导图社区 九年级数学思维导图
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九年级数学思维导图
苏教版九年级数学知识点整理，可用于制作PPT/说课比赛/梳理知识点，干货满满，感兴趣的小伙伴可以参考使用！
编辑于2024-01-29 17:41:30- 初三
- 苏教版
- 九年级
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- 大纲
九年级
第二十一章 一元二次方程
基本思路：降次（将一元二次方程转化为一次方程）基础生：学会使用配方法和公式法、记住韦达定理中等生：在基础之上，学会灵活使用因式分解法，能够自行推导公式法及韦达定理，了解经典问题优等生：灵活解决经典问题及其变式
定义：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，是一元二次方程
一般形式：
ax²+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）
a=0时是一元一次方程
根
意义：与X轴交点的个数
是一元二次方程的解
求解方法
降次思维
配方法
将方程左边配成完全平方形式，然后两边同时开方，就可以转化为两个一元一次方程
步骤
移项→配成完全平方形式→降次
(x+n)²=p
当p>0，方程有两个不等的实数根x=-n±√p
当p=0，方程有两个相等的实数根x=-n
当p<0，方程没有实数根
因为实数的平方没有负数
公式法
求根公式：
根的判别
判别公式：
Δ=b²-4ac
有实根
b²-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根
b²-4ac＝0方程有两个相等的实数根
无实根
b²-4ac＜0，方程没有根
因式分解法
使方程化为两个一次式的成绩等于0的形式，在使这两个一次式分别等于0，从而降次
一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
x1+x2＝-b/a
x1·x2＝c/a
经典问题
握手问题
假设有X个人，握手总次数=X(X-1)/2
传染问题（探究1）
卷17（越秀区九年级阶段性调研）
p19
增长率问题（探究2）
p19
边距问题（探究3）
p20
第二十二章 二次函数
从特殊到一般（先研究具体的函数图像，再总结归纳）
定义
形如 y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的函数，称为二次函数
与一元二次方程相关
分类
一般式：
y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）
顶点坐标（-b/2a,（4ac-b²）/4a）
顶点式：
y＝a（x-h）²+k,（a,h,k为常数且a≠0）
顶点坐标（h,k）
交点式:
y＝a（x-x₁）（x-x₂），（a,x₁,x₂为常数且a≠0），
与x轴的交点（x₁,0）（x₂,0）
图像与性质
找表格展示
开口方向及大小
a决定开口方向
a＞0
开口朝上
a<0
开口朝下
a决定开口大小，丨a丨越大，开口越小，反之越大
y＝a（x-h）²+k
顶点坐标（h,k）抛物线的顶点是与对称轴的交点当h=0,k=0时为:
a>0
当x<h，y随x的增大而减小
当x>h，y随x的增大而增大
a<0
当x<h，y随x的增大而增大
当x>h，y随x的增大而减小
图像移动
左加右减，上加下减
y＝ax²
右移h，上移k
y＝a（x-h）²+k
y＝ax²+bx+c
顶点坐标（-b/2a,（4ac-b²）/4a）抛物线的顶点是与对称轴的交点可以配方化为：
a>0
当x<-b/2a，y随x的增大而减小
当x>-b/2a，y随x的增大而增大
a<0
当x<-b/2a，y随x的增大而增大
当x>-b/2a，y随x的增大而减小
图像画法
五点绘图法，将一般式转化为顶点式，确定开口方向，顶点，对称轴，x轴交点y轴交点5个点
二次函数与一元二次方程
解方程可以视作已知函数的值，求自变量的值
抛物线y＝ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是0
则当x=x₀时，函数值时0
因此x=x₀，是方程ax²+bx+c=0的一个根（解）
二次函数图像与x轴的位置关系
没有公共点
没有实数根
有一个公共点
有两个相等的实数根
有两个公共点
有两个不相等的实数根
二次函数与一元二次方程
实际问题
面积与边长问题（探究1）p49
定价问题（探究2）p50
拱桥问题（探究3）p51
第二十三章 旋转
联系平移，作图可能会考
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点o转动一个角度，叫做图形的旋转
相关概念
旋转中心、旋转角、对应点
性质
1. 对应点到旋转中心的距离相等
用于做图
2. 对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
