小学六年级数学重难点

这是一篇整理小学六年级数学重难点的思维导图，主要内容包括：一、圆，二、分数混合运算，三、观察物体，四、百分数，五、数据处理，六、比的认识，七、百分数的应用，八、圆柱和圆锥，九、正比例和反比例。

小学六年级 数学重难点

• 一、圆
  • （一）重点
    • 圆的基本特征
      • 理解圆心（决定圆的位置）
      • 半径（决定圆的大小，一端在圆心，一端在圆上）
      • 直径（通过圆心且两端都在圆上）
      • 掌握在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍（ d = 2r ），半径是直径的一半（ r = d/2 ）这一关系。
      • 在实际操作中，能准确地用圆规画圆，并且根据给定的半径或直径长度画出符合要求的圆。
    • 圆的周长和面积公式的推导与应用
      • 对于圆周长公式 C = 2πr 或 C=πd，要理解圆周率π的含义（圆的周长与直径的比值是一个固定的数，这个数就是圆周率），通过测量、计算等活动体会圆周率的产生过程。
      • 圆面积公式 S = πr² 的推导是重点内容。
        • 利用转化思想，将圆转化为近似的长方形（把圆平均分成若干个相等的小扇形，然后拼成近似长方形，分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形），从而推导出面积公式。学生需要熟练运用这两个公式解决实际问题，如计算圆形花坛的周长和面积，圆形水池的占地面积等。
  • （二）难点
    • 圆面积公式的推导过程：
      • 学生在理解将圆转化为近似长方形的过程中，极限思想的理解是一个难点。
      • 例如，如何从直观上理解把圆无限分割后拼成的图形就是长方形，以及长方形的长和宽与圆的周长和半径之间的关系（长方形的长相当于圆周长的一半πr，宽相当于圆的半径r）。
    • 组合图形中圆的相关计算：
      • 当遇到组合图形，如阴影部分是由圆和三角形、正方形等其他图形组成时，学生需要准确分析图形之间的关系，确定计算方法。
      • 例如，计算一个正方形中最大圆的面积（此时圆的直径等于正方形的边长），以及剩余部分（即正方形面积减去圆的面积）的面积等问题。
• 二、分数混合运算
  • （一）重点
    • 运算顺序的理解和掌握
      • 分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同。
      • 学生要能正确判断先算什么，后算什么。
    • 分析数量关系，列混合运算式解决问题
      • 根据题目中的信息，找出单位 “1”，分析分数乘法和除法的数量关系。
      • 如 “某工程队修一条路，第一天修了全长的1/3，第二天修了剩下的1/2，，还剩多少没修？”
      • 学生要能通过分析得出先求出第一天修完剩下的部分（1-1/3)，再计算第二天修的部分(（1-1/3)×1/2），最后用单位 “1” 减去前两天修的部分得到剩下没修的部分。
  • （二）难点
    • 复杂的数量关系分析和算式列法
      • 在一些较复杂的实际问题中，如分数混合运算与工程问题、行程问题等结合的题目，学生可能会出现困难。
      • 例如，“一项工程，甲队单独做要 10 天完成，乙队单独做要 15 天完成，两队合作 3 天后，剩下的工程由乙队单独完成，还需要几天”
      • 这类问题涉及到工作效率、工作时间和工作量之间的关系，学生需要正确列出算式 [1 - ( 1/10 + 1/15 )×3]÷1/15来求解。
• 三、观察物体
  • （一）重点
    • 不同角度观察物体形状的描述和想象
      • 学生要能根据从不同方向（正面、左面、上面）观察到的平面图形，想象出立体图形的形状。（平面到空间的思维转换能力）
      • 例如，给出一个物体从正面看是 3 个正方形排成一排，从左面看是 2 个正方形上下排列，学生要能构建出这个物体可能的立体形状。
    • 观察范围的确定和理解
      • 学会根据观察者的位置和障碍物的情况，确定观察的范围。
      • 比如，在 “观察的范围” 一课中，通过路灯下人的影子长度的变化，理解观察范围随位置变化而变化的规律。
  • （二）难点
    • 复杂立体图形的观察和还原
      • 当立体图形比较复杂，如由多个小正方体组合成不规则形状时，学生从不同角度观察后准确还原立体图形会有困难。
      • 例如，一个立体图形由 8 个小正方体组成，从正面看有 4 个正方形，从左面看有 3 个正方形，学生要通过推理和空间想象来构建这个立体图形的具体形状。
      • 平时多利用实体模型，采用多角度观察、组合变化等实地观察，搭建学生大脑中的准确空间结构。
    • 观察范围与实际情境的结合应用
      • 在实际生活场景中，如在建筑物的遮挡、车辆行驶视线遮挡等情况下，准确地运用观察范围的知识解决问题，对于学生来说是比较难的。
      • 例如，计算在一个有建筑物遮挡的路口，司机在什么位置才能看到另一方向来车的问题。
• 四、百分数
  • （一）重点
    • 百分数的意义和读写法
