数量关系

这是一篇关于数量关系的思维导图，帮助考生梳理了考试的知识点，形成了清晰的知识体系。同时，通过对每个知识点的详细解释和关联，思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此，考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。

数学运算

• 工程问题
  • 给完工时间型
    • 先赋总量（公倍数）
    • 再算效率=总量÷时间
    • 根据工作过程列方程
  • 给效率比例型
    • 先赋效率（满足比例即可）
    • 再算总量=效率×时间
    • 根据工作过程列方程
  • 给具体单位型
    • 设未知数，找等量关系列方程
  • 其他工程
    • 同时开始同时结束，整体分析
• 行程问题
  • 基础行程
    • 路程=速度×时间（s=v×t）
    • 火车过桥
      • 路程=车长+桥长
    • 等距离平均速度
      • 平均速度=总路程÷总时间
      • 
  • 相对行程
    • 相遇、追及
      • 相遇（反向）：
      • 追及（同向）：
    • 多次运动
      • 线形两端出发第n次相遇 
      • 环形第n次相遇 
      • 环形第n次追及 
    • 顺水、逆水
      • 顺水：
      • 逆水：
  • 比例行程
    • s一定，v、t成反比
    • v一定，s、t成正比
    • t一定，s、v成正比
• 经济利润问题
  • 基础经济
    • 公式
      • 利润=售价－进价
      • 利润率-利润÷进价
      • 折扣=折后价÷折前价
      • 总价=单价×个数
    • 方法
      • 方程法、赋值法
  • 分段计费
    • 水电费、出租车费、税费等
    • 分段计算、汇总求和
  • 函数最值
    • 识别
      • 单价和数量此消彼长
      • 求最大利润或售价
    • 方法
      • 两点式
• 最值问题
  • 最值思维
    • 特征：至多/少……
    • 方法：和定，此消彼长；考虑最极端情况
  • 构造数列
    • 特征：最……最……、排名第几……最……
    • 方法
      • 构成一个名次
      • 求谁设谁
      • 反向推其他
      • 加和求解
  • 最不利构造
    • 特征：至少……保证
    • 方法：最坏的情况+1
• 容斥原理
  • 公式
    • 两集合
      • A+B-AB=总数-都不
    • 三集合
      • 标准：A+B+C-AB-AC-BC_ABC=总数-都不
      • 非标：A+B+B-满足两项-满足三项×2=总数-都不
      • 常识：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不
  • 画图
    • ①画圈圈，标数据
    • ②从里到外，注意去重
• 排列组合
  • 概念
    • 分类用加法（要么……要么……） 分步用乘法（既……又……）
    • 有序用排列（不可互换） 无序用组合（可以互换）
  • 题型
    • 必须相邻 捆绑法 先捆再排
    • 不能相邻 插空法 先排再插
  • 正难反易：总情况数-反而情况数
• 概率
  • 给情况求概率：满足要求的情况数÷所有的情况数

三大方法

• 代入排除法
  • 范围
    • 典型题
      • 多位数、年龄、不定方程、余数
    • 看选项
      • 选项为一组数、可转化为一组数
    • 剩两项
      • 只剩两项时，代一项即得答案
  • 方法
    • 优先排除
      • 尾数、奇偶、倍数
    • 直接代入
      • 最值、好算
• 倍数特性法
  • 整除型
    • 若A=B×C，则A能被B或C整除
      • 前提：B、C均为整数
    • 判定
      • 口诀
        • 3/9/5/4是重点
      • 因式分解
        • 45=5×9≠3×15
        • 分解后必须互质
      • 拆分
        • 拆成多个数的和或差
  • 余数型
    • 若答案=ax+b，则答案-b能被a整除
    • 若答案=ax-b，则答案+b能被a整除
    • 前提：a、x均为整数
  • 比例型
    • 若，则
      • A是m的倍数，B是n的倍数
      • A±B是m±n的倍数
    • 前提：A、B均为整数，是最简整数比
• 方程法
  • 普通方程
    • 设x
      • 设小不设大（避免分数）
      • 设中间量（方便列式）
      • 求谁设谁（避免陷阱）
      • 出现比例：设分数
  • 不定方程
    • 代入排除
      • 奇偶特性
        • 系数一奇一偶
      • 倍数特性
        • 系数与常数有公因子
      • 尾数特性
        • 系数尾数为5或0
      • 直接代入选项
  • 不定方程组
    • 未知数一定是整数
      • 消元
    • 未知数不一定是整数
      • 特值法（一般赋0）

