三角形的证明

三角形证明的思维导图，包含直角三角形、 角平分线、 必备技能、等腰三角形、 线段的垂直平分线等知识点。

三角形的证明

• 直角三角形
  • 定义
    • 有一个角等于90°的三角形，即为
  • 性质
    • 两个锐角互余
    • 勾股定理，两直角边的平方和等斜边的平方
    • 一角为30°，所对边等于斜边的一半
  • 判定
    • 两个角互余，即为
    • 若两边的平方和等于第三边的平方，即为
    • 扩展：
      • a²+b²>c²
      • a²+b²=c²
      • a²+b²<c²
• 角平分线
  • 性质
    • 角平分线上的点到两边距离相等
  • 判定
    • 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在角平分线上
  • 三角形三角内角平分线的性质：交点到三边距离相等
  • 内心：三条角平分线的交点，一定在三角形内部
  • 三种思维
    • 做垂直
      • 点到两边
      • 一边到一边
    • 做平行，找等腰
    • 截长补短推全等，再找逻辑关系
• 必备技能
  • 分类讨论思想
    • 不给图形
  • 画图能力
    • 快速手工绘图
  • 求高的计算
    • 勾股定理
    • 面积换算法
  • 模型观念：用建模来解决实际问题
  • 转换观念：条件推结论，结论倒推得条件，条件再互换；
• 线段的垂直平分线
  • 定义
    • 经过线段的中点，且垂直于这条线段的直线
  • 性质定理
    • 线段垂直平分线上的点到这个线段的两个端点距离相等
  • 判定
    • 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这个线段的垂直平分线上
  • 必备技能
    • 做线段的垂直平分线
    • 过一点做垂直平分线
      • 点在线上
      • 点在线外
  • 三角型三边垂直平分线的性质定理
    • 三垂直平分线交于一点，交点到三顶点距离相等
    • 外心
      • 定义
        • 三垂直平分线的交点
      • 外心的图形
        • 锐角三角形
        • 直角三角形
        • 钝角三角形
  • 核心思维
    • 连接两点，找出相等边
• 等腰三角形
  • 定义
    • 有两边相等的三角形
  • 性质
    • 等边对等角
    • 三线合一
  • 判定
    • 有两条边相等的三角形
    • 等角对等边
  • 等边三角形
    • 定义
      • 三边都相等的三角形
    • 性质
      • 三个角相等，且为60°
      • 对称图形，有三个对称轴
      • 内、外、重、垂心合一
    • 判定
      • 三边都相等即为
      • 三角都相等即为
      • 有一个内角为60°的等腰三角形
  • 构造等腰三角形
    • 延长边构造
    • 截长补短构造
• 证三角形全等方法
  • SSS/ASA/SAS/AAS/HL
• 标注出隐含条件是成功的保证