      • 学生要理解百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比。
      • 例如，及格率=及格人数/总人数×100%
      • 让学生明确百分数是一种特殊的分数，它的分母固定为 100，通常用于表示部分与整体的关系或者两个数的比较关系。
    • 百分数、小数、分数的互化方法及应用
      • 熟练掌握各类互化方法：
        • 百分数与小数
          • 如0.75 = 75%，将小数的小数点向右移动两位，再加上百分号；
          • 如80% = 0.8 ，将百分号去掉，小数点向左移动两位。
        • 百分数与分数
          • 如45% = 9/20，先把百分数写成分母是 100 的分数，再化简；
          • 3/4 = 75%，用分子除以分母得到小数，再化成百分数。
      • 能够运用这些互化知识解决实际问题，如在计算折扣、利率、增长率等问题时灵活运用。
    • 用百分数解决实际问题
      • 掌握
        • “求一个数是另一个数的百分之几”。
          • 如某班有男生 25 人，女生 20 人，求男生人数是女生人数的百分之几，列式为25/20 × 100% 。
        • “求一个数比另一个数多（或少）百分之几”
          • 如已知去年产量是 100 吨，今年产量是 120 吨，求今年比去年增产百分之几，列式为（120-100)/100 ×100%
        • “求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”
          • 如已知一件商品原价 100 元，现在涨价 10%，求现在的价格，列式为100 × （1+10%）
  • （二）难点
    • 百分数意义的深入理解和应用
      • 在具体情境中，准确理解百分数所表示的含义，尤其是涉及到多个百分数比较或者百分数与实际数量之间的关系时。
      • 例如，在统计数据中，理解不同类别数据的占比变化所代表的实际意义，或者在商品折扣、利润等经济问题中，正确把握百分数的作用。
    • 复杂的百分数应用题求解
      • 当题目涉及到连续的百分比变化（如先涨价再降价）、多种税率或折扣组合等复杂情况时，学生容易混淆计算方法。
      • 例如，一件商品先提价 20%，再降价 20%，求最终价格与原价的关系，学生需要正确列出算式 1×（1+20%）×（1-20%）来计算并分析。
• 五、数据处理
  • （一）重点
    • 扇形统计图的特点和作用理解
      • 要理解扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。
      • 通过扇形统计图可以直观地看出各部分数量与总数之间的关系，如在一个班级成绩统计的扇形统计图中，能清楚地看到各个科目成绩占总成绩的百分比。
    • 统计图的选择和信息解读
      • 根据不同的数据特点和研究目的，选择合适的统计图
        • 条形统计图用于比较数量的多少
        • 折线统计图用于展示数据的变化趋势
        • 扇形统计图用于体现各部分占总体的比例关系
      • 能够从给定的统计图中准确获取信息，进行简单的数据分析：
        • 回答哪一部分占比最大
        • 各部分之间的比例关系
        • 数据的变化趋势等问题
  • （二）难点
    • 扇形统计图中数据的转换和计算
      • 当已知扇形统计图中各部分占比和总数中的一个量时，学生要能准确地计算出其他量。
      • 例如，已知扇形统计图表示某学校各年级人数占总人数的百分比，以及学校总人数，求某个年级的具体人数；或者反过来，根据某个年级的具体人数和它在扇形统计图中的占比求出总人数。
    • 统计图综合应用和复杂数据分析
      • 在实际问题中，综合运用多种统计图进行数据分析，或者对复杂的统计图表（如包含多个子图、双坐标轴等）进行解读和分析是比较困难的。
      • 例如，分析一个包含柱状图和折线图的复合图表，其中柱状图表示不同产品的销售额，折线图表示销售额的增长率，要从图表中提取出有价值的信息，如哪种产品销售额增长最快，销售额增长与产品销量之间的关系等。
      • 需要有足够的耐心和细心，对每个图标的信息捕捉准确，再加以综合整理，计算应用。
• 六、比的认识
  • （一）重点
    • 比的意义和基本性质
      • 理解比的意义，知道两个数相除又叫做两个数的比.，例如，3÷2 可以写成 3 : 2，其中3是前项，2是后项，比值是3/2。
      • 掌握比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变）
      • 能够运用基本性质化简比（如将 12 : 18 化简为 2 : 3 ）和求比值（如 4 : 5 的比值是 4/5 ）
    • 比的应用（按比例分配）
      • 学会运用比的知识解决按比例分配的实际问题。