3. 旋转前、后图形相等
中心对称
旋转的特殊情况
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
相关概念
对称中心、对称点
性质
1. 对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分
2. 中心对称的两个图形是全等图形
中心对称图形
定义
把一个图形绕着平面内某一点旋转180°，如果旋转后能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
关于原点对称的点的坐标
利用中心对称的性质
坐标符号相反，绝对值对应相等
（x,y）→（-x,-y）
旋转对称
把一个图形绕着某点o旋转角α后，所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点o有角α的旋转对称。
正n边形关于其中心有360°/n的旋转对称
圆关于圆心有任意角的旋转对称
第二十四章 圆
圆的认识
讲解是配图说明
定义：
在一个平面内，线段OA沿固定端点O旋转一周，另一端A所形成的图形
相关定义：
弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧
等圆、等弧
性质
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴
垂径定理及其推论
了解如何推出
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）
知二推三
直径
垂直于弦
平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
圆心角定理
前提：在同圆或等圆中
相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
知一推二
注意，优弧与优弧相对应，劣弧与劣弧相对应
对应的两条弧相等
对应圆心角相等
对应的弦相等
圆周角的定理
定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交
定理：
一条弧所对的圆周角＝它所对圆心角的1/2
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等
半圆所对圆周角是直角；直径所对应的圆周角是直角
多边形与圆
圆内接多边形
圆内接四边形的对角互补
多边形的外接圆
圆的位置关系及相关定理
圆与点
位置关系：点在圆内（d＜r）、圆外（d＞r）、圆上（d＝r）
过三点的圆
不在一条直线上的三个点确定一个圆
外接圆
三角形外接圆是过三角形三个顶点作的圆
三角形外心是三角形外接圆的圆心，是三条边垂直平分线的交点
反证法：
假设命题的结论不成立
推理得出矛盾
由矛盾判定所作假设不正确
原命题成立
圆与直线
位置关系：
相交（d＜r）
两个公共点，相交，割线
相切（d＝r）
一个公共点，相切，切线
相离（d＞r）
没有公共点，相离
相切
切线的判定与性质
判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
可以用反证法证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点之间的连线平分两条切线的夹角
内切圆
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆角叫三角形的内切圆
三角形内心：内切圆圆心是三角形内角平分线的交点，叫三角形的内心
圆与圆p103
位置关系
相切
内切（d＝R-r）
外切（d＝R+r）
相交（R-r＜d＜R+r）
相离
外离（d＞R+r）
内含（d＜R-r）
相切、相交的重要性质
若两圆相切，则切点必定在连心线上
他们是轴对称图形，对称轴是连心线
两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
圆心距
正多边形与圆
中心、正多边形的半径、中心角、边心距
尺规作图，画正多边形（利用中心角）
圆周率
重要人物：阿基米德、刘徽
（通过圆的内接正多边形的周长近似代替圆的周长算得）
与圆相关的计算
圆面积（πr²），圆的周长（2πr）
弧长与扇形面积
弧长计算公式：
扇形面积：
圆锥
母线l
链接圆锥顶点和地面圆周上任意一点的线段
圆锥面积
侧面积：S＝πrl
全面积：S＝πr²+πrl
弧长2πr（r为底面半径）
圆方程（高中）
标准方程：（x-a）²+（y-b）²＝r²，（a,b）是圆心
一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F＝0,D＝-2a,E＝-2b,F＝a²+b²
端点式：已知两点（a1,b1）（a2,b2），则以这两点为直径的圆的方程:（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）＝0
