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面向流体力学的多范式融合研究展望
面向流体力学的多范式融合研究展望，介绍了研究现状、第四范式指导下的多范式融合现状、范式融合的方法与途径等。
编辑于2024-02-28 21:06:32
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面向流体力学的多范式融合研究展望
研究现状
流场预测的机器学习
采用机器学习方法对样本数据进行学习, 构建神经网络映射关系代替原始的偏微分方程, 能够快速、高效获得流场分布解, 这一手段也被称为机器学习的流场预测。
一、有样本数据驱动的监督学习神经网络方法
Sekar等(2019)提出通过卷积神经网络 (Convolution neural network, CNN) 对翼型进行参数化, 构建以翼型参数、雷诺数、攻角等为输入, 流场分布为输出的深度神经网络映射模型, 在二维定常层流流场建模中取得了很好的效果。
Fukami等(2019)则采用CNN网络实现了高精度流场重构。
Hu等(2022)提出一种新的卷积算子, 改进传统CNN神经网络进行流场预测, 并实现了对不同网格密度问题的泛化.
二、无需样本, 物理驱动的神经网络建模方法：这类方法不需要带标签的流场样本数据, 直接将物理方程和边界条件融入神经网络的损失函数中, 是一种有别于传统计算流体力学 CFD方法的数值模拟新方法。
物理信息神经网络 (Physics Informed Neural Network, PINN) 是一种典型的神经网络模型, 通过将物理系统的控制偏微分方程以及相应的初始和边界条件作为惩罚项加入到损失函数, PINN可以灵活地处理涉及偏微分方程的一系列正问题和反问题, 例如偏微分方程求解、参数反演、控制优化等, 可以实现多种研究范式的融合, 得到了广泛应用(Raissi et al. 2019a).
Zhu Y等(2019)和Geneva等(2020)采用卷积编码−解码神经网络模型对流场信息进行了重构, 这是将流场以图像数据的形式作为初始解输入给卷积网络, 实现无数据预测.
Karumuri等(2020)同样基于无样本数据方法, 采用深度全连接残差网络求解了二维椭圆型随机偏微分方程. Sun等(2020)将这种方法推广到求解参数化的Navier-Stokes方程中, 采用深度神经网络对真实的血管流动进行了模拟.
Wei等(2019)提出了一种基于深度强化学习技术的流场求解方法 (Deep Reinforcement Learning solver, DRL solver) , 将控制方程、边界条件和初始条件均引入到网络的损失函数中, 实现了从离散求解域的初始随机分布场收敛到稳定的最终解.
湍流模型的机器学习
改善或替换RANS模型： 首先机器学习湍流建模方法开始于对经典微分方程型湍流模型的改善, 称之为数据驱动的灰箱模型。研究者通过高精度数据来减小RANS模型计算的偏差, 或者使之能够用于分离流的计算。
对经典微分方程型湍流模型的改善
一种思路是通过改变模型的控制方程形式, 如乘以修正系数或给方程增加源项.
Tracey等(2015)针对二维及三维流动, 构建了替代Spalart-Allmaras (SA) 模型控制方程中源项的神经网络模型。
Zhang等(2015)、Duraisamy等(2015)和 Singh等(2017a)针对修正系数分布或附加源项建立数据驱动模型, 改善了原RANS模型的计算精度。
张亦知等(2020)发展了物理知识约束的湍流模型数据驱动修正方法, 并用于槽道湍流的计算模拟.
另一种思路是在RANS模型基础上构造偏差函数, 然后将RANS模型和偏差函数的计算结果叠加作为最终的雷诺应力值。
Wang等(2017)针对RANS模型计算结果和高分辨率数据之间的雷诺应力偏差进行建模, 提高了原有模型的准确性, 与直接数值模拟 (Direct numerical simulation, DNS) 求解的结果相似度很高。
直接构建数据驱动的黑箱模型
Ling等(2016)和Kutz(2017)基于Pope推导的基张量和不变量构建了雷诺应力各向异性的张量基神经网络模型(Tensor Basis Neural Network, TBNN). 该模型可以刻画二次流中的旋涡结构和波形壁中的分离现象。
Zhu L等(2019)采用径向基函数 (Radial Basis Function, RBF) 神经网络, 发展了直接构建纯数据驱动的湍流黑箱代数模型, 并成功实现了模型与N-S方程之间的耦合求解.