      • 例如，把 30 个苹果按照 2:3 的比例分给甲、乙两人，先求出总份数 (2+3=5)，再分别求出甲分得的苹果数（30× 2/5=12个）和乙分得的苹果数（30×3/5=18个）
  • （二）难点
    • 比的概念与除法、分数概念的联系和区别
      • 学生容易混淆比、除法和分数之间的关系。
      • 虽然它们在本质上有相通之处（比是两个数的相除关系，分数是一个数，除法是一种运算），但在表示形式、应用场景等方面有差异。
        • 比有前项、后项和比值
        • 分数有分子、分母和分数值
        • 除法有被除数、除数和商
      • 学生要能准确区分它们在不同情境下的使用方法。
    • 复杂的按比例分配问题求解
      • 当遇到按比例分配问题的复杂情况，如分配的总量是变化的，或者比例关系是间接给出的，学生可能会出现解题困难。
      • 例如，一个三角形的三个内角的度数比是 2:3:4，求三个内角的度数，学生需要先理解三角形内角和是 180°，然后再按照比例分配求出每个角的度数。
• 七、百分数的应用
  • （一）重点
    • 进一步掌握百分数应用题的解法
      • 在之前学习百分数的基础上，深入学习百分数在集中实际应用题中的应用：
        • 利息（如利息 = 本金 × 利率 × 存期）
        • 折扣（如现价 = 原价 × 折扣率）
        • 成数（如增产几成就是增产百分之几十）
        • 税率（如应纳税额 = 计税金额 × 税率）
      • 学生要能根据题目信息准确地找出单位 “1”，分析数量关系，列出正确的算式解决问题。
    • 利用方程解决百分数问题
      • 学会用方程的方法解决一些复杂的百分数问题。
      • 例如，在 “百分数的应用（三）” 中，通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程求解。如已知一件商品涨价后的价格是 120 元，涨价了 20%，设原价为元，可列出方程 x(1+20%)=120 来求解原价。
  • （二）难点
    • 复杂经济问题中的百分数应用
      • 在实际的经济生活场景中，以下几种复杂情况下，学生需要综合运用百分数知识进行准确计算和分析，这是比较困难的。
        • 银行利息计算（涉及复利、利息税等）
        • 商品促销（多种折扣方式叠加）
        • 税收计算（多种税种综合）
      • 例如，计算银行定期存款的复利（本金和利息一起作为下一期的本金），学生需要理解复利的计算方式并正确运用百分数知识进行计算。
    • 用方程解决百分数问题的思维构建
      • 对于一些学生来说，建立用方程解决百分数问题的思维模式是难点。
      • 他们需要学会根据题目中的等量关系合理地设未知数，列出方程，并且正确地解方程。
      • 例如，在解决 “一个数减少了 20% 后是 80，求这个数” 这类问题时，学生要能设这个数为x，然后根据等量关系x-20%x=80 来求解。
• 八、圆柱和圆锥
  • （一）重点
    • 圆柱和圆锥的基本特征
      • 圆柱的概念理解
        • 底面（两个完全相同的圆）
        • 侧面（展开是一个长方形或正方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高）
        • 高（两底面之间的距离）
      • 圆锥的概念理解
        • 底面（一个圆）
        • 侧面（展开是一个扇形）
        • 高（从圆锥的顶点到底面圆心的距离）
    • 圆柱和圆锥的体积公式推导与应用
      • 圆柱体积公式 V = πr²h 的推导是重点。通过将圆柱转化为长方体（把圆柱底面平均分成若干个相等的扇形，然后沿着高切开拼成近似长方体），从而推导出体积公式。
      • 圆锥体积公式 V = 1/3 πr²h 的推导，利用实验（如等底等高的圆柱和圆锥，圆锥装满沙子倒入圆柱，三次正好装满）帮助学生理解圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的1/3。
      • 要熟练运用这两个公式解决实际问题，如计算圆柱形状的水池的容积、圆锥形状的沙堆的体积等。
  • （二）难点
    • 圆柱和圆锥体积公式推导过程的理解
      • 在圆柱体积公式推导中，学生对于将圆柱转化为长方体的过程，以及长方体的长、宽、高与圆柱各部分之间的关系的理解有一定难度。
      • 在圆锥体积公式推导中，理解为什么圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3，尤其是从空间几何的角度去理解这种倍数关系，对学生来说是一个挑战。
    • 圆柱和圆锥组合体的体积计算
      • 当遇到圆柱和圆锥组合在一起的复杂图形（如一个圆柱上面放置一个圆锥，或者圆柱中间挖去一个圆锥等情况），学生需要准确分析图形结构，合理运用公式计算体积。
      • 例如，计算一个底面半径为 3 厘米，圆柱高为 5 厘米，上面放置一个高为 4 厘米的同底圆锥的组合体体积，学生需要分别计算圆柱体积和圆锥体积，然后相加。
• 九、正比例和反比例
