有理数

七年级数学第一章，包含概念和分类、重要概念、绝对值的性质和数学意义、运算等详细内容，介绍详细，知识全面，希望可以对大家有所帮助！

有理数

• 概念和分类
  • 定义
    • 整数和分数统称为有理数
    • 凡能写成a/b（a,b为正数，且b≠0）形式的数，都是有理数
  • 两种分类
    • 按定义分
      • 整数
        • 正整数
        • 零
        • 自然数
        • 负整数
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
    • 按符号分
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 零
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数
  • 注意
    • ①0既不是正数，也不是负数
    • ②-a不一定是负数，+a也不一定是整数
    • ③π不是有理数
    • ④无限不循环小数不是有理数
• 重要概念
  • 数轴
    • 定义
      • ①规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴
      • ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示
    • 比较大小
      • 数轴上右边的数大于左边的数
    • 三要素
      • 原点
      • 正方向
      • 单位长度
  • 相反数
    • 定义
      • 只有符号不同的两个数
        • ①称其中的一个数是另一个数的相反数
        • ②也称这两个数互为相反数
      • 互为相反数的两个数到原点的距离相等
    • 代数意义
      • a,b互为相反数 → a+b=0
    • 几何意义
      • 到原点距离相等的两个点表示的数
    • 注意
      • 0的相反数还是0
  • 绝对值
    • 定义
      • 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值
    • 代数意义
      • |a|
        • a ，a＞0
        • 0 ，a=0
        • -a ，a＜0
    • 几何意义
      • 数轴上表示数a的点与原点的距离
    • 性质：绝对值的非负性
    • 特点
      • ①一个正数的绝对值是它本身
      • ②一个负数的绝对值是它的相反数
      • ③0的绝对值是0.
  • 有理数比大小
    • ①正数的绝对值越大，这个数越大
    • ②正数永远比0大，负数永远比0小
    • ③正数大于一切负数；
    • ④两个负数比大小，绝对值大的反而小
    • ⑤数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大
    • ⑥大数 - 小数>0；小数 - 大数<0
  • 倒数
    • 定义
      • 乘积是 1 的两个数互为倒数
    • 特点
      • ①正数的倒数是正数
      • ②负数的倒数是负数
      • ③1和-1的倒数是它本身
      • ④0没有倒数
• 绝对值的性质和数学意义
  • 性质
    • ①|a|≥0
    • ②|a/b|=|a/b|,(b≠0）
    • ③|ab|=|a|*|b|
    • ④|a²|=|a|²
    • ⑤|a+b|≤|a|+|b|
    • ⑥|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
  • 数学意义
    • 绝对值=距离，“距离”=|*|
      • ①|a|≥0
      • ②|x*a|=|x|*|a|
      • ③|a+b|≤|a|+|b|
• 运算
  • 法则
    • 加（减）
      • 加法法则：
        • ①同号两数相加，取相同的号，并把绝对值相加
        • ②异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
        • ③一个数与0相加，仍得这个数
      • 减法法则：
        • 减去一个数，等于加上这个数的相反数
          • a-b=a+(-b)
      • 同号相加
        • 符号：相同的符号
        • 数值：绝对值相加
      • 异号相加
        • 绝对值不同
          • 符号：取绝对值较大那数的符号
          • 数值：绝对值之差（大 - 小）
        • 相反数
    • 乘除
      • 乘法法则：
        • ①两数相乘，同号为正、异号为负，并把绝对值相乘
        • ②任何数同零相乘都得零
        • ③几个数相乘，有一个因式为零，积为零：各个因式都不为零.积的符号由负因式个数决定.
      • 除法法则：
        • 除以一个数，等于乘以这个数的倒数
        • 注意：零不能做除数，即a/b无意义
      • 两数相乘
        • 定符号
          • 同号得正
          • 异号得负
      • 多个数相乘
        • 定符号：奇负偶正
        • 定数值：绝对值相乘
      • 除法与乘法：a/b=a*1/b（b≠0）
    • 乘方
      • 定义
        • ①求几个相同因数的积的运算，叫做乘方
        • ②乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。乘方的结果叫做幂
      • 乘方法则
        • ①正数的任何次晕都是正数
        • ②负数的奇次幂是负数；负数的偶次暴是正数
        • 注意
          • ①当n为正奇数时，(-a)^n=-a^n或（a-b)^n=-(b-a)^n
          • ②当n为正偶数时，(-a)^n=a^n或（a-b)^n=-(b-a)^n
      • 写法：a*a*……*a（n个a相乘），记作a^n
        • n是指数
        • a是底数
        • a^n是幂
      • 性质
        • ①a^m*a^n=a^m+n
        • ②（a^m）a^mn
      • 科学记数法
        • 把一个大于10的数写成a*10^n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数
          • ①1≤a＜10
          • ②n为元素的整数位减去1
      • 近似数
        • 精确度：精确度表示近似数与准确数的接近程度
        • 精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
        • 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止.所有数字.都叫这个近似数的有效数字
        • 求法：四舍五入
  • 运算律
    • 加法交换律
      • a+b=b+a
    • 加法结合律
      • a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
    • 乘法交换律
      • axb=bxa
    • 乘法结合律
      • (axb)xc=ax(bxc)
    • 乘法分配律
      • (a+b)xc = (axc)+(bxc)
  • 混合运算
    • 顺序
      • ①先乘方，再乘除，后加减[从高级到低级]
      • ②从左至右进行
      • ③如果有括号，先做括号里的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行