不确定度的分析： 用于描述和量化传统湍流模型计算结果的不确定度。
重构LES亚格子模型： 机器学习方法被应用于模型化大涡模拟 (Large Eddy Simulation, LES) 中的湍流相关变量。
流场特征提取的机器学习
机器学习的非线性特征提取可以通过神经网络直接学习, 即构建一个自编码器实现流动快照的自映射。这种方法的降维是通过神经网络隐含层中仅采用少量神经元而实现的。
Huang 等(2019)利用深度神经网络构建了数据驱动的火焰演化过程预测模型, 通过二维流场得到了三维结构。
Omata等(2019)通过深度神经网络发展了针对非定常流动的降阶方法, 实现了非定常流场的空间结构随时间变化的预测。
Fukami等(2020)研究了基于卷积神经网络的分层自编码器方法在流场降阶中的应用, 利用该方法可以有效地将湍流流场映射到潜在的低维空间。
Cai等( 蔡声泽等 2019, Cai S 2019)通过神经网络研究了PIV (Particle Image Velocimetry) 数据中的粒子运动预测方法.
Li等(2020)利用机器学习方法获取了具备湍流区域划分的流场特征检测器, 并在圆柱绕流中取得较好的特征识别效果。
流动控制的机器学习 （AFC，特别是闭环流动控制）
Kawthar-Ali等(1996)开发了一种神经网络控制器, 用于抑制俯仰翼型前缘周期性发展的动态失速涡。
Ren等(2020)基于径向基函数神经网络, 提出一种数据驱动的跨声速翼型抖振自适应控制方法, 结果表明, 这种控制方法可 以在很大的流动范围内完全抑制跨声速抖振载荷。
Duriez等(2014, 2017)和Gautier等(2015)最先将遗传编程方法 (图7所示) 用于实验中的后台阶流动的控制, 使再循环区域缩小了80%, 并且在一定范围内增加或减少雷诺数。
Rabault等(2019)利用最新的深度强化学习方法, 即近端策略优化 (PPO) , 实现了圆柱流动减阻的闭环控制。
Ren等(2021)还提出采用闭环控制系统实现钝体流动控制, 并借助深度强化学习实现流动自适应控制, 成功将流向和展向载荷消除。
近年来，强化学习（Reinforcement Learning, RL）成为了解决问题的基本模式。
气动力建模与代理模型
非定常气动力建模
数据驱动的气动力模型通常基于模态坐标, 获取强迫运动的模态位移-广义气动力数据, 利用系统辨识方法训练一个能够描述从运动状态到广义非定常气动力的动态模型, 如Volterra级数和差分动力学模型(Silva 1993, Cowan et al. 2001).
为了模拟大振幅运动下气动力的非线性非定常特性, 进一步发展了BP (Back Propagation) 神经网络、RBF回归神经网络、分层模型、混合模型、支持向量机等方法。
为了提高非线性模型在不同流动或外形参数下的泛化能力, 提出了变马赫数模型, 如递归神经网络、多核神经网络、模糊神经网络、长短时记忆网络 (Long Short-Term Memory neural network, LSTM) 等。
为了适应模态振型的变化, 提出了适用于任意振型的气动力模型(Wang Z et al. 2018a). 所发展的降阶模型, 特别是动态线性模型十分便于复杂流固耦合动力学机理的研究, 如跨声速抖振锁频机理与控制率的设计(Gao et al. 2017a, 2017b)
定常气动力代理模型 （广泛应用于气动优化问题）
凭借大数据特性通过抽样方法建立在设计空间内与CFD等效的近似代理模型, 然后通过全局优化算法调用该近似的代理模型进行气动外形优化设计。
Kriging模型、神经网络、多项式响应面、支持向量机、本征正交分解等。
第四范式指导下的多范式融合现状
1+4: 两者的融合有效提高了试验气动数据利用效率, 增强了试验数据集的扩展与外推能力。
Kurtulus等(2009)使用ANN来模拟翼型沉浮运动引起的的非定常气动力系数。
Winter等(2016)使用模糊神经系统来预测非定常运动引起的气动力载荷和颤振边界。
Luo C T等(2015)发展了基于自适应空间变换(Adaptive Space Transformation, AST)的关联参数数据挖掘方法, 并将其应用于高超声速气动力关联.