第二十五章 概率初步
概念
必然事件，记作P（必然事件）＝1
不可能事件，记作P（不可能事件）＝0
不确定事件A，记作0＜P（A）＜1
随机事件
概率P(A)
用于刻画随机事件发生的可能性大小的数值
n是一次试验中的结果数，m是事件A发生的结果数
前提：所有发生的可能性是相等的
概率越小，事件发生的可能性越小
概率计算
古典概型
公式法
P（A）＝事件A发生的结果数/所有事件发生的结果数
分析方法
列举法
列表法
树状图法
频率估计法
针对大量重复实验
几何概型
P（A）＝事件A所占面积/总面积
P（A）＝事件A所占度数/360
应用
第二十六章 反比例函数
类比二次函数的学习方法
概念
定义：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数是反比例函数（取值范围：x≠0，x是实数）
意义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy＝k，或者y＝k/x，其中k是不等于零的常数
图像与性质
结合图表
K＞0
函数图像分支位于一、三象限
y随x增大而减小
K＜0
函数图像分两支，位于二、四象限
y随x的增大而增大
对称性
反比例函数图像是轴对称和中心对称，
对称轴为y=-x或y=x；对称中心为（0，0）
几何意义：
图像任意一点与x轴、y轴围成的矩形面积等于丨k丨
图像任意一点与x轴或y轴上的点围成的三角形面积等于丨k丨/2
实际问题与反比例函数
反比例函数在实际运用中与分式方程相联系
容积问题
杠杆原理
功率与电阻问题
与初中物理联系
第二十七章 相似
相似多边形
定义：形状相同，对应角相等，对应边成比例的多边形
相似比
相似多边形对应边的比
性质
对应角相等对应边成比例
周长等于相似比面积等于相似比的平方
相似三角形
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例
判定三角形相似的定理
平行于第三边的直线与其他两边的相交，所构成的三角形与原三角形相似
与三边有关的判定定理
SSS
三边对应成比例
SAS
两边对应成比例且夹角相等
与角有关的判定定理
AA
两角对应相等
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
面积的比是相似比的平方
实际问题应用
测量问题
测建筑物的高度
测河流宽度
位似
注意作图结合坐标系考察联系物理知识“小孔成像”
对应点的连线都经过同一个点
位似图形相似，包含特殊位置关系（透视关系）
在平面直角坐标系中考察作图
第二十八章 锐角三角函数
锐角三角函数
正弦（sine）
对边/斜边
余弦（cosine）
邻边/斜边
正切（tangent）
对边/邻边
30º 45º 60º正弦，余弦，正切函数值
解直角三角形及其应用
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程
五元素（三边两角）关系
三边关系
（勾股定理）a²+b²＝c²
两锐角关系
互余
边角关系
锐角三角函数（正弦、余弦、正切）
知二求三
只要知道5个元素中的2个（至少有一个是边），就可以求出剩下3个元素
实际应用
天体距离问题
高度测量问题
高中拓展
两角和差公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sin2a＝2sinacosa
和差化积
sina+sinb=2sin(a+b/2)cos(a-b/2)
sina-sinb=2cos(a+b/2)sin(a-b/2)
cosa+cosb=2cos(a+b/2)cos(a-b/2)
cosa-cosb=2sin(a+b/2)sin(a-b/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
和差化积
cosacosb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
sinacosb=1/2[sin(a+b)]+sin(a-b)
cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
半角公式
sin²（a/2）＝（1-cosa）/2
cos²（a/2）＝（1+cosa）/2
tan²（a/2）＝（1-cosa）/（1+cosa）
tan（a/2）＝sina/（1+cosa）＝（1-cosa）/sina
万能公式
sina＝2tan（a/2）/［1+tan²（a/2）］
cosa＝［1-tan²（a/2）］/［1+tan²（a/2）］
tana＝2tsn（a/2）/［1-tan²（a/2）］
第二十九章 投影与视图
投影
定义
图形的影子投到一个平面上
分类
平行投影
由平行光线形成的投影
正投影
投影线垂直于投影面产生的投影
中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影
视图
定义：
