导图社区 高数知识结构
考研用,参考资料:张宇基础30讲2021版。高数各种公式会记混?拉格朗日中值定理、柯西中值定理是怎样的研究顺序?麦克劳林公式和泰勒公式有什么关系?本图带你探寻高数公式们的奥秘,从罗尔定理开始建立高数定理记忆宫殿。
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高数知识结构
1. 预备知识
基础知识
1.数列
P17
2.三角函数
P18
3.指数运算法则
4.对数运算法则
5.一元二次方程基础
6.因式分解公式
7.阶乘与双阶乘
P20
8.常用不等式
P21
函数概念与特性
函数
反函数
复合函数
四种特性
有界性
单调性
奇偶性
周期性
重要结论
P4~
函数图像
直角坐标系
常见图像
基本初等函数
P6~
分段函数
P11
图像变换
平移变换
对称变换
伸缩变换
p12~
极坐标系
P13
参数法-参数方程
P16
2. 数列极限
引言(极限定义来源)
25
数列极限定义
收敛数列的性质
三定理一推论
唯一性
保号性
极限运算规则
夹逼准则
单调有界准则
求极限(或证明极限的存在性)P26~27
3. 函数极限与连续性
函数极限
1. 邻域
2. 定义
3. 性质
局部有界性
局部保号性
4. 运算规则
5. 夹逼准则
6. 洛必达法则
P33~35
7. 泰勒公式
公式
展开原则
8. 归结原则(海涅定理)
9. 无穷小比阶
2.七种未定式的计算~P37
连续与间断
连续点的定义
间断点的定义与分类
1. 可去间断点
2. 条约间断点
3. 无穷间断点
4. 振荡间断点
P38~
4. 一元函数微分学的概念与计算
概念
引例
导数的概念
微分的概念
导数与微分的计算
1. 四则运算
和、差的导数(微分)
积的导数(微分)
商的导数(微分)
2. 分段函数的导数
3. 复合函数的导数与微分形式不变性
P57
4. 反函数的导数
5. 参数方程所确定的函数的导数
6. 隐函数求导法
7. 对数求导发法
8. 幂指函数求导法
9. 高阶导数
归纳法
莱布尼茨公式
泰勒公式
P58~
10. 变限积分求导公式
11. 基本求导公式
P60
5. 一元函数微分学的几何应用
极限与最值
判别
1. 单调性判别
2. 判极值的必要条件
3. 判极值的第一充分条件
4. 判极值的第二充分条件
5. 判极值的第三充分条件
P73
凹凸性与拐点
概念定义
凹凸性判别
判拐点的必要条件
判拐点的第一充分条件
判拐点的第二充分条件
叛拐点的第三充分条件
P75
渐近线
铅锤渐近线
水平渐近线
斜渐近线
P76
最值或取值范围
闭区间[a,b]
开区间(a,b)
作函数图形
6. 中值定理
十大定理及使用
1. 有界与最值定理
2. 介值定理
3. 平均值定理
4. 零点定理
5. 费马定理
P85
6. 罗尔定理
7. 拉格朗日中值定理
8. 柯西中值定理
9. 泰勒公式
P86
10. 积分中值定理
P88例题说明
7. 零点问题与积分不等式
零点问题
零点定理(证存在性)
单调性(证唯一性)
罗尔原话
实系数奇次方程至少有一个实根
P95~96
微分不等式
用函数性态证明不等式
用常数变量化证明不等式
用中值定理证明不等式
P96~97
8. 一元函数积分学的概念与计算
不定积分
原函数与不定积分
原函数存在定理
定积分
定积分的概念
定积分存在定理
定积分的性质
变限积分
变限积分的概念
变限积分的性质
变限积分的求导公式
反常积分
反常积分概念的通俗理解
无穷区间上反常积分的概念与敛散性
无界函数的反常积分的概念与敛散性
判敛
P105~109
计算
1. 基本积分公式
P109
2. 凑微分法
P110
3. 换元法
4. 分部积分法
P111
5. 有理函数积分
P113
例题
一元函数积分学的概念与性质
P115
不定积分的基本计算
P120
定积分的精确定义
P125
定积分的计算
P126
P131
敛散性判别
P133~134
定理使用
P87
P89
P90导数零点定理
P91
P92
例题练习
1.函数极限的性质细则
P40
2.七种未定式的计算细则
P41
选择相应计算方法
判断类型,七种
化简是第一步
3.已知某一极限,求另一极限
P45
4.已知极限反求参数
5.无穷小比阶
P46
6.函数的连续与间断
P47
一元二次方程基础
1. 方程通式
2. 根的公式
3. 根与系数的关系(韦达定理)
4. 判别式
5. 抛物线顶点
数列
等差数列
通项公式
前n项和Sn
等比数列
常用公式
常见数列的前n项和
三角函数
1. 特殊的三角函数值
2. 三角函数基本关系
3. 诱导公式
4. 重要公式
1. 倍角公式
2. 半角公式
3. 和差公式
4. 积化和差与和差化积
5. 万能公式