数学

小学数学中的图形与组合是一个基础且重要的学习内容，包含观察物体、 三角形、 图形的运动等。

数学

图形与几何

一年级上册

1.位置

上下左右

2.认识图形（1）

长方体

正方体

圆柱

球体

一年级下册

1.认识图形（2）

长方形

正方形

平行四边形

三角形

圆

二年级上册

1.长度单位

厘米（cm）

米（m）

注：

单位换算

1米（m）=100厘米（cm）

测量方法：

把尺子的刻度0对准被测量物体的最左端，再看被测量物体的最右端对着几

2.角的初步认识

组成

由顶点和两条边组成

每个三角尺📐上都有两个锐角，一 个直角

用直角和锐角拼出的肯定是锐角

3.观察物体（1）

正方体

正方体的面，都是正方形

概念⭐️

不同的观察角度，看到的物体，是不一样的

二年级下册

1.图形的运动

轴对称图形

如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分可以相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形（a figure has reflectional symmetry），这条直线叫做对称轴（axis of symmetry）。注：斜放的图形只要能沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称图形。在轴对称图形中间画一条线，那条线叫对称轴。

平移

平移，是指在同一平面内，将一个图形上所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移

平移概念 平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动。这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移具有以下特点： 1.不改变图形的形状和大小。 2.对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 3.可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。 在数学中，平移是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。 4.平移在不同的领域有广泛的应用，例如在图像处理、计算机图形学和机器人控制等领域。

旋转

物体围绕一个点或一个轴做圆周运动的现象

旋转是平面几何中的一种基本变换，它描述了一个图形相对于某个固定点按一定角度进行转动后得到的新图形。在这个变换过程中，图形上的每一个点都围绕着旋转中心按照相同的角度进行移动。旋转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。 旋转的四个基本要素包括：旋转中心、旋转方向、旋转角度和旋转后的位置。旋转中心是图形旋转的轴心，所有点绕之旋转；旋转方向指的是图形是顺时针还是逆时针旋转；旋转角度则是图形旋转的大小，通常以度或弧度作为单位；旋转后的位置则是指图形经过旋转后在新位置上的摆放。 旋转具有以下几个重要性质： 1. **对应点等距性**：图形上任意一点到旋转中心的距离在旋转前后保持不变。 2. **对应线段等长性**：图形中任意一条线段的长度在旋转前后保持不变。 3. **对应角相等性**：图形中任意两个对应角的大小相等。 4. **全等多边形**：旋转前后的图形是完全相同的，即它们在形状和大小上没有任何差异。 5. **唯一不动点**：在旋转中，旋转中心本身不发生移动。 6. **对称变换**：旋转可以被视为一种对称变换，它可以将图形上的每一个点映射到另一个点，保持它们之间的相对位置不变。 在实际应用中，旋转的概念广泛出现在生活中，例如风扇的叶片旋转、车轮子的转动、秋千的摆动、钟摆的摇曳以及跷跷板的平衡等。此外，在数学的多个领域，如解析几何、拓扑学、群论以及计算机图形学等，旋转都是一个基本且重要的概念。特别是在计算机科学中，旋转是图形处理和计算机动画中不可或缺的一部分，它允许我们创建和处理复杂的动画效果。在数据结构如AVL树中，旋转是维持树平衡的关键操作，确保插入和删除操作后树仍然保持平衡状态。

三年级上册

1.测量

毫米（mm）

注：换算：1厘米（cm）=10毫米（mm）

毫米（Millimetre，符号mm）是长度的单位，属于国际单位制（SI）的基本单位之一。它是米的千分之一，即一毫米等于0.001米。 在日常生活中，毫米常用于测量小物体的尺寸，如纸张的厚度、细小机械部件的尺寸、医学成像中等。毫米也可以用于表示某些长度较小的距离，例如在编织、缝纫、打印和一些精密工程中。 毫米与其他长度单位之间的换算关系如下： - 1米（m）= 1000毫米（mm） - 1厘米（cm）= 10毫米（mm） - 1千米（km）= 1,000,000毫米（mm） 这个单位非常适合于那些需要精确测量的小尺寸物体或距离的场景。在科学、工程和制造业等领域，毫米是非常重要的长度单位。