从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形
意义：可以看作物体在某一方向垂直光线下的正投影
三视图
主视图
从前往后看
侧视图
从左往右看
俯视图
从上往下看
表面展开图
九年级
第二十一章 一元二次方程
基本思路：降次（将一元二次方程转化为一次方程）基础生：学会使用配方法和公式法、记住韦达定理中等生：在基础之上，学会灵活使用因式分解法，能够自行推导公式法及韦达定理，了解经典问题优等生：灵活解决经典问题及其变式
定义：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，是一元二次方程
一般形式：
ax²+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）
a=0时是一元一次方程
根
意义：与X轴交点的个数
是一元二次方程的解
求解方法
降次思维
配方法
将方程左边配成完全平方形式，然后两边同时开方，就可以转化为两个一元一次方程
步骤
移项→配成完全平方形式→降次
(x+n)²=p
当p>0，方程有两个不等的实数根x=-n±√p
当p=0，方程有两个相等的实数根x=-n
当p<0，方程没有实数根
因为实数的平方没有负数
公式法
求根公式：
根的判别
判别公式：
Δ=b²-4ac
有实根
b²-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根
b²-4ac＝0方程有两个相等的实数根
无实根
b²-4ac＜0，方程没有根
因式分解法
使方程化为两个一次式的成绩等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而降次
一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
x1+x2＝-b/a
x1·x2＝c/a
经典问题
握手问题
假设有X个人，握手总次数=X(X-1)/2
传染问题（探究1）
卷17（越秀区九年级阶段性调研）
p19
增长率问题（探究2）
p19
边距问题（探究3）
p20
第二十二章 二次函数
从特殊到一般（先研究具体的函数图像，再总结归纳）
定义
形如 y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的函数，称为二次函数
与一元二次方程相关
分类
一般式：
y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）
顶点坐标（-b/2a,（4ac-b²）/4a）
顶点式：
y＝a（x-h）²+k,（a,h,k为常数且a≠0）
顶点坐标（h,k）
交点式:
y＝a（x-x₁）（x-x₂），（a,x₁,x₂为常数且a≠0），
与x轴的交点（x₁,0）（x₂,0）
图像与性质
开口方向及大小
a决定开口方向
a＞0
开口朝上
a<0
开口朝下
a决定开口大小，丨a丨越大，开口越小，反之越大
y＝a（x-h）²+k
顶点坐标（h,k）抛物线的顶点是与对称轴的交点当h=0,k=0时为:
a>0
当x<h，y随x的增大而减小
当x>h，y随x的增大而增大
a<0
当x<h，y随x的增大而增大
当x>h，y随x的增大而减小
图像移动
左加右减，上加下减
y＝ax²
右移h，上移k
y＝a（x-h）²+k
y＝ax²+bx+c
顶点坐标（-b/2a,（4ac-b²）/4a）抛物线的顶点是与对称轴的交点可以配方化为：
a>0
当x<-b/2a，y随x的增大而减小
当x>-b/2a，y随x的增大而增大
a<0
当x<-b/2a，y随x的增大而增大
当x>-b/2a，y随x的增大而减小
图像画法（五点绘图法）
将一般式转化为顶点式，确定开口方向，顶点，对称轴，x轴交点y轴交点5个点
二次函数与一元二次方程
解方程可以视作已知函数的值，求自变量的值
抛物线y＝ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是0
则当x=x₀时，函数值时0
因此x=x₀，是方程ax²+bx+c=0的一个根（解）
二次函数图像与x轴的位置关系
没有公共点
没有实数根
有一个公共点
有两个相等的实数根
有两个公共点
有两个不相等的实数根
二次函数与一元二次方程
实际问题
面积与边长问题（探究1）p49
定价问题（探究2）p50
拱桥问题（探究3）p51
第二十三章 旋转
联系平移，作图可能会考
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点o转动一个角度，叫做图形的旋转
相关概念
旋转中心、旋转角、对应点
性质
对应点到旋转中心的距离相等
用于做图
对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
旋转前、后图形相等
中心对称
旋转的特殊情况
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
相关概念