  • （一）重点
    • 正比例和反比例的概念理解与判断
      • 正比例：
        • 学生要理解两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，并且它们相对应的两个数的比值（商）一定，这是判断两个量是否成正比例的关键。
        • 例如，购买苹果时，总价和数量是相关联的量，当单价一定时（单价 = 总价 ÷ 数量），总价随着数量的增加而增加，且总价和数量的比值（单价）始终不变，所以总价和数量成正比例。
      • 反比例：
        • 对于反比例关系，学生要把握两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，同时这两种量相对应的两个数的乘积一定。
        • 比如，当路程一定时，速度和时间是相关联的量，速度越快，所需时间越短，且速度 × 时间 = 路程（一定），所以速度和时间成反比例。
      • 学生要能够根据给定的实际情境或数据表格，判断两个量是成正比例、反比例还是不成比例。
    • 正比例和反比例的表达式及应用
      • 正比例：
        • 可以用y=kx （k为常熟且≠0）来表示正比例关系，其中，y和x是成正比例的两个量，k是它们的比值。
        • 学生要能根据表达式，在已知一个量和值的情况下求出另一个量。
        • 例如，已知y与x成正比，例k=3，当x=2时，能求出y=3×2=6。
      • 反比例：
        • 反比例关系可以用xy=k（k为常熟且≠0）来表示。
        • 同样，学生要学会利用这个表达式解决问题。
        • 如已知x和y成反比例，k = 12，当x=3时，可求出y=12÷3=4 。
    • 正比例和反比例图象的特点及作用理解
      • 正比例图象：
        • 正比例关系的图象是一条经过原点的直线。
        • 通过观察图象，学生可以直观地看出两个量之间的变化趋势，如随着x轴上的量增大，y轴上的量也按一定比例增大。
        • 例如，在速度一定的情况下，路程和时间的正比例图象，横坐标表示时间，纵坐标表示路程，直线的斜率就代表速度。
      • 反比例图象：
        • 反比例图象是一条曲线。
        • 它体现了一种量增大，另一种量减小的变化规律。
        • 比如，在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例，其图象能清晰地展示长和宽之间的这种反比例关系，当长逐渐增大时，宽逐渐减小，且变化的速度不是均匀的。
  • （二）难点
    • 正比例和反比例概念的深入理解及区分
      • 易混淆点：
        • 学生在判断两个量是否成比例以及是正比例还是反比例时容易出错。
        • 例如，对于 “圆的周长和直径” 与 “圆的面积和半径” 这两组量，学生可能会混淆。圆的周长和直径成正比例（因为C÷d=π，π是一个定值（常量）），而圆的面积和半径不成正比例（因为S÷r=πr，πr不是一个定值（常量））。
      • 复杂情境判断：
        • 在一些复杂的实际情境中，涉及多个变量或者变量之间的关系不明显时，学生很难准确判断比例关系。
        • 比如，在工作总量、工作效率和工作时间的关系中，如果工作效率是变化的，同时又受到其他因素影响，学生就需要仔细分析才能判断工作总量和工作时间是否成正比例。
    • 利用图象解决正比例和反比例问题
      • 图象信息读取：
        • 学生从图象中准确读取信息有一定难度。
        • 在正比例图象中，要根据给定的一个点的坐标求出比例系数k，或者在反比例图象中，通过图象估计两个变量的值以及它们之间的乘积关系。
      • 图象与实际问题结合：
        • 将图象所反映的比例关系与实际问题相结合进行求解是比较复杂的。
        • 例如，
          • 根据路程 - 时间的正比例图象，求出在某个特定时间范围内的平均速度，
          • 根据长方形面积 - 长的反比例图象，求出当长变化时，宽的变化范围以及对实际应用场景（如材料用量等）的影响。
    • 用正比例和反比例知识解决综合性问题
      • 综合应用多个知识点：
        • 正比例
        • 反比例
        • 分数
        • 百分比
        • 几何
        • ......
      • 例如，在一个圆柱和圆锥体积关系的问题中，已知圆柱和圆锥等底等高，圆锥的高变化时，圆柱体积和圆锥体积之间的比例关系也会发生变化，同时可能涉及到体积公式、比例关系以及单位换算等多个知识点。
    • 建立数学模型解决实际问题：
      • 将实际生活中的问题抽象为正比例或反比例的数学模型是难点。
      • 例如:
        • 水电费的计费方式（阶梯式收费，包含基础费用和按用量收费部分）
        • 工程进度与资源投入的关系等
        • 需要分析问题，找出其中的变量和不变量，建立合适的正比例或反比例模型来求解。