第一章有理数思维导图

这是一个关于第一章有理数思维导图，介绍了有理数相关的知识点、方法、问题以及观点，知识梳理清楚，非常实用，值得收藏。

第一章 有理数

• 知识
  • 1.正数和负数
    •        大于 0 的数叫作正数，在正数前面添加符号“-”的数叫作负数，0 既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界．        为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也加上符号“+”；一个数前面的“+”“-”号叫作这个数的符号．
  • 2.有理数
    •        可以写成分数形式的数称为有理数（rational number）．
    • 相反数
      •        只有符号不同的两个数，互为相反数（opposite number）．0 的相反数是 0．
      • 应用
        • 1. 判断正误：a 的相反数是 -a，则a 是正数（ ）． （答案:×，a 可以是正数，0 或负数） 2. 若 a = -a，则 a = __． （答案：0）
    • 绝对值
      •        数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值（absolute value），记作 |a |．
  • 3.数轴
    • 有理数比大小
      •       （1）画一条水平且向右为正方向的数轴；       （2）把有理数表示在数轴上．        数学上规定：从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．小学学过的正数及 0 的大小比较也符合这个规定．        一般地，       （1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；       （2）两个负数，绝对值大的反而小．
      • 两个负数比大小
        •        两个负数，绝对值大的反而小．
• 方法
  • 1.用数轴上的点表示有理数
    • 在数轴上表示数 a 的步骤
      •        设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在数轴的正半轴上与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 -a 的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度．
  • 2.求一个数的绝对值
    •       （1）如果 a > 0，那么 |a | =a；       （一个正数的绝对值是它本身）       （2）如果 a = 0，那么 |a | = 0；       （0 的绝对值是 0）       （3）如果 a < 0，那么 |a | =-a．       （一个负数的绝对值是它的相反数）
    • 应用
      •        如果 |a | = 7，那么 a = __．       （答案：± 7 ）
• 观点
  • 1.感受数的范围的扩大
    •        引入负数，将数的范围扩大到有理数，是为了表达的需要，这是中学阶段接触到的第一次数的范围扩大，后面我们还会继续认识数的范围扩大．
  • 2.通过归纳获得新知识
    •        例如探究负数的产生，建立数轴的概念，探究两个负数比大小的方法等，都是经历了“举例子——观察共性——获得猜想——验证——概括”这一研究过程逐渐发现规律，通过归纳获得新知识的．
  • 3.体会数形结合思想
    •        任何一个有理数都对应数轴上的一个点：       （1）点在正半轴上，则点代表的有理数为正有理数，在负半轴上为负有理数；       （2）点与原点的距离，用绝对值表示，点离原点越近，对应的有理数的绝对值越小，离原点越远，对应的有理数的绝对值越大．通过有理数与数轴上点的对应，我们将“数”和“形”结合起来，借助数轴认识了相反数、绝对值，并借助数轴归纳得到了有理数大小比较的方法，在以后的学习中数轴可以帮助我们解决更多与数有关的问题．
• 问题
  • 1.梳理已学的数，数的范围扩大了几次？每次扩大数的范围时，引入一类新的数的原因是什么？
    •        数的范围扩大了 3 次（从正整数扩大到自然数，从自然数扩大到正有理数和 0，从正有理数和 0 扩大到有理数），引入一类新的数的原因是为了表达的需要．
  • 2.你能举出一些实例，说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗？
    •        例如收入 5 元与支出 3 元，增加 5 本与减少 3 本，上升 10 米与下降 6 米等．
  • 3.你能用一个图表示有理数的分类吗？
  • 4.数轴与普通的直线有什么不同？怎样在数轴上表示有理数？怎样利用数轴解释一个数的相反数和绝对值？
    •        数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线；有理数可以用数轴上的点表示．        设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 -a 的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度．        在数轴上表示互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等；数轴上表示数a 的点与原点的距离是这个数的绝对值．
  • 5.如何比较有理数的大小？数轴能发挥怎样的作用？
    •        正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；借助数轴能够直观地比较有理数的大小．
  • 6.回忆小学学过的与数有关的内容，想一想接下来应该继续研究哪些与有理数有关的问题．
    •        研究有理数的运算法则，有理数的运算律等．