导图社区 七年级上册数学思维导图2025
七年级上册数学2025（新版）思维导图，将知识点进行了归纳整理，涵盖所有核心内容，非常方便大家学习。适用于考试复习、预习，提高学习效率。赶紧收藏一起学习吧！
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七年级上册数学
丰富的图形世界
生活中的立体图形
常见的立体图形
用直曲线分类
直线
正方体，长方体，棱柱，棱锥
曲线
球体，圆柱，圆锥
按几何形状分类
柱体
正方体，长方体，圆柱体
锥体
圆锥体，三棱锥
台体
圆台
球体
球
按有无顶点分类
有顶点
正方体，长方体，棱锥
无定点
圆柱体，圆锥体，球体
从立体图形到平面图形
正方形的展开图
1 4 1
2 3 1
2 2 2
3 3
截面
概念
n个面的立体图形截出来的截面边数最多有（n＋2）条边
有理数及其运算
认识有理数
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即能够写成分数形式的数。具体来说，有理数包括整数和分数，其中整数可以看作分母为1的分数。
分类
整数和分数
正数，0，负数
有理数的加减运算
有理数加法法则
有理数的加法法则：符号相同的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；符号相反的两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数。
有理数减法法则
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
有理数的乘除运算
有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。即如果两个数都是正数或都是负数，那么它们的乘积也是正数；如果一个数是正数，另一个数是负数，那么它们的乘积就是负数。同时，任何数与0相乘，积仍为0。
有理数除法法则
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。
有理数的乘方
有理数乘方法则
(1)任何数的0次幂等于1; (2)任何数的1次幂等于它本身; (3)负数的偶数次幂是正数,负数的奇数次幂是负数; (4)一个数的幂的幂,等于这个数的指数相乘。
有理数的混合运算
混合运算的法则
先算乘方，再算乘除，后算加减
整式及其加减
代数式
代数式是由数字、表示数的字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的数学表达式
单项式
单项式是由数字和字母的积组成的代数式，单独的一个数字或一个字母也叫做单项式
多项式
多项式是由有限个单项式的代数和组成的代数式
整式的加减
同类项的概念
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
合并同类项
把同类项合并在一起叫合并同类项
探究与表达规律
方法
观察法 ● 全面观察：对给定的数字、图形或其他对象进行整体观察，注意其呈现的特征，如数字的大小变化、图形的形状特点等。 ● 局部观察：关注细节，如数字的个位、十位变化，图形的局部构成等。比如观察数列1，4，9，16，…，可发现每个数都是自然数的平方。 列举法 ● 穷举列举：当研究对象数量有限时，将所有情况一一列出找规律。如探究从1到100的整数和的规律，可列出1 + 2 = 3，1 + 2 + 3 = 6等。 ● 部分列举：对于有无限个元素的对象，列举部分典型情况推测规律。像探究2的n次幂的个位数字规律，列出2^1 = 2，2^2 = 4，2^3 = 8等，可发现个位数字以2、4、8、6循环。 作差法 ● 一次作差：对一组数据相邻两项作差，若差相等，可能是等差数列。如数列3，5，7，9，…，相邻两项差为2，是公差为2的等差数列。 ● 多次作差：一次作差无明显规律时，对差再作差。如数列1，3，6，10，15，…，一次作差得2，3，4，5，…，二次作差得1，1，1，…，可发现原数列有一定规律。 归纳法 ● 不完全归纳：根据部分对象具有的规律，推测所有对象都有此规律。如由三角形内角和为180°，四边形内角和为360°等，归纳出n边形内角和公式为(n - 2)\times180°。 ● 完全归纳：对所有情况考察后得出规律。但适用范围相对较窄，通常用于情况较少的问题。
数据的收集与整理
丰富的数据世界
定义
定量数据
定量数据是指以数字形式表现出来的数据，通常是通过计数、测量或统计等方法获得，具有明确的数值和量的概念。比如，一个班级学生的考试成绩、某城市每月的降水量、汽车的行驶速度等，这些数据可以进行数学运算，如求和、求平均值、计算标准差等，能够用具体的数值来精确地描述和分析事物的数量特征、变化趋势等，常用于统计分析和建立数学模型等。
定性数据
定性数据是指非数字形式的数据，主要用于描述事物的特征、性质、类别或属性等。它通常是通过观察、访谈、文本分析等方法获取，如人的性别（男、女）、产品的颜色（红、蓝、绿等）、企业的行业类型（制造业、服务业等）。定性数据一般不能直接进行数学运算，但可以进行分类、编码和频率统计等分析，有助于了解事物的本质、差异和内在关系，常用于市场调研、社会学研究等领域，以深入挖掘和理解现象背后的原因和意义。
数据的收集
直接收集
