函数与极限

高数上第一章：函数与极限的思维导图以及笔记，包括映射，数列极限，函数的极限，无穷大与无穷小，极限运算法则等内容

函数与极限

• 映射
  • 几种基本初等函数
    • y=c
    • y=lnx
    • y=a^x
    • y=sinx
    • y=arcsinx
    • y=x^a
  • 函数的集中特性
    • 有界性
    • 单调性
    • 奇偶性
    • 周期性
  • 初等函数
    • 基本初等函数经过有限次数的四则运算得到的函数
• 数列极限
  • 定义：设｛Xn｝为一数列，如果存在常数a，对于给定的正数ε（无论他有多么小）总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式ℓXn－aℓ＜ε都成立，那么常数a就是数列｛Xn｝的极限
• 函数的极限
  • 定义:设函数f（x）在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定正数ε（无论都有多么的小）总存在正数§，使得x满足不等式ℓf（x）-Aℓ＜ε那么常数A就叫做f（x）当x→x。时的极限
  • 设函数f（x）当ℓxℓ大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定正数ε（无论他有多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式ℓxℓ＞X时，对应的函数值f（x）都满足不等式ℓf（x）-Aℓ＜ε，那么常数A就叫做函数f（x）在x→∞时的极限
  • 函数的性质
    • 定理1：（极限的唯一性）如果极限存在那么极限卫唯一
    • 定理2（函数局限的局部有界性）如果当x→x。f（x）的极限为A，那么存在常数M＞0和§＞0，使得0＜ℓx-x。ℓ＜§时，有ℓf（x）ℓ≤M
    • 定理3（函数极限的局部保号性）如果当x→x。时f（x）的极限为A＞0（或＜0），那么存在常数§＞0，使得当0＜ℓx-x。ℓ＜§时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）
      • 定理3'：如果函数的极限为A，那么就存在x。的某一去心邻域，当x属于这一邻域时有ℓf（x）ℓ＞ℓAℓ/2
      • 推论：如果在x。的去心邻域内f（x）≥0（或≤0），而x→x。时极限为A，那么A≥0（或≤0）
    • 定理4（函数极限与数列的关系）：如果当//。时f（x）极限存在，｛Xn｝为函数f（x）定义内任意收敛于x。的数列切满足Xn≠X。，那么相应的函数值数列必收敛
• 无穷大与无穷小
  • 定理1在自变量同一变化过程中，函数f（x）具有极限A的充要条件时是f（x）=A+α，其中α是无穷小
  • 定理2：在同一变化过程中，如果f（x）是无穷大那么1/f（x）为无穷小，反之也成立
• 极限运算法则
  • 定理1两个无穷小的和时无穷小
  • 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 定理3函数加减乘除的极限等于极限的加减乘除
  • 定理4如果f（x）≥g（x），那么f（x）的极限A大于等于g（x）的极限B
• 极限存在准则 两个重要极限
  • 两个重要极限
    • x→x。时sin x=x
    • x→∞（1+1/x）^x＝e
      • (1- 1/x)^x=1/e
  • 夹逼准则
    • 准则1如果从某项起当n＞n。时有Yn＞Xn＞Zn，切当n→∞时Yn和Zn的极限都是a，那么Xn的极限也是a
  • 准则2单调有界函数必有极限
    • 柯西极限存在准则：数列〔Xn〕收敛的充要条件时是对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m＞N，n＞N时，有ℓXn-Xmℓ＜ε
  • 等价无穷小：x→0时
    • x～sin x～arcsin x～ tan x ～e^x-1～ln（1+x）
    • 1-cos x~1/2 x^2~1-√(1-x^2)
    • (x+1)^(1/n) -1~x/n
    • (x+1)^u-1~ux
    • a^x -1~xlna
    • sec x -1~(x^2)/2
    • x-sin x~(x^3)/6
    • (1+βx)^a -1~aβx
    • loga(1+X)~x/lna
• 无穷小的比较
  • lim(β/α)=
    • 0 :β是比α更高高阶的无穷小
    • ∞ ：更低阶的无穷小
    • c：同阶的无穷小
    • 1：等价的无穷小
    • β/α^k =c：k阶级无穷小
  • 定理1：α和β时等价无穷小的充要条件时是β＝α+o(α)
  • 定理2：等价无穷小的替换
• 函数的连续性与间断点
  • 连续：设f（x）在x。的某一领域内有定义，如果x→x。f（x）=f（x。），那么就称f（x）在x。连续
  • 第一类间断点（左右极限都存在）
    • 可去间断点
    • 跳跃间断点
  • 第二类间断点
    • 无穷间断点
    • 震荡间断点
• 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 定理1：如果f（x）和g（x）在店点x。处连续，那么他们的和差积商也都在x。点连续
  • 如果函数f（x）在一定区间上连续那他的反函数也在对应区间上连续
  • 基本初等函数在他们的定义域内都是连续的
  • 一切初等函数在其定义区间上都是连续的
• 闭区间上连续函数的性质
  • 定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且他的最大值和最小值
  • 设f（x）在［a，b］上连续且f（a）与f（b）异号，责函数在该区间内至少有一个零点
  • 一致连续：设函数f（x）在区间I上有定义如果对于任意给定的证正数ε，总存在正数§，使得对区间上任意两点X1，X2，当ℓX1-X2ℓ＜§时，有ℓf（x1）-f（x2）ℓ＜ε，那么称f（x）在区间I上一致连续
  • 定理4：如果函数（x）在［a，b］上连续，那么它在该区间上一致连续