分米（dm）

注：换算：1分米（dm）=10（cm） 1米（m）=10（dm）

分米是国际单位制中长度的单位，它是米的十分之一。换句话说，一 分米等于0.1米或者10厘米。分米通常用于测量一些中等长度的物体，例如物体的宽度、厚度或者较短的距离。 在数学和科学领域，分米是一个重要的长度单位，它可以帮助我们测量和计算各种物体的长度。分米与米和厘米之间有一定的换算关系，具体来说，1米等于10分米，1分米等于10厘米。 分米的概念在日常生活和学习中都有广泛的应用。例如，在购物时，分米可以帮助我们快速了解商品的长度尺寸；在家居装修或者制作手工项目中，分米也是测量和规划的重要工具。此外，在学习物理、化学等科学科目时，分米也是一个常用的长度单位，它可以帮助我们准确地描述和计算实验中的长度数据。

千米（km）

注：换算：1千米（km）=1000米（m）

计量比较长的路程，通常以前千米（km）为单位

1千米（km）=1公里

千米是长度单位，是“公里”的另一种说法，等于一公里。国际单位制中，千米的符号是“km”。1千米等于1000米。 千米通常用于测量较长的距离，如城市之间的距离、国家或地区的边界、以及地球表面的一部分。在地图上，千米用来表示两点之间的距离，使得表达更加方便和清晰。 在日常生活和工作中，千米也是一个常用的单位，例如，当我们谈论两地之间的距离、汽车行驶的里程、或者运动员跑步的路程时，我们可能会使用千米作为单位。 千米的概念在科学和工程领域也非常重要，它用于表示天文学中的距离、测量大型工程项目的规模、以及计算交通运输的需求等。

米（m）

注：换算：1米（m）=10分米（dm）=100厘米（cm）

米是国际单位制（SI）中长度的基本单位，符号为“m”。米的定义是基于光在真空中1/299,792,458秒内传播的距离，这个定义是通过国际计量大会（CGPM）确定的。由于这个定义，米是一个恒定的长度，不依赖于任何具体的物理对象或测量工具。 米被广泛用于各种长度和距离的测量，从日常生活中的家具尺寸、房间长度，到科学实验、建筑、工程和地理学中的大型距离测量。它是衡量较短距离的常用单位，而对于更长的距离，则通常使用千米（公里）作为单位。 米的子单位包括分米（1米=10分米）、厘米（1米=100厘米）、毫米（1米=1000毫米）和微米（1米=1,000,000微米）等。这些子单位用于测量更小的长度，例如细小的物体、细胞或微观结构。 米也是科学和工程领域中不可或缺的单位，用于制定标准、计算物理量（如速度、加速度、位移等）以及进行科学研究和技术开发。

2.长方形和正方形

正方形，长方形是特殊的平行四边形

四边形

定义

有四条直的边和四个角的封闭图形叫做四边形

四边形是一个几何图形，由四条不在同一直线上的线段依次首尾相接围成，形成一个封闭的平面图形或立体图形。这四条线段称为四边形的边，它们之间的四个角称为四边形的内角。四边形的概念分为凸四边形和凹四边形两大类。 1. 凸四边形：四条边都在同一平面内，对边不相交，且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。常见的凸四边形有平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等。 2. 凹四边形：四条边都在同一平面内，对边不相交，但作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。 四边形的性质包括： - 四边形的内角和为360度。 - 四边形的外角和也为360度。 - 对角线将四边形分成两个三角形。 - 平行四边形的对角线互相平分。 - 矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，具有特殊的性质和公式。 四边形在生活和工作中有广泛的应用，例如，在建筑设计、工程测量、地图绘制等领域，都需要用到四边形的知识和技巧。

