导图社区 二次函数的图像与性质
这是一篇关于二次函数的图像与性质的思维导图，主要内容包括：二次函数与方程、不等式，二次函数与各项系数之间的关系，二次函数的图象与性质，二次函数的相关概念。
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二 次 函 数 的 图 像 与 性 质
二次函数的 相关概念
一般地，形如y=ax²+bx+c{其中a，b，c是常数，a≠0｝的函数叫做二次函数
常见表达式
一般式
y=ax²+bx+c(a≠0)
顶点式
y=a(x-h)²+k（a,h,k为常数，a≠0）
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
特殊形式
当b=0时,y=ax²+c (a≠0)
当c=0时,y=ax²+bx (a≠0)
当b=0,c=0时,y=ax² (a≠0)
题型01 判断函数类型 题型02 判断二次函数 题型03 已知二次函数的概念求参数值 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 类型二 顶点式 类型三 交点式
二次函数的 图象与性质
图像与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线
最值
a>0
开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值
增减性
在对称轴的左边y随x的增大而减小， 在对称轴的右边y随x的增大而增大
在对称轴的左边y随x的增大而增大， 在对称轴的右边y随x的增大而减小
图像变换
平移变换
左加右减，上加下减
翻折、旋转 y=a(x-h)²+k
绕顶点旋转180°
y=-a(x-h)²+k
绕远点旋转180°
y=-a(x+h)²-k
沿x轴翻折
y=-a(x-h)²-k
沿y轴翻折
y=a(x+h)²+k
对称性问题
若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分表为（x1，y） （x2，y），则抛物线的对称轴可表示为直线x=（x1+x2）/2
最值问题
自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）
如果自变量的取值 范围是x1≤x≤x2
若对称轴在此范围内，顶点处取得最值
若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在 x1≤x≤x2范围内的增减性
题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 题型04 利用五点法绘二次函数图象 题型05 二次函数的平移变换问题 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 题型08 根据二次函数的性质求最值 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
二次函数与各项 系数之间的关系
a的正负决定开口的方向，a的大小决定开口的大小
a、b共同决定对称轴位置，口诀：左同右异
c决定了抛物线与y轴交点的位置
题型01 根据二次函数图象判断式子符号 题型02 二次函数图象与各系数符号 题型03 二次函数、一次函数综合 题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型05 两个二次函数图象综合
二次函数与方 程、不等式
与一元二次 方程的关系
一元二次方程的解是其对应二次函数的图象与x轴的交点坐标
抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定
与不等式的关系
ax²+bx+c>0的解集
函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴上方对应的 点的横坐标的取值范围
ax²+bx+c<0的解集
函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴下方对应的 点的横坐标的取值范围
题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 题型03 抛物线与x轴交点问题 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 题型06 求x轴与抛物线的截线长 题型07 图像法解一元二次不等式 题型08 根据交点确定不等式的解集 题型09 二次函数与斜三角形结合的应用方法
