同济版高等数学下册第一章

同济版的高数书作为参考，包含.数量级、向量积、混合积、平面及其方程、.空间直线及其方程、曲面及其方程等。

高等数学下册第一章

第一节

2.数量级、向量积、混合积

一、两向量的数量积

点乘

本书的第14页与高中的点积运算相同

a·b=|a| |b| cosΘ

a·a=|a|^2

二、两向量的向量积

叉乘

两个已知向量按右手规则确定另一个向量就为向量积的概念

右手规则：向量a×b，手指握的方向为由a旋转到b的方向，大拇指即为c的方向

向量c的大小|c|=|a| |b| sinΘ

可以表示向量a.b所形成的平行四边形的面积

由向量积的定义可得

（1）a×a=0

(2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,那么a//b,反之成立

向量积的运算规律

①b×a=-a×b

②分配律（a+b)×c=a×c+b×c

③结合律(λa)×b=a×(λb)

▲向量积的坐标表达式

利用三阶行列式

i,j,k第一行；a,b 的坐标分别为第二行、第三行

三、向量的混合积

3.平面及其方程

一、曲线方程与空间曲线方程的概念

空间曲线可以看作两个曲面S1,S2的交线

F(x,y,z)=0① G(x,y,z)=0②

二、平面的点法式方程

法向量n·向量M0M=0

n(A,B,C)

向量M0M（x-x',y-y',z-z')

平面内一点（x',y',z'）

平面的方程为A(x-x')+B(y-y')+C(z-z')=0

三、平面的一般方程

任一平面可以用三元一次方程来表示

一般方程：Ax+By+Cz+D=0

①当D等于0时，该平面通过原点

②当A=0时，表示平行于x轴的平面

例4 平面的截距式方程

x/a+y/b+z/c=1

a,b,c叫做平面在x、y、z轴上的截距

扩展

已知三点坐标求一平面方程

①直接带入一般方程

②

③先求两向量坐标，叉乘后所得向量即为法向量n，再利用点法式

6.空间曲线及其方程

一、一般方程

两个曲线的交线C的方程，叫做空间曲线C的一般方程

联立F（x,y,z)=0 G(x,y,z)=0

二、参数方程

即将x,y,z用参数t表示

螺旋线

如果空间上一点M，在圆柱面x²+y²=a²,上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向以线速度v0上升，M所形成的图形叫做螺旋线

图8-54

三、空间曲线在坐标面上的投影

求包含交线C的而母线平行于z轴的柱面方程，则消去z。

5.曲面及其方程

一、球面

球心在M0（x0,y0,z0),半径为R的球

（x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²=R²

二、旋转曲面

旋转曲线和旋转轴分别叫做旋转曲面的母线和轴

轴的字母不变，若轴为x轴，则将其他字母改为√（y²+z²)

如：x²+y²/2=1的旋转曲线为x²+(y²+z²)/2=1

三、柱面

圆柱面上的圆x²+y²=r²叫做他的准线，平行于z轴的直线l叫做它的母线

一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线 平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0

四、二次曲面

三元二次方程F(x,y,z） 所表示的曲面称为二次曲面,把平面称为一次曲面.

椭圆锥面

x²/a²+y²/b²=z²

可通过伸缩变换的方法得到面的形状

椭球面

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

其是由椭圆x²/a²+y²/b²=1绕z轴旋转，所得球面称为旋转椭球面：（x²+y²)/a²+z²/c²=1;再把旋转椭球面沿y轴方向伸缩b/a倍即为所得椭球面

图8-49

单叶双曲面

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

图8-40

双叶双曲面

x²/a²-y²/b²-z²/c²=1

图8-41

椭圆抛物面

x²/a²+y²/b²=z

图8-50

双曲抛物面

x²/a²-y²/b²=z

图8-51

4.空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

联立Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0

对应系数不成比例A.A'

一条直线的一般方程不唯一

二、空间直线的对称式方程（点向式方程）与参数方程

点向式

向：直线的方向向量

（x-x′）/m=(y-y′)/n=(z-z′)/p

当m=0时，x=x' y-y'/n=z-z'/p

当m=0,n=0时 x=x',y=y'

参数方程

设(x-x')/m=(y-y')/n=(z-z')/p=t 则x=x'+mt y=y'+nt z=z'+pt

两点式方程

可根据两点的坐标获得直线的方向向量， 再通过点向式求得直线方程

三、两直线的夹角

直线L1,L2

两直线的方向向量S1=（m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2) 两直线的夹角cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|/(m1²+n1²+p1²)½·(m2²+n2²+p2²)½

L1⊥L2，m1m2+n1n2+p1p2=0

L1∥L2,m1/m2=n1/n2=p1/p2

L1与L2重合①m1/m2=n1/n2=p1/p2 ②L1的一点坐标带入L2的方程中，方程成立 即：x1-x2/m2=y1-y2/n2=z1-z2/p2

四、直线与平面的夹角

直线的方向向量s=(m,n,p) 平面的法向量n=(A,B,C)

直线与平面的夹角sinθ=|Am+BN+Cp|/(A²+B²+C²)½·(m²+n²+p²)½

直线与平面垂直，A/m=B/n=C/p

直线与平面平行，Am+Bn+Cp=0

直线与平面重合，即有一点在其中

五、杂例

由一般式转化为点向式

方法一

取直线的方向向量s=n1×n2 选取M0（x0,y0,z0)满足 直线方程Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0 写出点向式方程

方法二

分别消去方程组中的两个变量，把第三个变量当做桥梁得到连等式， 即为直线的点向式方程

平面束方程

经过直线的平面方程

联立Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0

我们建立三元一次方程Ax+By+Cz+D+λ（A'x+B'y+C'z+D'）=0

此为经过直线，缺少平面A'x+B'y+C'z=0的所有平面