长方形

定义

长方形的对边相等，有四个直角

长宽的定义

长方形中，较长的一条边，叫做长。 较短的一条边叫做宽。

周长公式

（长+宽）x2或长x2+宽x2

长方形是一种特殊的四边形，它有四条边，且相对的两条边相等且平行，四个角都是直角。长方形的对边相等，对角线相等，且相互平分。长方形的特点是相邻两边垂直（即夹角为90度），并且对边相等。 长方形可以看作是矩形的一种特殊情况，其中矩形不仅对边相等且平行，而且所有角都是直角。因此，所有的长方形都是矩形，但不是所有的矩形都是长方形。 长方形在数学、工程、建筑和日常生活中都有广泛的应用。例如，长方形用于计算物体的面积、包装物品、设计表格等。长方形的面积可以通过其长度和宽度相乘得到，公式为： 面积 = 长度 × 宽度 长方形的概念是学习更复杂几何形状的基础，也是解决各种实际问题的关键。

注：长方形是特殊的平行四边形

正方形

定义

正方形的四条边都相等，四个角都是直角

注：正方形是特殊的长方形（平行四边形）

周长公式

边长x4

正方形是一种特殊的四边形，它具有以下特征： 1. 四条边都相等：正方形的四条边长度完全相同，这是它与长方形最明显的区别。 2. 四个角都是直角：正方形的每个角都是90度，这意味着它具有矩形的特性。 3. 两组对边分别平行：正方形的一组对边平行且相等，同样，另一组对边也平行且相等。 4. 对角线互相垂直：正方形的对角线相交成直角，并且它们互相平分。 5. 对角线相等：正方形的对角线长度相等。 6. 既是中心对称图形，又是轴对称图形：正方形可以围绕其中心点旋转180度而不改变其形态，同时，它也有四条对称轴，每条对称轴都能将正方形平分成两个相同的三角形。 正方形的面积可以通过其边长的平方来计算，公式为： 面积 = 边长 × 边长 由于正方形是特殊的长方形，所以它也继承了长方形的其他性质，如相邻边垂直和对角线互相平分。正方形在数学、科学、工程、艺术和日常生活中都有广泛的应用，例如，在设计图案、建筑规划、电子游戏和日常生活中遇到的许多物品（如桌布、纸张等）中都能找到正方形的影子。

周长概念

封闭图形一周的长度

周长是指封闭图形一周的长度。在数学中，周长是一个基本的几何概念，通常用于测量平面图形的边界。对于一个封闭的平面图形，周长是围成该图形的所有边的长度之和。 周长的计算方法取决于图形的类型。例如： - 圆的周长（又称圆周）可以通过公式 C = 2πr 计算，其中 C 表示周长，r 表示圆的半径。 - 矩形的周长可以通过公式 C = 2(l + w) 计算，其中 l 表示矩形的长度，w 表示宽度。 - 正方形的周长可以通过公式 C = 4s 计算，其中 s 表示正方形的边长。 - 三角形的周长是三条边的长度之和。 周长不仅是一个数学概念，它在现实世界中也有广泛的应用。例如，在测量土地面积、计算围栏的长度、设计体育场馆的跑道等实际问题中，都需要用到周长的知识。 在教学周长时，通常会让学生通过实际操作来体验和理解周长的概念，比如用小棒摆出不同形状的图形，然后计算它们的周长。这样的活动可以帮助学生更好地理解周长的本质，而不仅仅是记住计算公式。

三年级下册

1.位置和方向

如何确定方向

以参照物为中心，根据“上北下南左西右东”原则确定的（适用地图🗺️）

的字后面是参照物

适用于“xx在**的什么面/什么方向”

确定方向的方法取决于所处的环境和可用的工具。以下是一些常见的方法来确定方向： 1. **使用自然地标**： - 观察太阳的位置：太阳从东方升起，西方落下，可以通过太阳的位置来判断东西方向。 - 观察星星：在夜晚，可以根据北极星或其他星座的位置来确定北南方向。 - 观察地形：山脉、河流等自然地标可以帮助确定方向。 2. **使用指南针**： - 传统指南针：通过观察指南针的指针来确定方向，红色指针指向北方，白色指针指向南方。 - 现代导航设备：如智能手机、GPS设备等，这些设备可以自动确定方向并显示在屏幕上。 3. **使用地图和地形**： - 分析地图上的道路、河流、山脉等特征，结合自己的位置信息来确定方向。 - 在地形中寻找熟悉的特征，如建筑物、树木等，以此来判断方向。 4. **使用电子设备**： - 使用智能手机或平板电脑上的地图应用程序，如高德地图、百度地图等，这些应用程序可以提供实时的方向指引。 - 使用带有方向传感器的设备，如智能手表、健身追踪器等，这些设备可以根据设备自身的运动来确定方向。 5. **观察动物行为**： - 某些动物，如候鸟、海龟等，具有感应地球磁场的能力，可以利用它们的行为来确定方向。 6. **使用数学和科学方法**： - 在有磁场的情况下，可以通过测量磁场强度和方向来确定方向。 - 在有重力场的情况下，可以通过测量重力加速度的方向来确定垂直方向。 在确定方向时，可能需要结合多种方法和工具，以确保结果的准确性。在不同的环境和情况下，某些方法可能比其他方法更有效。

