集合与常用逻辑用语

北京市人教A版高中数学必修一第一章——集合与常用逻辑用语知识导图，将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。感兴趣的小伙伴可以收藏一下~

集合与常用逻辑用语

• 集合
  • 集合的基本概念
    • 定义：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合
    • 元素与集合的关系：属于（∈）、不属于（∉）
    • 常见数集
      • 自然数集：N
      • 正整数集：N*或N+
      • 整数集：Z
      • 有理数集：Q
      • 实数集：R
    • 集合的表示方法以及图示
      • ①列举法：把所有元素一一列举出来。例如：{1，2，3}
      • ②描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为：{x∈A|P(x)}
      • Venn图，例如：
  • 集合间的基本关系
    • 子集
      • 定义：一般地，对于两个集合A，B，若集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
      • 表示：A⊆B
      • 特殊情况：若集合A中任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B中任何一个元素都是集合A的元素，那么说集合A和集合B相等，即A=B
    • 真子集
      • 定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A为集合B的真子集
        • 真子集可以看做子集的特殊情况，即A是B的子集，且A≠B
      • 表示：A⊊B
    • 空集
      • 一般地，我们把不含任何元素的集合成为空集（∅）
  • 相关结论
    • ①任何一个集合是它本身的子集
    • ②对于任意集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C
  • 集合间的运算
    • 并集
      • 定义：一般地，有所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（A并B）
      • 表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}
      • Venn图
    • 交集
      • 定义：所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B（A交B）
      • 表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}
      • Venn图
    • 补集
      • 全集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(U)
      • 补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集(∁uA）
      • 补集的表示：∁uA={x|x∈U，且x∉A}
      • Venn图
• 逻辑用语
  • 充分条件与必要条件
    • 定义：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出p(即：p⇒q)，这时，我们就说由p可以推出q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件
    • 一般地，数学中每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
    • 若p可以推出q，但q无法推出p，就称p为q的充分不必要条件；反之，若p无法推出q，但q可以推出p，就称p为q的必要不充分条件
    • 充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p(即：p⇔q)，此时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件（补充：二者互为充要条件）
  • 全称量词命题与存在量词命题
    • 全称量词与全称量词命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑上通常称为全称量词(用"∀"表示)；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，表示为∀x∈M，p(x)
    • 存在量词与存在量词命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(用"∃"表示)；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，表示为∃x∈M，p(x)
    • 命题的否定
      • 全称量词命题的否定：∃x∈M，¬p(x)
      • 存在量词命题的否定：∀x∈M，¬p(x)
      • 全称量词命题的否定就是存在量词命题存在量词命题的否定就是全称量词命题