王旭等(2023)则提出可以基于地面风洞试验结果, 利用随机森林融合方法实现飞行试验气动数据库的有效外推。
2+4： 可以解决传统研究难以解决的问题, 甚至突破传统研究的瓶颈。第四范式可以减轻对第二范式的依赖, 第二范式可以增强第四范式的可解释性与适用性。
特征构建
Zhu L Y等(2019)通过流场变量及其梯度等物理量构建了表1所示的特征, 基于这些特征建模可以较为准确的预测涡粘系数, 采用NACA0012翼型的三个亚声速状态训练的模型可以实现与SA模型相当的精度和更高的计算效率, 并对计算状态和几何外形具备很强的泛化能力。
Ling等(2016)基于张量分析角度讨论了雷诺应力的完备表示 方法, 并以此为依据构建输入特征, 其建模结果较为精确地刻画了方管流动二次流中的旋涡结构。 Wang J X等(2017)、Yin等(2020)都对张量形式的输入特征做了不同形式的改进。
模型框架
Ling等(2016)基于Pope 推导的基张量和不变量构建了张量基神经网络模型 (TBNN) , 该模型可以表征雷诺应力的各向异性，展示了TBNN和传统全连接神经网络 (FCNN) 的区别。
Zhu L Y等(2021)将标度分析的先验知识融入到模型设计中, 该模型计算的涡黏性、速度剖面、阻力系数等均具有较高精度, 并且对雷诺数具有较强的泛化能力.
Fang等(2020)针对湍流流道的特殊情况, 提出了对标准神经网络的三种修正, 以考虑各向异性张量的无滑移边界条件、雷诺数相关性和空间非局部性, 结果表明, 与标准神经网络相比, 改进后的模型具有更高的预测精度.
Han等(2022) 构建了从区域到点映射的向量云神经网络, 验证了该网络具有本构模型所要求的所有不变性, 并且对k、e及雷诺应力进行了建模, 通过周期山的算例证明了其网络的精度.
3+4： 将数据驱动和机器学习研究手段结合第三范式主导的数值模拟方法, 能有效增强传统数值模拟手段的精度、鲁棒性和计算效率。
对于流场间断捕捉问题, 如激波和界面分辨的情况, 数据驱动方法给出了可行的解决方案:
Ray和Hesthaven(2019)、Beck等(2020)利用神经网络实现激波探测, 从而改进间断捕捉。
Discacciatid等(2020)提出一种基于神经网络的人工黏性调整方法, 从而抑制激波间断附近的非物理振荡。
Buhendwa等(2022)提出数据驱动的界面重构技术, 用于多相流中相界面的捕捉。
对于实验数据的流场显示，Lagemann等(2021)采用深度神经网络学习PIV测量数据, 提高了传统流场显示的分辨率, 同时降低了数据处理中人工干预的难度;
针对数值迭代的收敛问题：
Liu等(2019)提出了模态多重网格法, 从流动模态角度对数值解进行光顺, 从而大幅改进传统数值方法的收敛精度； Tan等(2021)近期将该方法推广到湍流问题的计算中。
1+2+4： 给经典理论研究带来了新的思路, 即理论模型的发展与完善不 仅仅依赖于科学家的冥思苦想, 也可以借助大量实验数据驱动模型与理论的完善。
Singh等(2017b)结合试验数据的同化结果开展了机器学习研究, 实现了对S-A湍流模型源项的修正, 在分离流中获得与试验一致的结果。
Liu等(2022)在大尺度分离流中应用POD同化方法实现翼型大尺度分离流的湍流机器学习, 弥补了传统S-A湍流模型在大分离计算条件下与试验结果的不同, 同样获得了很好的效果。
Wang X等(2021,2022)近期提出一种结合数据融合方法实现神经网络架构设计的新方法, 这一集成神经网络模型可以有效提升经验公式、模型的精度与泛化能力, 是一种可以有效继承传统理论模型轻量化优势, 并大幅提升模型预测能力的机器学习方法。
1+3+4： 为了解决计算与试验结果的差异,不同于使用数据同化方法实现计算精度的提升, 这类范式融合方法往往借助机器学习, 实现不同数据源间的关联.