四面八方

东北，西北，东南，西南

方位示意图

方向概念是指在空间中确定一个点或物体相对于另一个点或物体的位置关系。在日常生活中，方向概念可以帮助我们理解和描述物体之间的相对位置，进行导航和定位。在数学和物理学中，方向概念也是非常重要的，它可以帮助我们建立坐标系，解决各种几何和物理问题。 以下是一些基本的方向概念： 1. **水平方向和垂直方向**：在二维平面上，水平方向通常指的是与地面平行的方向，而垂直方向指的是与地面垂直的方向。 2. **东西方向和南北方向**：在地理学中，东西方向是指从东向西或从西向东的方向，南北方向是指从南向北或从北向南的方向。这两个方向构成了地球表面的基本方向系统。 3. **正向和反向**：在某些情况下，我们可以定义一个正向方向和一个反向方向，例如，在电子学中，电流的正方向和反方向。 4. **内部方向和外部方向**：在三维空间中，一个物体的内部方向是指从内部指向外部的方式，而外部方向是指从外部指向内部的方式。 5. **方向角和方位角**：方向角是指从正北方向开始，顺时针旋转到目标方向的角度；方位角是指从正东方向开始，顺时针旋转到目标方向的角度。 6. **相对方向和绝对方向**：相对方向是指两个物体之间的方向关系，绝对方向是指相对于一个固定参考点或坐标系的方向。 在确定方向时，我们通常需要一个参考点或参考方向。在不同的领域和情境中，参考点和参考方向可能会有所不同。例如，在航海中，参考方向可能是北极星；在建筑设计中，参考方向可能是建筑物的朝向。

2.面积

概念

物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积

面积概念是指物体在二维空间中所占据的平面大小。它是表示平面图形或物体表面大小的数量。面积是一个基本的数学概念，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、建筑学、地理学和日常生活等。 以下是一些关于面积的基本概念： 1. **面积的定义**：面积是指物体所占据的平面图形的大小。它可以用来衡量二维图形的表面大小，如矩形、三角形、圆形等。 2. **面积单位**：常用的面积单位有平方米（m²）、平方厘米（cm²）、平方毫米（mm²）、公顷（hm²）和平方千米（km²）等。在国际单位制（SI）中，标准面积单位是平方米（m²）。 3. **面积的计算**：不同形状的图形有不同的面积计算公式。例如，矩形的面积是长度乘以宽度（A = l × w），圆形的面积是半径的平方乘以π（A = πr²）。 4. **面积的应用**：面积概念在实际生活中有广泛的应用。例如，在房地产行业中，房屋的面积是一个重要的参数；在工程学中，计算土地或建筑物的面积可以帮助规划设计和资源分配；在科学研究中，面积的概念也用于描述和计算各种物理现象。 5. **面积的扩展**：在三维空间中，面积可以扩展为体积，表示物体所占据的空间大小。体积的计算公式通常是底面积乘以高（V = A × h），其中 A 是底面积，h 是高。 总结来说，面积概念是一个基本的数学和物理概念，它帮助我们理解和衡量二维空间中物体的大小。通过面积的计算和应用，我们可以解决各种实际问题，进行科学的规划和设计。

