导数

这是一个关于导数的思维导图，总结了分段函数求导、 隐函数求导、 参数方程求导、 幂指函数、 变限积分求导等。

导数

• 可导与不可导
  • 可导的条件
    • 连续
      • 左极限=右极限=函数值
    • 左导=右导
  • 不可导的条件
    • 左导≠右导
    • 导数的极限为∞
• 分段函数求导
  • 求导原则
    • 分段点两侧求导
    • 中间分段点处，用定义求导
• 隐函数求导
  • 求偏导
    • 公式：dy/dx=-Fx/Fy
• 参数方程求导
  • 求导原则
    • dy/dx=y对t求导/x对t求导（一阶导）
    • 二阶导=一阶导对t求导/x对t求导
• 幂指函数
  • 对数求导法
    • 两边同时取对数
    • 两边同时求导（把y看作x的函数）
  • 公式变形法
    • 变成复合函数求导U∧v=e∧vlnU
• 变限积分求导
  • 公式：导数=f（上限）×上限导数－f（下限）×下限的导
  • 方法
    • 极限：洛必达
    • 等式：结合微分方程
• 高阶导数
  • 直接求导法
  • n阶导
    • 求两三次导找到规律
• 函数的微分
  • 计算公式：dy=y的导数×dy
• 导数的几何应用
  • 切线方程：F（x）－F（x0）=k（x－x0）
  • 法线方程：F（x）－F（x0）=-1/k（x－x0）
• 导数与函数的单调性
  • 可导
    • F（x）的导＞0 函数单调递增
    • F（x）的导＜0 函数单调递减
    • F（x）的导=0 称x为驻点
    • 注：无定义点也要在区间内讨论
• 函数的极值
  • 极值的判断
    • 利用单调性
      • 先增后减为极大
      • 先减后增为极小
    • 利用二阶导
      • F（x）的二阶导＜0 极小值
      • F（x）的二阶导＜0 极大值
  • 驻点的判断
    • 驻点：F（x）的导=0
    • 不可导点：F（x）的导不存在
• 函数的最值
  • 判断方法
    • 找端点
    • 比较极值
• 函数的凹凸性
  • 利用二阶导判断
    • F（x）的二阶导＞0 凹
    • F（x）的二阶导＜0 凸