Renganathan等(2020)提出了一种数据融合方法, 来实现翼型压力分布的多源气动数据关联, 借助这一方法, 可以有效降低计算误差, 为飞行器数字孪生提供了很好的基础.
Li K等(2022)提出可以结合深度神经网络和变精度模型, 实现试验数据的高精度逼近, 在跨声速表面压力建模中取得了成效.
在翼型动态失速问题中, Wang X等 (2021)近期提出一种结合数据融合方法实现神经网络架构设计的新方法. 该模型融合了风洞试验、数值模拟和机器学习, 是一种典型的多范式融合模型. 通过小样本下的风洞试验测量的气动力数据, 将CFD求解器嵌入到神经网络模型映射过程中, 实现大迎角动态失速过程中不同振幅和频率下的高精度非定常气动力预测. 典型结果表明, 该模型相比传统的URANS方法, 能够将 与风洞试验相比的动态失速预测误差降低2~5倍.
1+2+3+4： 物理信息神经网络 (PINN) 将偏微分方程和定解条件作为损失函数, 通过优化神经网络权重去逼近方程的解, 这提供了一种新颖的、无网格的PDE求解方法, 同时, 这种方法有利于 避免“维度灾难”(Raissi et al. 2019a). 目前的PINN正问题求解精度有限且效率较低, 甚至某些时候会求解失败, 它仍无法取代传 统方法(Wang S et al. 2021, 2022, Markidis 2021).但是，它非常便于处理关于PDE 的各种反问题.
PINN已经被用来从Tom-BOS成像的实验数据中推断出完整 的三维速度和压力场或者结合PIV/PTV测量数据重构高分辨率的速度场, PINN也被用于从实验数据中辨识PDE中的未知参数以及利用DNS数据优化湍流模型中的参数(Cai S et al. 2021a, Wang H et al. 2022, Raissi et al. 2019b, Luo S et al. 2020).
范式融合的方法与途径
数据同化方法: 数据同化指的是通过一系列算法, 实现数值计算或理论预测的数据与试验数据的一致性 (Kutz 2013).
利用有限且稀疏的试验数据，数据同化通过修正CFD模拟或建立替代CFD的模型, 使计算或模型预测数据逼近试验测量数据 (如升力, 阻力, 压力测量数据) 、提升精准度，或使得试验条件下难以测量的数据 (如流场速度, 压力分布) 在计算环境中得到高可信度重构。
目前数据同化的典型方法包括： 卡尔曼滤波、伴随方法等无模型的算法以及POD、神经网络等基于数据驱动模型的方法(Kato et al. 2015, Deng Z et al. 2018, Mons et al. 2017, Venturi & Karniadakis 2004).
应用： 定常流场重构及涡黏场重构, 湍流模型参数估计, 以及非定常流场重构等问题.
贝叶斯估计：是一类基于概率统计的机器学习方法, 根据新的数据样本更新初始数据/模型的概率分布估计(Tipping 2004).
在数据融合问题中, 贝叶斯估计方法通过考虑不同来源数据/模型各自的不确定度分布, 开展贝叶斯后验融合不同数据/模型的不确定信息, 最终获取真实数据的高可信度的后验估计.
现有的基于贝叶斯估计的数据融合方法包括: 对数据开展直接后验估计, 以及对模型参数的后验估计.
对于数据的直接后验估计: 主要是考虑不同数据存在的不确定度, 例如试验数据噪声及CFD数据由于湍流近似导致的不确定度, 通过卡尔曼滤波等方法获取对真实试验数据的后验估计。
典型的研究工作包括： 数据同化问题中对流场及湍流涡黏场的高可信度重构, 以及翼型、机翼CFD与风洞试验压力测量值的不确定融合(Kato et al. 2015, Renganathan et al. 2020);
对于模型参数的后验估计： 主要是通过贝叶斯框架之下的不确定建模手段, 如分层 Kriging模型, 贝叶斯神经网络等, 在低精度数据或者低精度模型的不确定先验基础上, 利用高精度的数据样本, 在贝叶斯框架下优化模型参数, 建立数据融合模型,.
