通信之道_数学基础

无线通信需要用到的数学原理，包含微积分、复变函数、傅里叶分析、度量空间、概率论与随机过程、信息论、群论等详细知识点，是你不可或缺的学习助手。

通信之道

• 微积分
  • 邻域
    • X的邻域就是X加减一个值的开区间
    • 空心邻域就是邻域去掉X这个点
  • 导数
    • 背景
      • 割线
        • 曲线上两点的连线
      • 切线
        • 两点无线接近的极限，割线和切线重合
      • 斜率
        • 切线的斜率就是曲线这个点的斜率
      • 在微积分中，这个斜率就是导数
    • 函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义。如果极限f'(x0)=lim(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx存在，则称函数可导
  • 微分
    • 可微
      • 简单理解为，函数在x0处，自变量和因变量接近线性关系
    • 函数的微分是函数增量的线性主部
    • 对一元函数，可微和可导等价
      • 导数是函数的微分与自变量的微分之商
        • f'(x)=dy/dx
        • 导数也叫微商
  • 积分
    • 可积
      • 函数区间内连续，或者包含有限个不连续的点，包围的面积就是存在的，黎曼可积的
  • 微积分
    • 微分和积分是互逆运算
  • 泰勒级数
    • 目的是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况
  • 多元函数
    • 很多定理与一元函数类似
    • 偏导数
      • 对其中一个元求导，此时其他元看作常数即可
• 复变函数
  • 实数的发展
    • 自然数
    • 整数
      • 加上0和负数
    • 有理数
      • 加上分数
      • 稠密
        • 简单理解就是任意小的区间里都有数（无穷多个数）
    • 实数
      • 加上无理数
      • 完备
        • 柯西序列
          • 随着序号增加，相邻两项距离越来越小
        • 简单理解就是任意柯西序列的极限任然在集合里面
        • 有理数稠密但不完备，加上无理数，组成实数就完备了
    • 复数
      • 加上虚数
  • 复数
    • z=x+iy
    • 共轭复数
      • z上面一个横杠
      • x-iy
    • 复数的四则运算遵循多项式运算原则
    • 复平面
      • 把复数的实数部分和虚数部分用坐标的方式呈现
      • 模
        • r=|z|
          • 到原点的距离
      • 辐角
        • tanθ=y/x
  • 复变函数
    • 以复数为自变量的函数
    • 复指数函数
      • 在通信中最常用
      • 欧拉公式
        • 令x=π
          • • 上帝创造的公式
        • • 复数可以写成
        • 令x=ωt
  • 简化傅里叶的表达形式
• 傅里叶分析
  • 三角形式的傅里叶级数
    • • 原理是三角函数的正交性
        • 正弦函数和余弦函数是正交的
        • 不同频率的正弦函数是正交的
        • 不同频率的余弦函数是正交的
    • 所有正弦成分的角频率，都是ω₁的整倍数
    • 之所以选用三角函数，是因为在线性系统中，三角函数具有频移不变的特性，输出只是幅度和相位有可能变化
  • 复指数形式的傅里叶级数
  • 傅里叶变换
    • 周期信号可以用傅里叶级数表示，傅里叶系数又叫离散频谱，因为谱线只出现在ω₁=1／T₁的整倍数上
    • 上述概念推广到非周期信号，就可以得到傅里叶变换
    • 非周期信号可以认为是周期无限大的信号
    • 令T₁→∞
      • • 当ω₁→0时，可以理解为谱密度函数
    • 令ω₁→0
    • 正变换就是信号与基函数e^jωt做内积，而复数做内积需要取共轭，所以有负号
    • 反变换就是用基函数去合成原来的信号，所以没有负号
    • 性质
      • 对称性
      • 线性
      • 奇偶虚实性
        • 偶函数的傅里叶变换也是偶函数
        • 奇函数的傅里叶变换也是奇函数
        • 实函数的傅里叶变换的实部是偶函数，虚部是奇函数
        • 实函数的傅里叶变换的幅度是偶函数，相位时奇函数
        • 实偶函数的傅里叶变换是实偶函数
      • 尺度变换
        • 尺度变换因子α队时域和频域的作用是相反的
      • 时移特性
        • 时域的时移对应频域的相移
      • 频移特性
        • 调制的频谱搬移
  • 卷积定理
    • 时域的卷积等于频域的乘积
    • 频域的卷积等于时域的乘积
