导图社区 函数与极限
高数上第一章:函数与极限的思维导图以及笔记,包括映射,数列极限,函数的极限,无穷大与无穷小,极限运算法则等内容
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函数与极限
映射
几种基本初等函数
y=c
y=lnx
y=a^x
y=sinx
y=arcsinx
y=x^a
函数的集中特性
有界性
单调性
奇偶性
周期性
初等函数
基本初等函数经过有限次数的四则运算得到的函数
数列极限
定义:设{Xn}为一数列,如果存在常数a,对于给定的正数ε(无论他有多么小)总存在正整数N,使得当n>N时,不等式ℓXn-aℓ<ε都成立,那么常数a就是数列{Xn}的极限
函数的极限
定义:设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定正数ε(无论都有多么的小)总存在正数§,使得x满足不等式ℓf(x)-Aℓ<ε那么常数A就叫做f(x)当x→x。时的极限
设函数f(x)当ℓxℓ大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定正数ε(无论他有多么小),总存在正数X,使得当x满足不等式ℓxℓ>X时,对应的函数值f(x)都满足不等式ℓf(x)-Aℓ<ε,那么常数A就叫做函数f(x)在x→∞时的极限
函数的性质
定理1:(极限的唯一性)如果极限存在那么极限卫唯一
定理2(函数局限的局部有界性)如果当x→x。f(x)的极限为A,那么存在常数M>0和§>0,使得0<ℓx-x。ℓ<§时,有ℓf(x)ℓ≤M
定理3(函数极限的局部保号性)如果当x→x。时f(x)的极限为A>0(或<0),那么存在常数§>0,使得当0<ℓx-x。ℓ<§时,有f(x)>0(或f(x)<0)
定理3':如果函数的极限为A,那么就存在x。的某一去心邻域,当x属于这一邻域时有ℓf(x)ℓ>ℓAℓ/2
推论:如果在x。的去心邻域内f(x)≥0(或≤0),而x→x。时极限为A,那么A≥0(或≤0)
定理4(函数极限与数列的关系):如果当//。时f(x)极限存在,{Xn}为函数f(x)定义内任意收敛于x。的数列切满足Xn≠X。,那么相应的函数值数列必收敛
无穷大与无穷小
定理1在自变量同一变化过程中,函数f(x)具有极限A的充要条件时是f(x)=A+α,其中α是无穷小
定理2:在同一变化过程中,如果f(x)是无穷大那么1/f(x)为无穷小,反之也成立
极限运算法则
定理1两个无穷小的和时无穷小
定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2有限个无穷小的乘积是无穷小
定理3函数加减乘除的极限等于极限的加减乘除
定理4如果f(x)≥g(x),那么f(x)的极限A大于等于g(x)的极限B
极限存在准则 两个重要极限
两个重要极限
x→x。时sin x=x
x→∞(1+1/x)^x=e
(1- 1/x)^x=1/e
夹逼准则
准则1如果从某项起当n>n。时有Yn>Xn>Zn,切当n→∞时Yn和Zn的极限都是a,那么Xn的极限也是a
准则2单调有界函数必有极限
柯西极限存在准则:数列〔Xn〕收敛的充要条件时是对于任意给定的正数ε,存在正整数N,使得当m>N,n>N时,有ℓXn-Xmℓ<ε
等价无穷小:x→0时
x~sin x~arcsin x~ tan x ~e^x-1~ln(1+x)
1-cos x~1/2 x^2~1-√(1-x^2)
(x+1)^(1/n) -1~x/n
(x+1)^u-1~ux
a^x -1~xlna
sec x -1~(x^2)/2
x-sin x~(x^3)/6
(1+βx)^a -1~aβx
loga(1+X)~x/lna
无穷小的比较
lim(β/α)=
0 :β是比α更高高阶的无穷小
∞ :更低阶的无穷小
c:同阶的无穷小
1:等价的无穷小
β/α^k =c:k阶级无穷小
定理1:α和β时等价无穷小的充要条件时是β=α+o(α)
定理2:等价无穷小的替换
函数的连续性与间断点
连续:设f(x)在x。的某一领域内有定义,如果x→x。f(x)=f(x。),那么就称f(x)在x。连续
第一类间断点(左右极限都存在)
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
震荡间断点
连续函数的运算与初等函数的连续性
定理1:如果f(x)和g(x)在店点x。处连续,那么他们的和差积商也都在x。点连续
如果函数f(x)在一定区间上连续那他的反函数也在对应区间上连续
基本初等函数在他们的定义域内都是连续的
一切初等函数在其定义区间上都是连续的
闭区间上连续函数的性质
定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且他的最大值和最小值
设f(x)在[a,b]上连续且f(a)与f(b)异号,责函数在该区间内至少有一个零点
一致连续:设函数f(x)在区间I上有定义如果对于任意给定的证正数ε,总存在正数§,使得对区间上任意两点X1,X2,当ℓX1-X2ℓ<§时,有ℓf(x1)-f(x2)ℓ<ε,那么称f(x)在区间I上一致连续
定理4:如果函数(x)在[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续