对称中心、对称点
性质
对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分
中心对称的两个图形是全等图形
中心对称图形
定义
把一个图形绕着平面内某一点旋转180°，如果旋转后能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
关于原点对称的点的坐标
利用中心对称的性质
坐标符号相反，绝对值对应相等
（x,y）→（-x,-y）
旋转对称
把一个图形绕着某点o旋转角α后，所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点o有角α的旋转对称。
正n边形关于其中心有360°/n的旋转对称
圆关于圆心有任意角的旋转对称
第二十四章 圆
圆的认识
讲解时配图说明
定义：
在一个平面内，线段OA沿固定端点O旋转一周，另一端A所形成的图形
相关定义：
弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧
等圆、等弧
性质
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴
垂径定理及其推论
了解如何推出 （折叠→平分→垂直）
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）
知二推三
直径
垂直于弦
平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
圆心角定理
前提：在同圆或等圆中
相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
知一推二
注意，优弧与优弧相对应，劣弧与劣弧相对应
对应的两条弧相等
对应圆心角相等
对应的弦相等
圆周角的定理
定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交
定理：
一条弧所对的圆周角＝它所对圆心角的1/2
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等
半圆所对圆周角是直角；直径所对应的圆周角是直角
多边形与圆
圆内接多边形
圆内接四边形的对角互补
多边形的外接圆
圆的位置关系及相关定理
圆与点
位置关系：点在圆内（d＜r）、圆外（d＞r）、圆上（d＝r）
过三点的圆
不在一条直线上的三个点确定一个圆
外接圆
三角形外接圆是过三角形三个顶点作的圆
三角形外心是三角形外接圆的圆心，是三条边垂直平分线的交点
圆与直线
位置关系：
相交（d＜r）
两个公共点，相交，割线
相切（d＝r）
一个公共点，相切，切线
相离（d＞r）
没有公共点，相离
相切
切线的判定与性质
判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
可以用反证法证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点之间的连线平分两条切线的夹角
内切圆
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆角叫三角形的内切圆
三角形内心：内切圆圆心是三角形内角平分线的交点，叫三角形的内心
圆与圆p103
位置关系
相切
内切（d＝R-r）
外切（d＝R+r）
相交（R-r＜d＜R+r）
相离
外离（d＞R+r）
内含（d＜R-r）
相切、相交的重要性质
若两圆相切，则切点必定在连心线上
他们是轴对称图形，对称轴是连心线
两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
圆心距
反证法：
假设命题的结论不成立
推理得出矛盾
由矛盾判定所作假设不正确
原命题成立
正多边形与圆
中心、正多边形的半径、中心角、边心距
尺规作图，画正多边形（利用中心角）
圆周率
重要人物：阿基米德、刘徽
（通过圆的内接正多边形的周长近似代替圆的周长算得）
与圆相关的计算
圆面积（πr²），圆的周长（2πr）
弧长与扇形面积
弧长计算公式：
扇形面积：
圆锥
母线l
链接圆锥顶点和地面圆周上任意一点的线段
圆锥面积
侧面积：S＝πrl
全面积：S＝πr²+πrl
弧长2πr（r为底面半径）
圆方程（高中）
标准方程：（x-a）²+（y-b）²＝r²，（a,b）是圆心
一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F＝0,D＝-2a,E＝-2b,F＝a²+b²
端点式：已知两点（a1,b1）（a2,b2），则以这两点为直径的圆的方程:（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）＝0
第二十五章 概率初步
概念
必然事件，记作P（必然事件）＝1
不可能事件，记作P（不可能事件）＝0
不确定事件A，记作0＜P（A）＜1
随机事件
概率P(A)
用于刻画随机事件发生的可能性大小的数值