数量关系

• 三大方法
  • 代入排除法（39分钟）
    • 数量1（00:07:02-00:46:17）39分钟
  • 倍数特性法（1小时32分钟）
    • 数量1（00:46:17-02:18:33）1小时32分钟
    • 整除型
    • 余数型
    • 比例型
  • 方程法（49分钟）
    • 数量1（02:18:33-03:07:45）49分钟
    • 普通方程
    • 不定方程
    • 不定方程组
• 其他
  • 周期
  • 线段法
  • 数字推理
• 六大题型
  • 工程问题（1小时10分钟）
    • 数量2（00:14:44-01:24:25）1小时10分钟
    • 给完工时间型
    • 给效率比例型
    • 给具体单位型
    • 其他工程
  • 行程问题（47分钟）
    • 数量2（01:24:25-03:11:35）47分钟
    • 基础行程
    • 相对行程
    • 比例行程
  • 经济利润问题（1小时37分钟）
    • 数量3（00:15:07-01:42:38）1小时37分钟
    • 基础经济
    • 分段计费
    • 函数最值
  • 最值问题（1小时21分钟）
    • 数量3（01:52:53-03:13:22）1小时21分钟
    • 最值思维
    • 构造数列
    • 最不利构造
  • 容斥原理（1小时4分钟）
    • 数量4（00:14:59-01:19:23）1小时4分钟
    • 公式
    • 画图
  • 排列组合与概率（2小时10分钟）
    • 数量4（01:19:23-03:29:33）2小时10分钟
    • 排列组合（1小时31分钟）
      • 数量4（01:19：23-02:50:19）1小时31分钟
    • 概率（40分钟）
      • 数量4（02:50:19-03:29:33）40分钟

数量关系

• 三大方法
  • 代入排除法
    • 数量1——4:36
  • 倍数特性法
    • 整除型
      • 数量1——42:10
    • 余数型
      • 数量1——1:10:26
    • 比例型
      • 数量1——1:41:07
  • 方程法
    • 普通方程
      • 数量1——2:16:33
    • 不定方程
      • 数量1——2:36:16
    • 不定方程组
      • 数量1——2:56:38
• 工程问题
  • 给完工时间型
    • 数量2——11:23
  • 给效率比例型
    • 数量2——37:04
  • 给具体单位型
    • 数量2——1:1:35
• 行程问题
  • 基础行程
    • 数量2——1:10:49
  • 相对行程
    • 直线相遇（同时相向而行）
      • 数量2——1:36:43
      • 
      • S和：就是两人走的路程之和
    • 环形相遇（同点反向出发）
      • 数量2——1:38:42
      • 
      • 相遇1次，S和=1圈 相遇2次，S和=N圈
    • 直线追及（同时同向而行）
      • 数量2——1:49:06
      • 
      • S差：追及刚开始时两人相差的距离
    • 环形追及（同点同向出发）
      • 数量2——1:53:18
      • 
      • 追上1次，S差=1圈 追上N次，S差=N圈
    • 多次迎面相遇（两端出发）
      • 数量2——2:18:34
      • 第一次相遇，共走1个S 第二次相遇，共走3个S 第三次相遇，共走5个S
        • 第n次相遇，共走（2n-1）个S
      • （2n-1）S和=V和✖️T
    • 流水行船
      • 数量2——2:31:46
      • 顺水：
      • 逆水：
  • 比例行程
    • 数量2——2:39:44
    • S一定，V、T成反比
    • V一定，S、T成正比
    • T一定，S、V成正比

各类公式

• 平方差、完全平方、立方和/差
  • 
• 数列公式
  • 等差数列求和公式
    • 
  • 等差数列通项公式
    • 
  • 等比数列求和公式
    • 
  • 等比数列通项公式
    • 
• n边形的内角和与外角和
  • 
• 周长公式
  • 
  • 
  • 
• 勾股定理
  • 
• 面积公式
  • 
  • 
  • 
  • 
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  • 
• 表面积公式
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• 体积公式
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