典型的研究工作包括： 翼型气动力预测, 扩散方程解的建模以及RANS与LES的数据融合问题(Zhou Q et al. 2020, Meng X 2021, Geneva & Zabaras 2019).
PINN架构：物理信息神经网络 (PINN) 是一种有效融合多种研究范式的新型神经网络建模方法.
优势： 通过将物理系统的控制偏微分方程以及相应的初始和边界条件作为惩罚项加入到损失函数, PINN 可以灵活地处理涉及偏微分方程的一系列正问题和反问题, 例如偏微分方程求解、参数反演、控制优化等。
应用： 在流体力学中, PINN已经被用于估计方程中的未知参数, 使用稀疏的速度测量点恢复高分辨率的速度场分布, 从流场中标志物的浓度场恢复感兴趣的隐藏量 (速度、压力) (Wang H et al. 2022, Raissi et al. 2020).
集成神经网络构架：集成神经网络模型是Wang等近期提出的一种结合数据融合方法实现神经网络架构设计的新方法(Wang X et al. 2021, 2022).
应用： 通过小样本下的风洞试验测量的气动力数据, 将CFD求解器嵌入到神经网络模型映射过程中, 实现大迎角动态失速过程中不同振幅和频率下的高精度非定常气动力预测。结果表明, 该模型相比传统的URANS方法, 能够将与风洞试验相比的动态失速预测误差降低2~5倍. 通过模型参数的后验分析, 该框架能将附体和分离流动特征进行分离, 实现流体动力学过程的自适应捕捉.
混合损失函数：混合损失函数是机器学习领域中一种常见的建模策略, 通过在模型训练过程中对损失函数进行一定的约束和加权, 从而提升模型的泛化能力及防止模型过拟合(Kendall et al. 2018).
优势： 混合损失函数的目的在于改变优化问题的目标, 使得优化过程中模型趋于泛化性强、鲁棒性好.
当前在流体力学中的应用主要集中于变精度的建模问题, 即针对不同研究范式的损失项, 在损失函数中赋予不同的权重系数, 实现多范式的融合. 典型研究工作包括： 典型的偏微分方程求解下, 利用双精度约束的损失函数进行神经网络训练, 建立代理模型; 气动力建模中, 将加权的低精度数据作为一种约束, 构建变精度的气动分布载荷模型(Kendall et al. 2018, De S & Doostan 2022).
残差神经网络：残差神经网络是一种使用了残差连接技术的神经网络模型, 相比于传统模型, 残差神经网络很好地解决了深度神经网络的退化问题, 且具有更好的收敛性.
优点： 在对于不同层次输入特征的处理、网络中间层约束、提高表征能力等方面均有重大的应用前景与发挥空间. 另外一方面, 残差连接允许使用层数更深的神经网络, 模型具有更强的非线性表示能力, 这无疑大大提高了模型对于复杂状况下流动数据的表征与学习能力.
目前, 流体力学中这方面的典型工作有： 基于部分数据的流场建模与反演, 流体动力学系统代理模型的构建以及对于高维随机偏微分方程的快速求解等
高斯回归：高斯过程回归是一类基于贝叶斯理论的自回归模型, 利用高斯先验知识对数据进行回归分析, 对处理高维度、小样本、非线性等复杂问题具有较强适应性(何志昆等 2013).
方法 常用的高斯回归主要包括: Kriging模型、多变量自适应回归样条 (Multivariate Adaptive Regression Splines, MARS) 等(韩忠华 2016). 考虑到多数复杂物理问题单一来源高精度数据匮乏, 且获取成本高, 因而又派生出许多以高斯回归为基础的变可信度模型：co-kriging模型、分层kriging模型等
相关研究工作包括: 在气动优化设计当中, 高效构建高精度气动数据库, 从而显著提高典型气动外形优化效率(Mohammadi-Amin et al. 2018, Zhang Y et al. 2018); 解决流体力学中的不确定性量化问题以及结合 DNS 和 RANS的混合方法来量化湍流建模中的不确定性(Perdikaris et al. 2015, Voet et al. 2021).