面积单位

用正方形作为面积单位最合适，因为它能铺满整个长方而没有空

常见的面积单位有

平方厘米（cm²）

边长是1厘米（cm）的正方形，面积是一平方厘米（cm ²）

平方分米（dm²）

边长是1分米（dm）的正方形，面积是一平方分米（dm ²）

平方毫米（mm ²）

边长是1毫米（mm）的正方形，面积是一平方毫米（mm ²）

平方米（m ²）

边长是1米（m）的正方形，面积是一平方米（m ²）

进率

1平方米=100平方分米

其他同理，此处暂时省略

原因：1米=10分米 边长为1米的正方形，可以换算为10分米的正方形。 所以：边长为1米的正方形面积=1米x1米 =10分米x10分米

面积单位和它们的进率是数学和测量中非常重要的概念，它们帮助我们理解和转换不同大小的平面区域。以下是一些主要面积单位及其之间的进率： 1. 平方米 (m²) 到 平方厘米 (cm²) 的进率是 10,000。即 1 m² = 10,000 cm²。 2. 平方米 (m²) 到 平方分米 (dm²) 的进率是 100。即 1 m² = 100 dm²。 3. 平方分米 (dm²) 到 平方厘米 (cm²) 的进率是 100。即 1 dm² = 100 cm²。 4. 公顷 (ha) 到 平方米 (m²) 的进率是 10,000。即 1 ha = 10,000 m²。 5. 平方千米 (km²) 到 公顷 (ha) 的进率是 100。即 1 km² = 100 ha。 6. 平方千米 (km²) 到 平方米 (m²) 的进率是 1,000,000。即 1 km² = 1,000,000 m²。 7. 英亩 (acre) 到 平方米 (m²) 的进率是 4046.86。即 1 acre = 4046.86 m²。 8. 平方英尺 (ft²) 到 平方米 (m²) 的进率是 0.092903。即 1 ft² = 0.092903 m²。 9. 平方码 (yd²) 到 平方米 (m²) 的进率是 0.836127。即 1 yd² = 0.836127 m²。 这些进率允许我们在不同面积单位之间进行有效的转换，以便于各种测量和计算工作。在实际应用中，了解和掌握这些进率是非常有用的。

长方形面积公式：长x宽

正方形的面积公式：边长x边长

面积计算公式

当然，以下是一些常见图形的面积计算公式，您可以复制并使用： 1. 矩形 (Rectangle) - 面积 A = 长 (l) × 宽 (w) 2. 圆形 (Circle) - 面积 A = π × 半径 (r)² 3. 正方形 (Square) - 面积 A = 边长 (s) × 边长 (s) = s² 4. 三角形 (Triangle) - 面积 A = (底 (b) × 高 (h)) / 2 - 面积 A = 底 (b) × 高 (h) × (1/2) × sin(θ) (如果高不是直接给出，而是夹角 θ 给出的) 5. 梯形 (Trapezoid) - 面积 A = (上底 (a) + 下底 (b)) × 高 (h) / 2 6. 圆环 (Circle Segment) 或 扇形 (Sector) - 面积 A = 圆心角 (θ) × 半径 (r)² / 2 - 面积 A = (θ/360) × π × r² 7. 平行四边形 (Parallelogram) - 面积 A = 底 (b) × 高 (h) 8. 矩形三角形 (Rhombus) 或 菱形 (Diamond) - 面积 A = (对角线之一 (d1) × 对角线之二 (d2)) / 2 9. 椭圆 (Ellipse) - 面积 A = π × 长半轴 (a) × 短半轴 (b) 10. 多边形 (Polygon) - 面积 A = (边长之和 × 高) / 2 (使用分割法，将多边形分割成三角形) 请注意，这些公式适用于标准的几何形状。在实际应用中，可能需要根据具体情况调整或使用更复杂的计算方法。

四年级上册

1.公顷（ha）平方千米（km²）

公顷（ha）

定义

边长是100米（m）的正方形的面积是1公顷（ha）

换算

10000平方米（m ²）=1公顷（ha）

概念

公顷是一个面积的度量单位，属于公制单位体系。在国际单位制（SI）中，公顷的定义是基于面积的，具体定义为： 1. 公顷等于10,000平方米。 2. 换句话说，一块面积为1公顷的土地覆盖了10,000平方米的面积。 3. 公顷通常用于测量较大的土地面积，比如农田、公园、森林等。 此外，公顷与其他面积单位之间的换算关系如下： - 1公顷 = 100公亩 - 1公顷 = 0.01平方千米（或 1公顷 = 10^-4平方千米） - 1公顷 = 1,000,000平方厘米 这个定义使得公顷成为了一个方便的单位，用于测量和比较不同地区的土地面积，尤其是在土地规划和环境保护等领域。