● 问卷调查：设计有针对性的问题，以纸质或电子形式发放给被调查者，收集其反馈。如企业想了解消费者对产品的满意度，可设计问卷包含产品质量、外观、价格等方面的问题。 ● 访谈：通过与被访者面对面、电话或视频等方式交流获取数据。如记者为撰写人物报道，对相关人物进行深度访谈，了解其经历和想法。 ● 观察：直接观察研究对象的行为、状态等。像生物学家在自然环境中观察动物的生活习性和行为模式。 ● 实验：在控制其他变量的条件下，研究自变量对因变量的影响。如医学研究中，研究某种药物对疾病的治疗效果，设置实验组和对照组进行对比。
间接收集
● 查阅文献：从书籍、期刊、报纸、报告、论文等资料中获取数据。如研究历史事件，可查阅相关的历史文献和档案资料。 ● 数据库：从专业数据库、政府统计数据平台等获取数据。如企业分析市场趋势，可从国家统计局官网获取相关行业的统计数据。 ● 网络爬虫：利用网络爬虫技术，按照一定规则自动抓取网页上的信息和数据。如电商平台监测竞争对手的商品价格和销量，可通过网络爬虫获取相关数据。
数据的表示
统计表格
● 定义：以表格形式呈现数据，由行和列组成，行表示不同的数据记录，列表示数据的不同属性或变量。 ● 示例：学生成绩表，行是每个学生的信息，列有姓名、语文成绩、数学成绩等。
统计图
● 条形图：用等宽的条形长短表示数据大小，用于比较不同类别数据的差异，如不同品牌手机的销量对比。 ● 折线图：通过将数据点用线段连接，展示数据随时间或其他顺序变量的变化趋势，如某公司一年中每月的销售额变化。 ● 饼图：以圆形为整体，用扇形面积表示各部分占总体的比例关系，如某班级学生各学科成绩占总成绩的比例。 ● 直方图：用高度不等的纵向条纹或线段展现数据在一定范围内的分布情况，常在统计数据频率分布时使用，如统计班级学生身高在不同区间的人数分布。
统计报告
● 定义：以文字、数据、图表等相结合的形式，对数据进行系统的分析和阐述，通常包含数据背景、目的、分析方法、结果及结论等内容。 ● 示例：年度经济运行报告，会包含各类经济指标数据及分析。
一元一次方程
认识方程
方程的定义
方程是含有未知数的等式。它表示了两个数学表达式之间的相等关系，其中至少有一个表达式包含未知数。例如2x + 3 = 7，x是未知数，等号左边的2x + 3和等号右边的7是两个数学表达式，它们通过等号连接，表示两者相等；再如y^2 - 5y + 6 = 0，y是未知数，等号两边的表达式构成了一个关于y的方程。
方程的要素
● 未知数：通常用字母x、y、z等表示，是方程中需要求解的量。 ● 等式：用等号“=”来表示左右两边的表达式相等，这是方程的核心特征，它体现了数学中的等量关系。 ● 数学表达式：由数字、字母、运算符号（如加、减、乘、除、乘方等）组成，是方程的具体内容部分，用于描述数量之间的关系。
一元一次方程的解法
1. 去分母：若方程中各项存在分母，根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。如方程\frac{x}{2} + 1 = \frac{2x - 1}{3}，分母2和3的最小公倍数是6 ，两边同乘6得3x + 6 = 2(2x - 1)。 2. 去括号：依据乘法分配律，去掉方程中的括号。对于3x + 6 = 2(2x - 1)，展开括号得3x + 6 = 4x - 2。 3. 移项：根据等式性质1，把含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，移项要变号。3x + 6 = 4x - 2移项后为3x - 4x = -2 - 6。 4. 合并同类项：对移项后的式子，将同类项进行合并。3x - 4x = -2 - 6合并同类项得-x = -8。 5. 系数化为1：利用等式性质2，在方程两边同时除以未知数的系数，使未知数系数变为1，得到方程的解。-x = -8两边同时除以-1，解得x = 8。
一元一次方程的应用
行程问题
涉及路程、速度与时间关系。常用公式为路程 = 速度×时间。 ○ 相遇问题：两人相向而行，总路程等于两人路程之和。例如，甲、乙两人相距20千米，甲速度3千米/小时，乙速度2千米/小时，同时出发相向而行，设相遇时间为x小时，可列方程3x + 2x = 20，解得x = 4，即4小时后相遇。 ○ 追及问题：两人同向而行，快者路程等于慢者路程加上初始距离。如甲在乙后10千米，甲速度5千米/小时，乙速度3千米/小时，设甲追上乙时间为y小时，方程为5y = 3y + 10，解得y = 5，即5小时后甲追上乙。
工程问题
主要涉及工作量、工作效率和工作时间。一般把工作总量看成单位“1”，工作效率 = 工作量÷工作时间 。例如，一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作z天完成，甲工作效率为\frac{1}{10}，乙为\frac{1}{15}，可列方程(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})z = 1，解得z = 6，即两人合作6天完成。
销售问题
相关量有进价、售价、利润、利润率等。利润 = 售价 - 进价，利润率 = \frac{利润}{进价}×100\% 。比如，某商品进价50元，按标价8折出售仍获利10元，设标价为a元，0.8a - 50 = 10，解得a = 75，即标价为75元。
配调问题
