线性代数

上网课期间，跟着老师写下来的，请随意看看，线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。 向量空间是 现代数学 的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于 抽象代数 和 泛函分析 中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数

• 行列式
  • 二阶与三阶行列式
    • 二阶行列式
      • 两行两列
      • 计算：对角线法则
    • 三阶行列式
      • 三行三列
      • 计算：对角线法则
      • 包括3！项，每一项都是位于不同行，列的三个元素的乘积
      • 每项的符号取决于：在该项的行标按自然数顺序排列前提下，列标排的奇-偶+性
  • n阶行列式
    • 一、排列与逆序
      • 排列
        • 概念：由自然数组成的无重复数字的有确定次序的n阶排列(简称：排列)
        • n级排列有n!种
      • 逆序
        • 概念：
        • 逆序数
          • 分别计算排列中每个元素前面比它大的数码个数
        • 排列的奇偶性
          • 逆序数为奇数
            • 奇排列-
          • 逆序数为偶数
            • 偶排列+
    • 二、n阶行列式
      • 定义：由n^2个元素aij(i,j=1,2,...,n)组成的记号
        • 说明
          • 1、行列式是一种特定的算法，其结果是一个数值
          • 2、n阶行列式是n!项的代数和
          • 3、n阶行列式的每一项都是位于不同行、列的n个元素的乘积
            • 若行列式的任意一行（列）的元素全为0，则行列式为0
          • 4、
          • 5、一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号混淆
        • 计算方法——定义法
          • 对角行列式、上三角行列式、下三角行列式，对角线相乘
    • 三、对换
  • 行列式的性质
    • 装置行列式
    • 性质及推论
      • 性质1：行列式与装置行列式相等
        • D=D^T
        • 行与列的性质相等
      • 性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号
        • 推论1
          • 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为0
            • D=-D，∴D=0
        • 约定记号
      • 性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式
        • 约定记号
        • 推论2
          • 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提取行列式符号的外面
        • 推论3
          • 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为0
      • 性质4：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和
      • 性质5：将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一 行（列）对应的元素上去，行列式不变
        • 约定记号
    • 利用三角形计算行列式
      • 化为上三角行列式、主要利用性质5和性质2
        • 变换法
  • 行列式按行（列）展开
    • 行列式按一行（列）展开
      • 余子式与代数余子式
        • 余子式
        • 代数余子式
      • 结论
        • 定理1：行列式=它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和
    • 用降阶法计算行列式
  • 克莱姆法则
• 矩阵
  • 矩阵的概念
    • 概念的引入
    • 矩阵的概念
      • 同型矩阵
        • 两个矩阵的行数相同，列数相同
      • 矩阵相等
        • 两个矩阵为同型矩阵，并对应元素相等
    • 矩阵概念的应用
      • 填空原则
        • 任何一行（列）的元素只能是一个排列；对比信息多的两行（列）；相同位置没有出现的元素在另一行（列）中出现
    • 几种特殊矩阵
      • 行矩阵
        • 只有一行
      • 列矩阵
        • 只有一列
      • 对角矩阵（对角阵）
      • 方阵
      • 上三角阵、下三角阵
    • 子主题
  • 矩阵的运算
  • 逆矩阵
  • 分块矩阵
  • 矩阵的初等切换
  • 矩阵的秩
    • 矩阵的秩
      • 任何矩阵Amxn ，总可以经历有限初等行变换 把它变成梯形，行阶梯形中的非0行数是唯一确定的。
      • K阶子式
        • 在mxn矩阵A中任取k行k列(1≤k≤m,1≤k≤n),位于这些行列交叉处k^2个元素，不改变它们的位置次序
        • mxn矩阵A的k阶子式共有
      • 矩阵的秩
        • 定义：设A为m×n矩阵，如果存在A的r阶子式不为0，而任何r+1阶子式(如果存在的话)皆为0,称为数r为矩阵A的秩，记为r(A) 或R(A)
          • 决定
            • 1、R(A) 是A中不为0的子式的最高阶数，是唯一的
            • 2、由行列式性质可知，R(A^ T) =R (A)
            • 3、0≤r(A) ≤min{m,n}
              • 当r(A) =min{m,n}时，称为满秩矩阵
              • 否则，为降秩矩阵
            • 4、对于n阶方阵A，|A|≠0↔R(A) =n
        • 行阶梯形矩阵的秩等于其非0行数(普遍成立)
        • 0矩阵的秩为0
    • 矩阵的秩的求法
      • 定理
        • 定理1：若A∽ B,则R(A) =R (B)
        • 定理1'：对于任一矩阵A, 总可以经过有限次初等行变换，把它变成行阶梯形和行最简形
      • 利用定义、初等变换法
• 线性方程组
• 非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+自身的一个特解
• 特殊的矩阵
• 经过计算的一个数值
• m行n列的一个数表