平方千米

定义

边长是1千米（km）正方形的面积是1平方千米（km ²）

换算

1平方千米（km ²）= 1000000平方米=100公顷（ha）

概念

平方千米是一个面积的度量单位，属于公制单位体系。在国际单位制（SI）中，平方千米的定义是基于面积的，具体定义为： 1. 平方千米等于边长为1千米的正方形的面积。 2. 换句话说，一个平方千米等于1,000米 x 1,000米的正方形的面积，即1,000,000平方米。 3. 平方千米通常用于测量较大的土地面积，比如城市、国家甚至大陆的面积。 此外，平方千米与其他面积单位之间的换算关系如下： - 1平方千米 = 1,000,000平方米 - 1平方千米 = 100公顷 - 1平方千米 = 10^6立方厘米（或 1平方千米 = 1,000,000,000立方毫米） 这个定义使得平方千米成为了一个非常适合测量和比较大面积单位，尤其是在地理学、环境科学和土地管理等领域。

2.角的度量📐

线段的定义

一个拉紧的线，绷紧的弦都可以看作是线段

线段有两个端点

用字母来表示线段，如“线段AB”

线段是几何学中的一个基本概念，它是由两个端点限定的一段直线。线段具有以下特点： 1. **有限长度**：线段的长度是有限的，可以用一个实数来度量。 2. **两个端点**：线段由两个不同的点确定，这两个点称为线段的端点。通常，这两个端点用大写字母如A、B来表示，或者用一个小写字母加上端点的顺序号来表示，如线段AB或线段a。 3. **线段的表示**：线段可以用它两个端点的字母来表示，有时这些字母也表示线段的长度。例如，线段AB或线段BA，其中A和B是线段的两个端点。 4. **对称性**：线段关于它的中点对称，中点是线段上唯一的一点，它将线段分成两个长度相等的部分。 5. **最短距离**：在平面上，两点之间的线段是最短的距离。这是线段的一个重要性质，也是它在实际应用中的一个重要优点。 6. **度量线段**：线段的长度可以通过直尺或其他测量工具来度量。 线段的概念在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。例如，在工程图中，线段用来表示建筑或机械部件的尺寸；在数学中，线段的长度用于度量两点之间的距离，是解决几何问题的重要基础。

直线的定义

把线段向两端♾️无限延伸就得到了一条直线～～～

直线是不可能有端点，一定是无限长的

直线可以用“直线AB”表示，还可以用小写字母“🔡”表示，如，“直线l”

直线是几何学中的一个基本概念，它是由无数个点沿着相同或相反方向无限延伸而成的轨迹。在数学中，直线可以用多种方式来表示和描述。 1. **解析几何中的直线**：在平面解析几何中，直线通常由一个二元一次方程来表示，例如Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。当B不为0时，这个方程可以重写为y = mx + b的形式，其中m是直线的斜率，b是y轴上的截距。 2. **直线的基本性质**：直线没有端点，可以无限地向两端延伸，并且它的长度是无限的。在三维空间中，直线可以看作是两个平面的公共部分，或者是平面在某个方向上的无限延伸。 3. **直线与坐标系**：在笛卡尔坐标系中，直线可以与x轴、y轴或z轴相交，交点的坐标值称为直线在这些坐标轴上的截距。直线的倾斜角或斜率可以用来描述直线相对于坐标轴的倾斜程度。 4. **直线的位置**：在空间中，直线的位置由经过它的一个点和它的一个方向向量完全确定。直线的方向向量与直线平行，并且决定了直线的方向。 5. **直线与射线、线段的关系**：直线和射线都是由无数个点组成的，但射线有一个端点，并且只向一个方向无限延伸。线段则是直线上的一个有限部分，它有两个端点，并且长度是有限的。 直线作为几何学的基础概念，它不仅是学习更复杂几何形状和结构的基础，而且在物理学、工程学、建筑学等多个领域中都有广泛的应用。

