函数与导数

这是一篇关于函数与导数的思维导图，主要内容包括：基本方法思路，三角函数处理，导数基本储备知识，导数基本题型，一些非导数的函数热考题型，函数图像变换，周期性，对称性，函数奇偶性，绝对值处理，根式处理，函数单调性，超越函数的处理（同构），最值问题（存在，任意逻辑关系），二次函数处理，分式函数的处理。

函数与导数

• general analysis of a function
  • T1，明确定义域（尤其是换元过的）
  • T2，观察结构（寻求是否可以处理，如三角换元，常数分离等）
  • T3，是否可以化简（尤其是三角，指数，和一些看起来很难算的结构）（绝对值不要急的去）
  • T4，有无奇偶性，有无对称轴，对称中心等
  • T5，判断单调性
  • T6，可以尝试画出草图
  • T7，还是没有思路，再试试特殊值
• 分式函数的处理
  • 三角分数型
    • 求导
    • 处理2：立f(x)=t, 移项，三角辅助角公式，值域一致解出t
    • 处理3：技巧：数形结合，转化为圆上点到某点的斜率
    • 有二次的，考虑先换元成x，再求导
  • 一次/一次 形
    • 对称中心（x,y) x是分母为0时取值，y是此时提出的常数
    • 处理：先提出常数。实在不行求导
  • 多次比多次
    • 处理1：提出常数，再同除，基本不等式（一次比二次，圆锥曲线常考）
    • 处理二：求导
• 二次函数处理
  • 注意：讨论二次系数为0！
  • 不能确定时可以带特殊值
• 最值问题（存在，任意逻辑关系）
• 超越函数的处理（同构）
  • 联系 Inx 和 e^x 的桥梁： x
    • 处理：同取 In（数级相连）
    • 注意：同构后构造的函数，注意新元定义域。
    • 对数和指数：反函数，关于y=x对称
  • 出现“幂函数·指数函数” “幂函数`·对数函数” 考虑同构
  • trick: -x*Inx=1/x * In(1/x) 出现负号联想方向
• 根式处理
  • 处理1，把根式整天换元t,注意新元定义域
  • 处理2，形如y=根号（3-tx) 当t的正负已知，可以判断整体单调性（链式法则）
  • 处理3：当x的值域为正负一，考虑三角换元（尤其是有二次时）
  • 处理4（最后方案）：把根式项单独放，平方
• 绝对值处理
  • 知识点：绝对值不等式
  • 去绝对值，根据x讨论正负
  • 平方，注意正负。（范围经常扩大，不要轻易用）
• 三角函数处理
  • 三角公式处理：目的消元
  • 周期性：分区间讨论
  • 有界性：放缩
  • 奇偶性，对称性：缩小讨论区间
• 函数单调性
  • 判据：显然or求导
  • 对于两个恒正（或者恒负）的函数
    • 相加：同增为增，同减为减（常用于判断导函数） 其余不能判断
    • 相乘：单调性相同，则单调递增；相反，则单调递减
    • 相除：分子增大，分母减小，则递增 分子减小，分母增大，则递减 其余情况不确定
    • 其余情况要求导
  • 关于对称函数
    • 轴对称：轴对称两侧函数单调性相反（导函数为相反数，对称轴处导函数为0）
    • 中心对称：对称中心两侧单调性相同（导函数相同）
  • 复合函数： f(g(x))
    • f(x), g(x)单调性一致则总体递增，不一致则总体递减
      • 复合函数的一般处理：换元，立g(x)=t
      • 题型：比较复合函数的大小：先判断外层函数单调性，在判断内层大小
      • 求导：链式法则（chain rule)
• 函数奇偶性
  • 一些性质
    • 对于偶函数，若零点数目为奇数，则f(0)=0
    • 对于奇函数，x属于R，则f(0)=0 注意x是否为R（常有坑点）
    • 对于任何奇函数，偶函数，定义域一定对称（详见对称性）