n是一次试验中的结果数，m是事件A发生的结果数
前提：所有发生的可能性是相等的
概率越小，事件发生的可能性越小
概率计算
古典概型
公式法
P（A）＝事件A发生的结果数/所有事件发生的结果数
分析方法
列举法
列表法
树状图法
频率估计法
针对大量重复实验
几何概型
P（A）＝事件A所占面积/总面积
P（A）＝事件A所占度数/360
应用
第二十九章 投影与视图
投影
定义
图形的影子投到一个平面上
分类
平行投影
由平行光线形成的投影
正投影
投影线垂直于投影面产生的投影
中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影
视图
定义：
从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形
意义：可以看作物体在某一方向垂直光线下的正投影
三视图
主视图
从前往后看
侧视图
从左往右看
俯视图
从上往下看
表面展开图
第二十八章 锐角三角函数
锐角三角函数
正弦（sine）
对边/斜边
余弦（cosine）
邻边/斜边
正切（tangent）
对边/邻边
30º 45º 60º正弦，余弦，正切函数值
解直角三角形及其应用
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程
五元素（三边两角）关系
三边关系
（勾股定理）a²+b²＝c²
两锐角关系
互余
边角关系
锐角三角函数（正弦、余弦、正切）
知二求三
只要知道5个元素中的2个（至少有一个是边），就可以求出剩下3个元素
实际应用
天体距离问题
高度测量问题
高中拓展
两角和差公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sin2a＝2sinacosa
和差化积
sina+sinb=2sin(a+b/2)cos(a-b/2)
sina-sinb=2cos(a+b/2)sin(a-b/2)
cosa+cosb=2cos(a+b/2)cos(a-b/2)
cosa-cosb=2sin(a+b/2)sin(a-b/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
和差化积
cosacosb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
sinacosb=1/2[sin(a+b)]+sin(a-b)
cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
半角公式
sin²（a/2）＝（1-cosa）/2
cos²（a/2）＝（1+cosa）/2
tan²（a/2）＝（1-cosa）/（1+cosa）
tan（a/2）＝sina/（1+cosa）＝（1-cosa）/sina
万能公式
sina＝2tan（a/2）/［1+tan²（a/2）］
cosa＝［1-tan²（a/2）］/［1+tan²（a/2）］
tana＝2tsn（a/2）/［1-tan²（a/2）］
第二十七章 相似
相似多边形
定义：形状相同，对应角相等，对应边成比例的多边形
相似比
相似多边形对应边的比
性质
对应角相等对应边成比例
周长等于相似比面积等于相似比的平方
相似三角形
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例
判定三角形相似的定理
平行于第三边的直线与其他两边的相交，所构成的三角形与原三角形相似
与三边有关的判定定理
SSS
三边对应成比例
SAS
两边对应成比例且夹角相等
与角有关的判定定理
AA
两角对应相等
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
面积的比是相似比的平方
实际问题应用
测量问题
测建筑物的高度
测河流宽度
位似
注意作图结合坐标系考察联系物理知识“小孔成像”
对应点的连线都经过同一个点
位似图形相似，位置关系特殊
在平面直角坐标系中考察作图
第二十六章 反比例函数
类比二次函数的学习方法
概念
定义：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数是反比例函数（取值范围：x≠0，x是实数）
意义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy＝k，或者y＝k/x，其中k是不等于零的常数
图像性质
结合图表
K＞0
函数图像分支位于一、三象限
y随x增大而减小
K＜0
函数图像分两支，位于二、四象限
y随x的增大而增大
对称性
反比例函数图像是轴对称和中心对称，
对称轴为y=-x或y=x；对称点为（0，0）
几何意义：
图像任意一点与x轴、y轴围成的矩形面积等于丨k丨
图像任意一点与x轴或y轴上的点围成的三角形面积等于丨k丨/2
实际问题与反比例函数
反比例函数在实际运用中与分式方程相联系
容积问题
杠杆原理
功率与电阻问题
与初中物理联系