射线

把线段向一段无限♾️延伸，就得到一条射线哦

射线只有一个端点

射线可以用端点和射线上的另一点表示“如射线AB”

射线是几何学中的一个基本概念，它是由一个起点和这个起点一旁的一条直线组成。射线具有以下特征： 1. **一个端点**：射线有一个明确的起点，这个点称为射线的端点。 2. **无限延伸**：从端点出发，射线在另一侧方向上无限延长。这意味着射线在端点一侧有一个方向，从这个方向出发，射线上的点可以无限地继续向前延伸。 3. **表示方法**：射线通常用一个点和一个箭头或者一个点和一个斜杠来表示。例如，射线AB或者射线A→B，其中A是射线的端点，B是射线上的一个点，箭头或斜杠表示射线从A向B无限延伸。 4. **与直线的关系**：射线是直线的一种特殊形式，可以看作是直线在一点上的局部扩展。直线上的一点向一方无限延伸即形成射线。 5. **射线的性质**：射线没有固定的长度，因为它的另一侧无限延长。在射线上，除了端点以外的任意两点之间的距离是可以测量的，但射线本身的长度是无法测量的。 6. **应用**：射线在数学、物理学和工程学等领域中都有应用。例如，在物理学中，射线可以用来描述光、声或其他粒子的传播路径。 射线是理解和描述直线、线段和更复杂几何形状的基础，它也是几何学中的一个基本概念。

线段、直线和射线的区别

2.4.1直线和射线可以无限♾️延伸，而线段不能延伸

2.4.2线段可以量出长度

2.4.3端点个数 线段：2个 射线：1个 直线：没有🈚️

线段、直线和射线是几何学中的基本概念，它们之间的区别如下： 1. **线段**： - **有限长度**：线段有两个端点，长度是有限的，可以度量。 - **固定范围**：线段只包括两个端点以及它们之间的所有点。 - **表示方法**：通常用两个端点的字母来表示，如线段AB。 2. **直线**： - **无限长度**：直线没有端点，两端可以无限延长，不可度量。 - **无限延伸**：直线在两个方向上都无限延伸。 - **表示方法**：通常用两个点来表示直线，如直线AB。 3. **射线**： - **一个端点**：射线有一个明确的起点，从这个起点出发可以无限延长。 - **一端无限延长**：射线只有一边可以无限延长。 - **表示方法**：通常用一个点和一个箭头或者斜杠来表示，如射线A→B。 总结来说，线段有固定的长度和两个端点，直线两端无限延长且没有端点，射线有一端无限延长且有一个明确的起点。这三者都是直线的一部分，但它们的特性使其在几何学和相关的应用领域中具有不同的意义和用途。

角📐的度量（步入正题）

人们圆平均分为360份，将其中1份所对的角📐作为度量角的单位，它的大小就是一度，计作1 °

认识不同的角

固定角

直角（90 °）

平角（180 °）

周角（360 °）

不固定角

锐角（>0 ° ,<90 °）

钝角（>90 °,>180 °)

其他（总结）

在几何学中，角是由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。这个公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。角可以根据其大小和形状进行分类。以下是一些基本的和常见的角类型： 1. **直角**：一个角，其大小为90度。它是一个 right angle，通常用符号 ∠ 或 ° 来表示。例如，直角三角形有一个直角。 2. **锐角**：一个角，其大小小于90度。锐角是 acute angle 的另一种说法。 3. **钝角**：一个角，其大小大于90度但小于180度。钝角是 obtuse angle 的另一种说法。 4. **平角**：一个角，其大小为180度。它是由两条互相垂直的射线形成的。 5. **周角**：一个角，其大小为360度。它是由两条射线形成，这两条射线在同一直线上。 6. **优角**：一个角，其大小大于180度但小于360度。 7. **劣角**：一个角，其大小小于180度。 8. **互补角**：两个角的和为90度。例如，一个直角和一个锐角是互补角。 9. **补角**：两个角的和为180度。例如，两个钝角是补角。 10. **对顶角**：在两条相交直线形成的四个角中，位于相交点两侧相对的角是对顶角。它们的大小相等。 11. **邻补角**：共享一条边且不重叠的两个角是邻补角。它们的和为180度。 这些是几何学中一些基本的角类型。实际上，还有更多的角类型和特殊类型的角，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。

