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数量关系笔记——牟立志【数量牛，行测才牛】
一、 代入排除法
何时用
题型
年龄问题
题干涉及年龄
多位数问题
研究数位上数字之间关系
余数问题
题干出现“剩”“余”字样
不定方程
列式发现，未知数个数＞方程个数，无法求解
选项
选项信息充分
即选项代入后，可以验证题目所有条件
一般问法中有“分别”“各”的字样
剩二代一
通过排除两个选项，剩下两个选项时，可以代入其中一个
怎么用
先排除，再代入
先排除
数字特性：尾数、倍数、奇偶、大小
再代入
从简
简单条件
简单选项
最值
问最大多少，先从最大的选项开始代
问最小多少，先从最小的选项开始代
注意
代入过程中，遇到不符合题意的就排除，满足题目所有要求的就选择
代入中涉及常识
法定婚龄（男≥22，女≥20
三角形两边之和大于第三边
位数对调是重点
先考虑对调条件，不唯一，在考虑其他条件
虽然选项没直接给出分别是多少，但可以结合题目分析，也算选项信息充分
二、 倍数特性法
基础知识
若A=B*C，B、C均为整数，则A是B的整数倍，也是C的整数倍
若A是B的整数倍，A是C的整数倍，则A是B*C的整数倍（B、C互质）
互质：除了1之外，没有其他公约数
整除判定
能被2、5整除
看最后一位
2
最后一位是偶数
5
最后一位是0或5
能被4整除
看最后两位
能被8整除
看最后三位
能被3、9整除
看各数位数字之和
能被6、12、18整除
因式分解为两个互质的数相乘的形式
整除型
识别
问题、题干中，存在平均分配（整数倍）
方法
优先利用倍数特性分析
余数型
识别
平均分配后，有多有少
方法
转化成“整除”→多几个，减掉；少几个，加上，俗称“多退少补”
总数±余数是平分基础的倍数
多个条件，先用一个条件排除，看能否得到唯一答案 不能时，排除后，在剩下的选项用另一个条件
比例型
识别
出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性
方法
看问法：直接看问题的主体
化比例：找和其相关的比例
验选项：通过倍数验证选项
化比例
无脑方法
谁比谁，就谁除以谁，分母不动，分子：多加少减
A比B多（少）M/N
多
A/B=（N+M）/N
少
A/B=（N-M）/N
A/B=M/N（M/N为最简整数比，即不能再约分）
则，A为M的倍数；B为N的倍数，A±B为M±N的倍数
注意
和差倍比
给比例求比例
考虑赋值
给比例求具体
先倍数特性
不行列方程
和差倍比：加和、差值、倍数、比例
三、 方程法
普通方程
设未知数
设小不设大、设关联多的、设比例数、求谁设谁
目的是避免出现分数，灵活应对，方便计算即可
列方程
解方程
适用
工程问题、行程问题、经济利润问题利用方程法较多
不定 方程
一个不 定方程
直接考虑数字特性
尾数→倍数→奇偶→代入
ax+by=M
当a或b尾数是0或5时，考虑尾数
为5时，方程两边同乘2，转化为0
例：37x+20y=271
当a或b与M有公因子时，考虑倍数
例：7x+3y=60
当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶
只能求奇数对应的未知数
例：3x+4y=25
偶数+偶数=偶数
偶数+奇数=奇数
整数*偶数=偶数
两个不 定方程
未知数必须为整数
消元法，转化成一个不定方程，分析数字特性
人数、车数、个数
未知数不一定为整数
赋0法：让其中一个未知数为0，解出其他未知数
时间、钱数
假设法
形式：x+y=常数₁；nx+my=常数₂
技巧：鸡兔同笼思想
无脑操作
求谁，假设全是另一个。即若求A，则假设全是B；若求B，则假设全是A
结果=理想与现实的差距/标准的差距
标准的差距=｜n-m｜
理想与现实的差距=｜n*常数₁-常数₂｜
四、 工程问题
三量关系
总量=效率*时间
给具体量
识别
效率或总量给出具体值
方法
列式、列方程
给完工时间
识别
只给出多个（2个以上）完工时间
方法
1. 赋总量（完工时间的最小公倍数）
2. 求效率（效率=总量/时间）
3. 听话做题（按条件梳理工作过程列式）
给效率 比例
识别
给出效率之间的比例
方法
赋效率 效率的比例数
直接型
直接给出比例
甲：乙=3:4
甲的效率比乙高3/5
间接型
一项工程，不同工作方式，对应相同总量
列方程，推出效率比
特殊型
效率以人、机器数量体现，可赋值“1”
每人、每台默认效率相同
求总量（总量=效率*时间）
听话做题（按条件梳理工作过程列式）
牛吃草
识别
排比句、有增长、有消耗
适用
牛吃草、检票口检票、抽水机抽水、资源开采
方法
核心公式
原有草量=（牛吃的-草长的）*时间
常规方法
设草每天增长x，根据原草量相等，列方程，解方程
快速解题
草=（牛₁*天₁-牛₂*天₂）/（天₁-天₂）
原=（牛₁-草）*天₁=（牛₃-草）*天₃
注意
连续不间断的开采、吃等，是说每天吃的=每天草长的
注意
完工时间辨析
甲3天，乙7天完工
不是完工时间
不知道是甲先3，乙再7，还是同时开始
甲乙合作10天完工
是完工时间
