二次函数

九上一单元二次函数思维导图，全面而系统地介绍了二次函数的各个方面，从定义到性质，再到图像特征和应用，为读者提供了一个清晰、完整的知识框架。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

二次函数

• 定义
  • 一般形式
    • y = ax^2 + bx + c
      • a ≠ 0
      • a, b, c 为常数
  • 标准形式
    • y = a(x h)^2 + k
      • (h, k) 为顶点坐标
• 图像特征
  • 对称性
    • 关于直线 x = h 对称
  • 顶点
    • 二次函数图像的最高点或最低点
  • 开口方向
    • a > 0 时开口向上
    • a < 0 时开口向下
  • 轴
    • x = h 为对称轴
• 性质
  • 增减性
    • 当 a > 0 时，函数在 (∞, h) 上递减，在 (h, +∞) 上递增
    • 当 a < 0 时，函数在 (∞, h) 上递增，在 (h, +∞) 上递减
  • 最值
    • 顶点 (h, k) 为函数的极值点
      • 若 a > 0，k 为最小值
      • 若 a < 0，k 为最大值
• 顶点坐标求法
  • 顶点公式
    • h = b/(2a)
    • k = c b^2/(4a)
• 与坐标轴的交点
  • y 轴交点
    • x = 0 时，y = c
  • x 轴交点
    • 通过因式分解或使用求根公式求解
      • ax^2 + bx + c = 0
      • Δ = b^2 4ac
      • Δ > 0 时有两个实根
      • Δ = 0 时有一个重根
      • Δ < 0 时无实根
• 应用
  • 实际问题建模
    • 抛物线运动
    • 最大利润问题
    • 最小成本问题
  • 几何问题
    • 求面积
    • 求最短距离
• 变换
  • 平移变换
    • 水平平移
      • y = a(x-h)^2
    • 垂直平移
      • y = ax^2 + k
  • 伸缩变换
    • 水平伸缩
      • y = a(x/h)^2
    • 垂直伸缩
      • y = (1/a)ax^2
  • 反射变换
    • y = ax^2 + bx + c
      • 关于 x 轴反射
    • y = ax^2 bx + c
      • 关于 y 轴反射