从一处调人或物到另一处，总量不变。如甲队有32人，乙队有28人，从乙队调x人到甲队，甲队人数是乙队2倍，可列方程32 + x = 2(28 - x)，解得x = 8，即需从乙队调8人到甲队。
基本平面图形
线段，射线，直线
线段
线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）。这两个端点确定了线段的位置和长度，它是直线的一部分，具有明确的起点和终点。比如，在连接A、B两点的直线中，A、B两点及它们之间的部分就是一条线段，可表示为线段AB或线段BA。
特点
● 有固定长度：可以用具体的数值来度量其长度，测量工具如直尺等。 ● 具有方向性：虽然线段本身不强调方向，但在某些情境下，从一个端点到另一个端点可以确定一个方向。 ● 是直线的一部分：它不能像直线那样向两端无限延伸，其长度是有限的。
作用
在几何图形中，线段是构成三角形、四边形等多边形的基本元素，也是研究几何图形性质和解决几何问题的基础。
射线
射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线。射线仅有一个端点，无法测量长度，它可以向一端无限延伸。例如，手电筒发出的光，在理想情况下可以看作是一条射线，手电筒灯泡所在的位置就是射线的端点，光的传播方向就是射线无限延伸的方向。
● 有一个端点：这个端点确定了射线的起始位置，是射线的一个固定点。 ● 无限延伸性：射线可以朝着远离端点的方向无限延伸，没有尽头，所以它的长度是不可度量的。 ● 具有方向性：射线从端点出发，沿着特定的方向无限延伸，方向是确定的。
表示方法
射线通常用两个大写字母来表示，其中一个字母表示射线的端点，另一个字母表示射线上除端点外的任意一点，端点字母写在前面。比如，以点O为端点，经过点A的射线，记作射线OA。
直线是一个没有端点，可以向两端无限延伸，并且没有粗细概念的几何图形。它是一个抽象的数学概念，在现实生活中，我们通常将一些细长且笔直的物体，如电线、铁轨等，看作是直线的近似形象。从数学角度严格来说，直线是由无数个点组成的集合，这些点沿着两个相反的方向无限排列。
● 无端点：与线段有两个端点、射线有一个端点不同，直线不存在端点来限制其范围。 ● 无限延伸性：直线可以在两个方向上无限地伸展下去，没有尽头，其长度是不可度量的。 ● 笔直性：直线是完全笔直的，不存在弯曲或折线的情况，其上任意两点间的部分都是直的。 ● 无粗细：直线只具有位置和方向的属性，不具有粗细的特征，它是一个纯粹的几何概念，不占据实际的空间体积。
● 用两个大写字母表示：在直线上任意取两个不同的点，用这两个点的大写字母来表示直线，如直线AB或直线BA，其中A、B为直线上的点。 ● 用一个小写字母表示：可以用一个小写字母，如直线l来表示一条直线。
角
静态定义
角是由具有公共端点的两条射线组成的几何图形。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。例如，在平面内，以点O为公共端点，有射线OA和射线OB，那么∠AOB就是一个角，点O是角的顶点，射线OA和射线OB是角的两条边。
动态定义
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。比如，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转到OB的位置，就形成了一个角，这里OA是始边，OB是终边，点O是顶点。在动态定义中，角的大小与射线旋转的方向和旋转量有关，旋转量通常用角度来度量，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角。
多边形和圆的初步
多边形
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。这些线段称为多边形的边，相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。例如，由三条线段首尾相连组成的三角形、四条线段组成的四边形等都是多边形。
按边数分类
根据边的数量，有三角形（三条边）、四边形（四条边）、五边形（五条边）等。
按角和边的性质分类
可分为凸多边形和凹多边形。凸多边形是指所有内角都小于180°的多边形，任意一边所在直线都使其余各边均在这条直线的同侧；凹多边形则至少有一个内角大于180°。
● 封闭性：多边形的各条边首尾相连，形成一个封闭的图形，将平面分成了内部和外部两个区域。 ● 边和角的关联性：边的数量决定了角的数量，且多边形的内角和与边数存在特定的关系，公式为(n - 2)\times180°（n为边数，n\geqslant3且n为整数）。
圆
集合定义
圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的集合。其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。比如，在平面内有一个点O，到点O的距离等于5厘米的所有点构成的图形就是一个圆，点O就是圆心，5厘米就是半径。
轨迹定义
在平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。这里的定点同样是圆心，一定长度是半径。例如，用圆规画圆时，圆规的针尖固定的点就是圆心，圆规两脚间的距离就是半径，通过旋转圆规的铅笔端一周就画出了圆。