画角📐的步骤为

2.7.1画一条射线，是量角器的中心和射线的端点重合，0 °刻度线和射线重合

2.7.2在量角器60 °（要画的角度）刻度线重合，再点一个点

2.7.3以画出的缩写端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线

画角的步骤可以根据使用的工具和所需的精度有所不同，但一般来说，以下是画一个指定度数角的基本步骤： 1. **准备工具**：准备一张纸、一支铅笔、一把量角器和一把直尺。 2. **确定顶点**：在纸上选择一个点作为角的顶点。 3. **画一边**：从顶点出发，用量角器的中心对准顶点，并沿着量角器的边缘画出一条射线。这条射线将成为角的一条边。 4. **量度角度**：调整量角器，使其的另一条边缘对准射线的端点，同时确保量角器的中心点仍然对准顶点。读取量角器上与另一条边缘对齐的刻度，这个刻度就代表了角的大小。 5. **画另一边**：保持量角器的位置不变，用铅笔在量角器的边缘上标记出角的度数。然后，将量角器的一条边沿着这个标记旋转，画出与第一条边相交的射线。这两条射线和顶点一起构成了所需的角度。 6. **检查角度**：如果需要，可以用直尺检查画出的角是否符合预期的度数。 7. **标记角度**：如果需要，可以在角的顶点处标上角的度数或其他符号。 这些步骤适用于使用量角器画任意度数的角。当然，在实际操作中，可能还需要根据具体情况进行调整和修正。

3.平行四边形

平行

在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线🟰，也可以说这两个直线相互平行～

a与b平行，计作a//b，读作a平行于b

垂直

两条直线相交成直角，就说这两条直线相互垂直

其中一条线，叫做另一条直线的垂线

这两条直线的交点叫做垂足

直线a与直线b相互垂直，记作aIb，读作a垂直于b

从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离阿

端点分别在两条平行线🟰上⬆️，且与平行线🟰垂直的所有线段的长度都相等🟰，也叫做平行线🟰间距离处处相等

图形部分（步入正题）

平行四边形

定义

两组对边分别平行的四边形（封闭图形），叫做平行四边形

从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段 ，叫做平行四边形的高

垂足所在边，叫做平行四边形的底

特点

平行四边形的对边互相平行哦

对边也相等哦

部位图

梯形

定义

只有一组对边平行的四边形（封闭图形）叫做梯形

两腰相等的梯形叫做等腰梯形

有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形

部位图

四年级下册

1.观察物体（2）

见2年级上册观察物体（1）

2.三角形

三角形

部位图

定义

有三条线段围成的图形，每相邻两条线段的端点相连（叫做三角形哦）

从三角形的一个顶点到ta的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高

这条对边叫做三角形的底

两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离

三角形任意两边的和大于第三边（由上可证）

三角之和为180度（内角和）

记作

为了表达方便用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点，上面的三角形可以表示成三角形ABC

三角形具有稳定性

分类（按照角）

锐角三角形

三个角都是锐角

直角三角形

有一个直角

钝角三角形

有一个钝角

分类（按照边）

等腰三角形

两条边相等的三角形叫等腰三角形

在等腰三角形中相等的两条边叫做腰

另 一条边叫做底

两腰的夹角叫做顶角

底和腰的两个夹角叫做底角

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形又叫做正三角形

等边三角形也是等腰三角形

等边三角形是特殊的等腰三角形

等边三角形每一个角都是60度

图形的运动（2）（pro max版）

轴对称

画出（连出）另一半

平移

画出平移后的图形

五年级上册

做好心理准备，很多

1.位置

数对😯

定义

位置用数对来表示

位置辨别方法

数对：先列后行 例： 列 行 ↓ ↓ （1，5）

概念

第一个数相同-列相同 第二个数相同-行相同

考点

平移，画图✍️，搭配面积来算面积

2.图形面积

注：四边形的内角和为360度

浮动主题

补充：1亩≈667平方米（m ²）