短除法
找最小公倍数
一直除到所有的商中每两个数都是互质为止
涉及多个工程，题目没有要求各个工程效率相同或不相同，默认效率相同
注意看提问，往往与算出来的不是同一件事情
五、 经济利益问题
基础经济
公式
利润=售价-成本=卖出的钱-买进的钱
利润率=利润/成本
售价=成本*（1+利润率）
总利润=单个利润*数量
方法
给具体，求具体
列方程（简单）
给比例，求比例
赋值法（较难）
赋值可以10a、100a
分段计费
识别
不同标准，收费不同；给总用量，求总花费
方法
找分段点
按标准分开
加和汇总
函数最值
识别
单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高
方法
1. 设提/降价次数为x，列式
2. 两括号=0，求x1，x2
3. 平均数时，为最值
六、 行程问题
基础行程
三量关系
S=V*T
如果仅知时间，求时间，考虑赋值
火车过桥
火车完全通过桥
S=L桥+L车
火车整列在桥上
S=L桥-L车
相对行程
相遇
直线上
两端相向而行
S相遇=（V₁+V₂）*T
环形上
同点背向而行
S相遇=（V₁+V₂）*T
相遇N次，S和=N圈
直线多次
两端相向而行
相遇N次，S相遇=（2N-1）*S单程=（V₁+V₂）*T
直线多次
同端同向而行
相遇N次，S相遇=2N*S单程=（V₁+V₂）*T
追及
直线上
两端同向而行
环形上
同点同向而行
追上N次，就是套了N圈
S追及=（V大-V小）*T
流水行船
V顺水=V船+V水
V逆水=V船-V水
V船=（V顺+V逆）/2
V水=（V顺-V逆）/2
静水速度=船速
漂流速度=水速
快速解题
船速=（V顺+V逆）/2
水速=（V顺-V逆）/2
做题逻辑
判题型、甩公式、填已知、求未知
七、 几何问题
基础公式
菱形面积=对角线乘积/2
平行四边形面积=底*高
梯形面积=（上底+下底）*高/2
弧长=2πr*n°/360°
扇形面积=πr²*n°/360°
锥体体积=1/3*底面积*高
长方体表面积=2*（ab+ac+bc）
长方体体积=abc
圆柱表面积=2πr+2πrh
圆柱体体积=底面积*高
三角形
勾股定理
（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）
特殊三边
直角三角形30°所对直角边为斜边的一半
（1:2:√3）
等腰直角三角形三边关系
（1：1：√2）
顶角为120°的等腰三角形三边关系
（1:1:√3）
方位图
一般求长度，需要构造直角三角形，运用勾股定理
常考结论
相似比
长度比等于相似比（边长、周长、高）
面积比等于相似比的平方
体积比等于相似比的立方
均值定理
（a+b）/2≥√ab
长方形周长一定，正方形时，面积最大
长方形面积一定，正方形时，周长最小
最短路径
平面：两点同侧
镜像对称，三点共线
立体：表面两点
展开，连线计算
八、 排列组合
基础概念
分类与分步
分类相加
要么···要么···
分步相乘
既···又···
排列与组合
有序排列A
无序组合C
经典题型
枚举法
选项情况数少（10种以内）
从大到小，依照次序，不重不漏
相邻问题 捆绑法
先捆
把要相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序
再排
把捆后的整体与其他元素进行排列
不相邻问题 插空法
先排
先把可以相邻的元素进行排列
后插
将不相邻的元素插入到空位中
同素分堆 隔板法
典型
至少分1个——C（m-1，n-1）
变形
至少分N个——每人先分M-1个，剩余再按至少分1个
先分出去n*（M-1）个，剩余a=m-n*（M-1）
C（m-1，a-1）
注意
C（m，n）=C（m，m-n）
C（m，1）=m
C（m，n）=A（m，n）/A（n，n）
九、 概率
给情况，求概率
P=满足/全部
技巧：先算全部，从约分角度结合选项看是否能够排除，甚至选择答案
正难则反：满足概率=1-不满足概率
给概率，求概率
分类相加，分步相乘
技巧：尾数法速算
十、 容斥原理
识别
存在交叉重复的计数问题
思维
几集合？啥方法？
公式法
所给/所求都为公式中的一部分
两集合
全部=A+B+都不-A∩B
三集合
标准
识别
分开给出两两交集
公式
全部=A+B+C+都不-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
非标准
识别
统一给出“只满足两种”
公式
全部=A+B+C+都不-满足两种-2*满足三种
记忆
首先都是A+B+C+都不
标准：减去两两交集，此时漏风，加上三者交集
非标：单纯“撕纸”，分别撕掉满足两者和满足三者
画图法
识别
所给/所求出现“只A”
方法
1. 画图
几个集合，画几个圈
2. 标数
从交集标，不重不漏
3. 加和
根据选项，观察尾数
求交集最小 多集合反向构造
识别
都···至少···
使“都不”=0
无脑公式
A∩B最小=A+B-全部
A∩B∩C最小=A+B+C-2*全部
A∩B∩C∩D最小=A+B+C+D-3*全部
A∩B∩C∩D∩E最小=A+B+C+D+E-4*全部