    • 信号经过线性时不变系统，就是与h(t)卷积，也就是频域乘H(ω)
      • H(ω)叫做系统的频率特性
      • 幅度叫做幅频特性
      • 相位叫做相频特性
  • 离散傅里叶变换
    • 周期为N的离散复指数信号可以认为是角频率为2πk/N的连续复指数函数在整数点上得采样
  • 离散信号的连续傅里叶变换
    • 离散傅里叶变换可以看作求一个离散序列在不同频率正交基下得坐标
    • 无限增加频率点，离散频率就变成了连续频率ω
  • 循环卷积
    • h[n]是系统对冲击信号的响应
    • 线卷积两个信号从头到尾卷积
    • 在线性移不变系统中，对于输入的循环信号，输出也是相同周期的循环信号
    • 循环卷积（圆卷积）就是把h[n]按周期切段并且累加，再与输入的一个周期卷积，得到输出的信号的一个周期
  • 是采样信号还原被采样信号的基础
• 度量空间
  • 空间
    • 对加法和数乘封闭
    • 对加法和数乘封闭的意思是，如果x1、x2是空间里面的两个元素，而α是一个标量，可以是实数，也可以是复数；那么x1+x2和α·x1也应该是这个空间里面的元素
  • 线性空间
    • 设V是一个非空集合，F是一个数域。如果在V上定义了两种运算，一种是加法（对于V中任意两个元素α、β，α + β仍在V中），另一种是数乘（对于F中的任意数k和V中的任意元素α，kα仍在V中），并且这两种运算满足八条运算规则，包括加法交换律、结合律，存在零元素、负元素，数乘结合律、分配律等，那么V就称为数域F上的线性空间。
  • 度量空间
    • 类似于三维空间当中距离的概念
    • 定义了度量的线性空间就叫度量空间
  • 赋范空间
    • 范数
      • 范数可以理解为高度抽象的度量方式
    • 定义了范数的线性空间叫赋范空间
  • 内积空间
    • 内积
    • 定义了内积的线性空间叫内积空间
    • 完备的内积空间叫希尔伯特空间
    • 夹角
      • 平面上，两条直线的夹角
      • 扩展到N维空间
    • 点积
  • 正交
  • 从线性空间的角度看，傅里叶系数、傅里叶变换、离散傅里叶变换可以获得形式上的统一，都是求信号在一组正交基下的坐标。
  • 为了引出正交的概念
• 概率论与随机过程
  • 基础概念
    • 样本空间
      • 每次试验都会得到一个结果，所有可能的试验结果的集合
    • 事件
      • 出现一个或者多个特定的试验结果
    • 概率
      • 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率
  • 联合事件
    • 多个事件同时发生
    • 联合概率
      • 联合事件发生的概率
    • 条件概率
      • 已知某事件发生，另一个事件也发生的概率
    • 独立
      • P（A|B）=P（A），说明A与B无关
    • 贝叶斯准则
  • 随机变量
    • 一个随机试验的样本空间为S，s是其中的元素，s∈S，定义一个函数X（s），其定义域为S，值域为实数的子集，这个函数叫作随机变量
    • 概率分布函数
      • 随机变量作为自变量，满足某个条件的概率值作为因变量
    • 概率密度函数
      • 概率分布函数求导
    • N阶矩
      • 一阶矩是均值
      • 二阶矩是功率
    • N阶中心矩
      • 把随机变量的均值减掉
      • 二阶中心矩是方差
  • 分布（概率密度函数）
    • 平均分布
    • 高斯分布
      • 也叫正态分布
      • 方差为1的叫标准正态分布
  • 联合矩
    • k=n=1时，联合矩称为相关，中心矩称为协方差
    • 相关系数
  • 循环平稳过程
    • 概率密度呈周期性
  • 各态经历过程
    • 统计足够长时间就能够代表整体情况的平稳随机过程
  • 在满足采样定理的上况下，随机过程也可以总采样信号重构
  • 输入输出都是随机信号
• 信息论
  • 熵就是信源当中所有事件的自信息的平均值，它反映了一个信源整体的不确定度
  • 联合熵
    • 描述的是（X，Y）联合信源的不确定度
      • H（X，Y）=H（X）+H（Y|X）
      • 在X，Y相互独立的情况下：H（X，Y）=H（X）+H（Y）
  • 互信息
    • I（X；Y）=H（X）−H（X|Y）=H（Y）−H（Y|X）
    • I（X；Y）=H（X）+H（Y）−H（X，Y）
    • 观测信号Y不会增加信源X的不确定性，那么观测信号对信源的不确定性减少的部分就是互信息
  • 香农定理
    • C = B\log_2(1 + S/N)
      • N是噪声平均功率，S是信号平均功率
• 群论
  • 群
    • 阿贝尔群
      • 一个群（G，·），如果进一步满足交换公理，也就是对于任意a，b∈G，满足a·b=b·a，那么被称为交换群，或者阿贝尔群
  • 环
    • 交换环
      • 对乘法也满足交换率
  • 域
    • 伽罗华域