集合与常用逻辑用语(1

这是一个关于集合与常用逻辑用语(1的思维导图，包含集合的概念、 集合间的基本关系、全称量词与存在量词、 充分条件与必要条件、 集合的基本运算等。

集合与常用逻辑用语

集合的概念

元素

概念

研究的对象

表示

小写阿拉丁字母a、b、c…

特征

确定性

元素在不在集合中必须明确各类的标准要明确

判断这个元素是否能构成集合

无序性

元素没有顺序之分

表示一个集合的元素确定性，主要这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关

互异性

集合中的每个元素不相同，不重复

判断结构集合的元素个数

集合

概念

一些元素组成的总体

表示

大写的阿拉丁字母A、B、C…

表示方

自然语言

用文字表达出来

列举法

元素一一列举出来，应用｛｝括起来，元素之间用逗号隔开｝

描述法

一般的设A是一个集合，把集合A中具有所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为｛x∈A/P（x）｝，这种表示集合的方法称为描述法

集合的分类

有限集

集合的元素个数有限

无限集

集合中的元素有无限个

集合与元素的关系

关系 概念 记法 读法 属于 a是集合A中的元素，就说a属于集合A a⊂A a属于A 不属于 a不是集合A中的元素，就说a不属于A a⊄A a不属于A

常用数集

名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N＋或N* Z Q R

集合间的基本关系

Venn图

用平面上封闭的的内部代表集合，这种图称为Venn图

子集

定义：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集

符号表示

A⊆B：A包含于B

B⊇A：B包含A

子集个数

子集

真子集

空集

含有部分元素

集合相等（集合本身）

真子集

定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集

符号表示

A⫋B：A真包含于B

B⫌A：B真包含A

集合相等

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等

符号表示：A＝B

空集

定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅

规定

空集是任何集合的子集

空集是任何非空集集合的子集

集合的基本运算

并集

定义

所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，集合A和集合B的并集

记作

A∪B＝｛x|x∈A且x∈B｝

交集

定义

所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集

记作

A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝

全集

定义

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那就是这个集合为全集

记作

U

补集

定义

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所以元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集

记作

CuA＝｛xlx∈U，且x∉A｝

充分条件与必要条件

命题

可以判断真假陈述句

真命题：判断为真命题的命题；假命题：判断为假命题的命题

充分必要条件与集合的关系

充分、必要条件：A=｛xℓp（x）｝，B=｛xℓq（x）｝ 集合关系 若p→q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 A⊆B p是q的充分不必要条件 p⥤q且q⥤p A⫋B p是q的必要不充分条件 p⇎q且q⥤p B⫋A p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件 p⇎q且q⇎p A∉B且A∌B

注意

小范围可以推出大范围，大范围不可以推出小范围

全称量词与存在量词

全称量词与全称命题

全称量词

短语“所以的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词

全称命题

含有全称量词的命题

符号表示

形如“对M中的任意一个x，有p（x）成立”的命题，用符号简记为x∈M，p（x）

存在量词与特称命题

存在量词

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词

特称命题

含有存在量词的命题

符号表示

形如“存在M中的元素xₒ，使p（xₒ）成立”的命题，用符号记为Еxₒ∈M，p（xₒ）