随机森林：随机森林是一种以决策树为基础学习器构建的集成机器学习模型, 通过将性能表现较差的决策树模型通过一定的策略结合起来, 随机森林往往可以获得更高的精度与泛化性.
在模型的构建过程中, 随机森林可以对每一类输入特征进行评估, 并输出其对于最终结果的贡献, 即可以输出每个特征的重要性.
应用： 在范式融合任务中, 随机森林既可以用于整体数据的建模, 也可以作为一 种前置算法, 对输入特征进行评估, 用以指导特征的构建与选择。 目前在流体力学的应用中这两种方法均有涉及, 比如对于湍流模型的构建、大涡模拟中亚格子应力模型的构建, 通过随机森林方法评估流场特征以及进行特征选择(Wu J L et al. 2018, Wang Z 2018b, Sun X 2022).
符号回归：符号回归是一种寻找观测数据内在函数关系的方法, 通过进化的方法挖掘特征变量和目标变量之间的隐藏关联数学公式.
优势： 符号回归作为多范式融合研究的又一大利器, 将理论推导中获得的关键特征与机器学习数据驱动的方法相结合, 从而获得泛化性强且具有一定可解释性的显式函数模型, 挖掘数据背后的隐藏机理, 加深人们对于物理规律的认识, 启发新的理论模型的发展, 为第二、四范式的融合提供一套新思路。
应用： 目前符号回归的实现主要分为: 遗传编程以及神经网络两大手段. 相关研究工作包括： 构建有监督自适应空间变换 (Adaptive Space Transformation, AST) , 并成功应用于高超声速风洞试验数据外推; 利用神经网络拟合集成符号回归、量纲分析等多模块形成的递归多维符号回归算法成功挖掘费曼物理学讲座中方程(Udrescu & Tegmark 2020); 将符号回归方法用于湍流建模领域, 改善了传统涡黏模式的非线性表示能力(Zhao Y 2020).
神经网络算子理论: 基于神经网络构造的神经算子可以学习无限维函数空间之间的这种非线性映射, 从而为复杂动力学系统的实时预测以及科学和工程领域的系统识别提供新的研究方法.
优势： 不同于纯数据驱动建模, 神经算子建模方法融合了理论、数据和机器学习, 具备一定数学意义上的可解释性, 对于多范式融合的探索具有重要意义。
应用： 基于傅里叶变换的傅里叶神经算子 (Fourier Neural Operator, FNO) 和基于通用算子近似定理的DeepONet是当前主流的两种算子网络, 其已在气泡动力学、两相流, 以及多物理场等研究中得到广泛关注(Li Z et al. 2020, Lu L et al. 2021, Lin C et al. 2021, Zhang K et al. 2022, Cai S et al. 2021b). 此外, 结合模型降阶、多小波变换和格林函数变换等方法发展的多种算子网络架构, 也在流体力学领域展现出广阔的应用前景(Bhattacharya et al. 2021, Gupta et al. 2021).
迁移学习：迁移学习是一类典型的机器学习方法, 通过将特定领域学习到的知识推广到新的目标领域, 从而改进在目标领域的学习性能。
优势： 利用多种研究范式之间的相似性, 迁移学习能够实现不同范式之间知识、模型和数据的共享, 从而降低模型训练成本, 提高模型的可靠性.
方法： 当前迁移学习的主要方法包括数据重加权、特征表示、参数共享、关系映射四种手段, 而目前在流体力学中的应用主要集中在第三种方法, 即通过调节神经网络模型权重, 实现源域和目标域之间的参数共享。
应用： 典型研究工作包括流体动力学建模问题中, 建立不同雷诺数下的神经网络壁湍流预测模型, 或不同几何外形下的微流体模型 (Guastoni et al. 2020, Zhao L et al. 2021); 气动优化设计中, 将低精度神经网络模型迁移到基于CFD的气动优化代理模型(Yan X et al. 2019); 流场气动力建模中, 将域自适应迁移学习方法用于建立数据融合的变可信度非定常流场降阶模型(Kou J et al. 2022).