函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，包括函数的定义和基本性质、数列极限、函数极限、极限的运算法则、极限存在的条件等内容。

函数与极限

• 函数
  • 定义
    • 函数
      • 定义域
      • 值域
      • 对应关系
    • 反函数
      • 严格单调才有反函数
    • 基本初等函数
      • 幂、指、对、三角、反三角
    • 初等函数
  • 初等性质
    • 奇偶性
      • 定义域关于原点对称
    • 单调性
    • 周期性
    • 有界性
      • 有界/有上、下界
• 数列极限
  • 定义
  • 性质
    • 唯一性
      • 数列有极限必唯一
    • 有界性
      • 数列有极限必有界
    • 保号性
      • 若某一点极限不为零，那么在这个点的空心邻域， 数列具有保持符号（与极限符号相同）的性质
    • 保不等式性
      • 数列大的极限也大
• 函数极限
  • 定义
  • 分类
    • x®¥
    • x®0
  • 性质
    • 唯一性
      • 函数有极限必唯一
    • 局部有界性
      • 函数有极限必有界
    • 局部保号性
      • 若某一点极限不为零，那么在这个点的空心邻域， 函数值具有保持符号（与极限符号相同）的性质
    • 保不等式性
      • 函数大的极限也大
• 极限的运算法则
  • 四则运算法则
    • 函数加减的极限=函数极限的加减
    • 求极限时，常数可以提取
    • 乘积的极限=极限的乘积
    • 商的极限=极限的商（分母极限不为零）
  • 复合法则
• 极限存在的条件
  • 充要条件
    • 函数极限存在Û左右极限存在且相等
  • 迫敛性
    • 如果能找到比目标数列或函数大而有极限的数列或函数，又能找到比目标数列或函数小且有极限的数列或函数，那么目标数列或函数必定存在极限
  • 单调有界必有极限
    • 单调递增®有上界，极限存在
    • 单调递减®有下界，极限存在
  • 两个重要极限
• 无穷小量与无穷大量
  • 无穷小
    • 定义
    • 性质
      • 有限个无穷小相加减，还是无穷小
      • 常数*无穷小，还是无穷小
      • 有界函数*无穷小，还是无穷小
      • 无穷小*无穷小，还是无穷小
      • 函数以常数为极限，可以写成该常数+无穷小 函数可以写成常数+无穷小，该常数为其极限
  • 无穷大
    • 定义
    • 是极限不存在的一种情况
  • 无穷小与无穷大的关系
    • 无穷小与无穷大互为倒数
• 无穷小量阶的比较
  • 高阶无穷小
  • 低阶无穷小
  • 同阶无穷小
  • 等价无穷小
    • 常见的等价无穷小
      • sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x eˣ-1~x 1-cosx~½x² ln(1+x)~x