定
（3） 有限个有极限相乘一定有极限（无限个不一定）
b. 利用基本极限求极限（10）
c. 利用等价无穷小代换求极限（17）
（1） 等价无穷小代换原则
1||| 乘除关系可以换
2||| 加减关系时加项减项不等价时可以换
d. 洛必达法求极限（可用来求7种不定型）
e. 利用泰勒公式求极限（写到某一个同次幂相减不为零为止）
f. 利用夹逼准则求极限（和的极限等于极限的和必须是有限项）
g. 利用定积分定义求极限
h. 利用单调有界准则求极限
i. 利用中值定理求极限（3个）
3. 求极限的常见题型
a. 函数极限（7）
（1） “0/0”型
1||| 洛必达法则
2||| 等价无穷小代换
3||| 泰勒公式
（2） “∞/∞”型
2||| 分子和分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
（3） “∞-∞”型
1||| 通分化为“0/0”（适用于分式差）
2||| 根式有理化（适用于根式差）
3||| 提无穷因子，然后等价代换或变量代换，泰勒公式
（4） 0*∞型[搬下来一个化为类型（1）（2）]
（5） 1^∞型（三部曲）
（6） "∞^0"和"0^0"型（这两种类型的函数一定都是幂指函数，需将其改写成指数函数e，从而化成0*∞型极限
b. 数列极限
（1） 不定式（与函数不定式求法相同，但是数列极限不能直接用洛必达法则）
（2） n项和数列极限
1||| 夹逼原理（变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级时）
2||| 定积分定义（变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级时）
3||| 级数求和（先求幂级数的和函数，再把值带进去）
（3） n项连乘数列极限
1||| 夹逼原理
2||| 取对数化为n项和
（4） 递推关系定义的数列
1||| 先证数列收敛，然后再求极限
2||| 先求出极限，然后说明它的极限确实是这个（需用到递推不等式）
（5） 单调性判定常用的三种方法
1||| 后项减前项
2||| 设{Xn}不变号，通过比较后项/前项与1的大小
3||| 递推函数f(x)单调增，则{Xn}单调，这时只需比较前两项的大小判断增减
c. 确定极限式中的参数
d. 无穷小量阶的比较（求"0/0"型极限）
（1） 洛必达法则（求导定阶）
（2） 等价无穷小代换
（3） 泰勒公式
（4） 利用结论：P39
第三节 连续
一.连续的概念
1.f(x)连续的充要条件是f(x)左连续且右连续
二.间断点极其类型
1.间断点的概念：f(x)在x0某去心邻域有定义，但在x0处不连续
2.间断点的分类
a. 第一类间断点：左右极限均存在
（1） 可去间断点：左右极限存在且相等
（2） 跳跃间断点：左右极限存在不相等
b. 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
（1） 无穷间断点：左右极限中至少有一个为无穷
（2） 振荡间断点：如x=0为f(x)=sin1/x的震荡间断点
三.连续函数的性质
1. 连续函数的和，差，积，商（分母不为零）仍连续
2. 基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续
a. 定义域：有定义的点集，是一个使得函数有意义的，所有的自变量的范围，端点要考虑在内
b. 定义区间：是一个范围表征函数所定义的一个区间，可不考虑端点，是定义域的一部分
3. 闭区间上连续函数的性质
a. 有界性：若f(x)在闭区间上连续，则f(x)在闭区间上有界
b. 最值性：若f(x)在闭区间上连续，则f(x)在闭区间上必有最大值和最小值
c. 介值性：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b),则对f(a)与f(b)之间的任一数c至少存在一个ε∈（a,b)，是的f(ε)=c
d. 推论：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]可取到介于最小值m和最大值M之间的任何值(介值定理）
e. 零点定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0,则必存在ε∈（a,b)，使得f(ε)=0(可应用于证明方程根的存在性）
四.常考题型的方法和技巧
1. 讨论连续性和间断点的类型
a. 间断点什么时候分左右
（1） 分段函数分界点
b. 找间断点的时候要认真
2. 介值定理，最值定理及零点定理的证明题（一般是大的证明题中的一小部分）
（1） 一般结论：对于任意整数n(n≥2），必存在Xn∈[0,1]，使得f(Xn)=f(Xn+1/n)
