第六章实数

这是一篇关于第六章实数的思维导图，从平方根、立方根、实数三个方面作了介绍，是初中数学的知识点，便于小伙伴们掌握喔。

第六章 实数

• 6.1平方根
  • 算术平方根的概念及性质
    • 定义:一般的，如果一个正数x的平方根等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a被叫做被开方数
    • 性质
      • 1、一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0；算术平方根√a的双重非负性：被开方数一定是非负数，即a≥0；非负数a的算术平方根为非负数，即√a≥0
  • 估算：对算术平方根进行估算，经常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根进行比较
  • 用计算器求平方根
    • 近似数：3.14，3.142，···都是π的近似值，称它们为近似数。在解决实际问题时，出现某个数的算术平方根开不尽时，往往用一个有限小数来近似地表示这个无理数
    • 用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值【如√625】（1）依次按键，√ 、6、2、5、=
  • 平方根的概念及性质
    • 定义：一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。也就是说，如果x²=a，那么x叫做a的平方根
    • 性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根表示为√a，负的平方根表示为-√a，合起来表示为±√a。0的平方根是0，负数没有平方根
    • 开平方的定义：
      • 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方
      • 平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确
• 6.2立方根
  • 概念及表示:一般的，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，记为³√a，读作三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数，不可省略
  • 性质：
    • 每一个数a都有个立方根，其中a可正，可负，可为０
    • 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，０的立方根是０
  • 平方根与立方根的区别和联系
  • 开立方
    • 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，其中ａ叫做被开方数
    • 开立方与立方互为逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成
  • 用计算器求立方根：先按³√，再输入被开方数，最后按＝
• 6.3实数
  • 无理数
    • 定义：整数和分数称为有理数，无限不循环小数称为无理数
    • 小数的分类
      • 小数
        • 有理数
          • 有限小数
          • 无限循环小数
        • 无理数
          • 无限不循环小数
    • 常见的无理数形式
      • 开不尽方的数
      • 化简后含有π的数
      • 有规律但不循环的无限小数
  • 概念及分类
    • 有理数和无理数统称实数
    • 分类
      • 按定义分
      • 按性质符号分
  • 与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点是一一对应的
  • 实数的相关概念
    • 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义和有理数范围内的相反数，绝对值，倒数的意义相同
    • 相反数：ａ的相反数是－ａ
    • 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对值是０
    • 倒数：ａ的倒数是ａ分之一（ａ≠０）
  • 运算：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘法运算，而且正数及０可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用
  • 大小的比较
    • 与规定有理数的大小一样，数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大
    • 利用数轴比较实数大小：
      • １、正数大于零，负数小于零，正数大于负数
      • ２、两个正数，绝对值大的数较大
      • ３、两个负数，绝对值大的数反而小
    • 无理数大小的比较
      • １、作差法：若√a－√ｂ＞０，则√a＞√ｂ；若√a－√ｂ＜０，则√a＜√ｂ
      • ２、乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后数的大小，同时考虑符号确定大小
      • ３、移动因式法：运用逆向思维把根号外的正因式移到根号内去比较大小