初中数学：有理数的概念

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初中数学：有理数的概念

• 知识1 正数、负数
  • 1、定义
    • (1)正数:像 +1/2，+12，1.3，258 这样大于0的数(“+”通常省略不写)叫做正数.
    • (2)负数:像-3/，-0.1这样在正数前加上符号“一”(负)的数叫做负数,负数小于0.
    • 注意事项
      • (1)对于正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数是正数，带“一”号的数是负数，要看其质是正还是负.如+(-3)不是正数，-(-2)也不是负数.
      • (2)正数前面的“+”可以写,也可以省略，而负数前面的“一”不可以省略，
  • 2.数 0的认识
    • (1)0既不是正数，也不是负数.0是正数与负数的分界.
    • (2)0的意义不仅可以表示没有，还可以表示其他意义.如0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度
    • (3)0是最小的自然数，0既是整数，也是偶数.
  • 3.正负数的意义
    • (1)具有相反意义的量
      • 当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示;反之，亦然，
    • (2)具有相反意义的量的表述
      • 词语：描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词
      • 具体的数量：
      • 符号：通常将上升、增加、盈利、收入等记为正的，下降、减少、亏损、支出等记为负的
    • 需注意两点
      • ①必须是同类量.如节约3t汽油与浪费1t 水就不是具有相反意义的量
      • ②表示的意义要完全相反，而不仅仅是不同.如:向东和向南就不能用来描述具有相反意义的量
• 知识2 有理数及其分类
  • 1.有理数的定义
    • 正整数、0、负整数统称为整数;
    • 正分数、负分数统称为分数.
    • 整数和分数统称为有理数;
    • 正数和0统称为非负数;
    • 无限不循环小数不是有理数，
    • 负数和0统称为非正数
  • 2.有理数的分类
    • (1)按整数和分数的关系分类
      • 整数
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
      • 0
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
    • (2)按正数、0和负数的关系分类
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 0
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数
• 知识 3 数轴及其三要素
  • 1.定义
    • 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.
    • ①第一层含义:原点、正方向、单位长度是数轴的三要素.
    • ②第二层含义:数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。
    • ③第三层含义:原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定，都是根据实际需要“规定”的
  • 2.数轴的画法
    • (1)画一条水平的直线.
    • (2)在直线上适当选取一点为原点.
    • (3)通常规定直线上从原点向右为正方向，用箭头表示出来(箭头标在画出部分的最右边).
    • (4)根据需要，选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……从原点向左，用类似方法依次表示-1,-2,-3
• 知识4 相反数
  • 1.相反数的概念:
    • 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数
    • 一般地，a和-a互为相反数.a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
    • 特别地，0的相反数是0
  • 2.几何意义
    • 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等;反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数.
  • 3.表示方法
    • 在任意一个数的前面添上“-”号，新的数表示原数的相反数，如-3，+2的相反数分别为-(-3)=3，-(+2)=-2.两个数互为相反数.
  • 4.相反数的性质
    • 若a，b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0，则a，b互为相反数.
• 知识5 绝对值
  • 1.绝对值的定义
    • 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作lal.
    • 绝对值等于它本身的数是正数和0.
  • 2、绝对值的代数意义
    • 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
      • (1)如果a>0.那么|al=a; (a>0),
      • (2)如果a=0.那么lal=0; (a=0),
      • (3)如果a<0,那么 |a|=-a; (a<0).
    • (1)绝对值是n(a>0) 的数有两个，它们互为相反数,即士a、
    • (2)绝对值相等的两个数相等或互为相反数、即若|a|=|b|、则a=b或a+b=0.
  • 3.绝对值的几何意义
    • 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离、离原点的距离越远，绝对值越大;离原点的距离越近，绝对值越小、
• 技能方法
  • 方法1 多重符号的化简方法
    • 一个正数前面有偶数个“一”号,可以把“一”号一起去掉;一个正数前面有奇数个“一”号、则化简后只剩一个“一”号;0前面不论有多少个“+”号或“一”号、化简后仍是0.
  • 方法2 去绝对值符号的方法
    • 去绝对值符号是解决绝对值问题的关键，重点是确定绝对值符号内代数式的正负
  • 方法3 有理数大小的比较方法
    • 数轴比较法
      • 将两有理数分别表示在数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大,若两数表示同一点，则这两数相等
    • 差值比较法
      • 设a、b是任意两有理数 a-b>0 ， a>b; a-b<0 a<b; a-b=0 a=b。
    • 商值比较法
      • 设a、b是两正有理数，,a/b>1↔a>b; a/b=1↔a=b; a/b<1↔a<b
    • 绝对值比较法
      • 设a、b是两负有理数，lal>lb|↔a<b;lal=lbl↔a=b; lal<|b|↔a>b
  • 方法4绝对值的非负性的应用方法
    • (1)lal≥0，即la|有最小值;
    • (2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零，即lal+|b1+lcl+...+lz|=0,则a=b=c=...=z=0.
• 易错点
  • 易错1 正数、负数的概念不清
    • 造成错误的原因是对正数、负数的概念理解不清.
  • 易错2 对相反数的意义理解不清
    • (1)-(-3)=3，它的相反数是-3;(2)(3)求相反数时，应把式子看作一个整体，能化简的要先化简再求其他相反数
  • 易错3 对绝对值的意义理解不清
    • 知道负数的绝对值等于它的相反数，但忽略了特殊的0，0的相反数是它本身