  • 复合函数奇偶性：同奇为奇，if else，都是偶函数
  • 函数奇偶性，导函数奇偶性互推：借助图像
• 对称性
  • 特征结构
    • 什么？还有人不会？
    • 卡壳的时候，可以用特殊值检验
  • 函数对称性——导函数中心对称（对称中心y=0) 真的要画图！
  • 三次函数对称中心： 二阶导为0的x
  • application
    • 定义域对称
    • 无意义的点对称：如In0, 1/0 等
    • 零点对称
    • 极值点对称
  • 波的叠加（干涉）
    • 对于f(x),g(x), 若具有相同的对称中心，相同的定义域，则两个函数图像的交点，一定也关于 那个对称中心对称（例题 大本 泉州质检）
    • 对于f(x)对称中心（a ,b1) g(x)对称中心（a ,b2) h(x)=f(x)+g(x) 则h(x)对称中心（a , b1+b2)
• 周期性
  • 基本模型：注意，周期函数可能不连续
  • 特征形式：辨析与对称性的特征形式 可以特殊值检验
  • 诸如： f(x+1)=1/ (1+f(x)) 之类乱七八糟的，写出来几项，观察出周期
  • 抽象函数（经常有周期性）
    • 处理1：赋值，常用（1，-1，,0）
    • 处理2：一般式结构
  • 通常可以用三角函数拟合未知的周期函数（前提：连续）
  • 注意辨析，周期和最小正周期
• 函数图像变换
  • 左加右减，上加下减，放大缩小要整体换元 不清楚可以用特殊值辅助记忆
• 一些非导数的函数热考题型
  • 抽象函数（写不出来表达式的函数）
    • 联系已有函数拟合
    • 无法联系（更常见）
      • 赋值，特殊值，写10项看有什么关系
      • 写10项看不出来，处理表达式，核心：找周期
  • 复合函数的零点：
    • 换元，把内函数换元成t,然后找 f(t)=0的解 t1,t2... 然后分t1=f(x),t2... 看x有几解
  • 类周期函数
    • T1,明确各段的值域
      • 画图
      • 求出解析式（不必要就别求）
    • T2，分段讨论
  • f(x)关于某个线段对称得到g(x) 处理：先找几个点对称过去，再想办法求解析式
• 导数基本题型
  • 极值点（注意：变号零点）
  • 恒成立，存在性问题（逻辑关系理清）
  • 零点问题
  • 同构
    • trick:无中生有
    • 一般来说，指数好朋友，对数单身狗
  • 切线问题
    • 注意公切线是不是切于同一点
    • 一般性：若l 切f(x),g(x) at (x1,f(x1)), (x2,g(x2)) So that f(x1)-x1*f `(x1)=g(x2)-x2*g `(x2) 无脑方法：设直线代入
  • 逆向构造（定积分） 熟悉初等函数的求导运算（积累）
• 导数基本储备知识
  • 导函数分析一般流程
    • 是否恒正负
    • 是否恒单调
    • 能否因式分解，如果能，再返回上面流程试一下
    • 啥都不能，再导一阶，重复流程
  • 零点的要素*（卡住的时候思考一下）
    • 单调性
    • 极值（导函数零点）
    • 左右的趋势
    • 连续性
  • 洛必达法则
  • 泰勒展开（比大小一般保留2，,3项）
  • 放缩（实质：寻找中间量）
    • 切线放缩（积累常见不等式，要证明，几次证明要求导几次）
    • 割线放缩（很难，要画图，看题目结构的提示）
    • 飘带放缩：飘带不等式，一般题目会有铺垫
  • 端点效应（中间点效应） 必要性探路（一般压轴题不会这么简单）
  • 选择性掌握：反函数法
• 基本方法思路
  • 求值
    • 分参
    • 讨论（根据特征分类讨论）
    • 必要性探路，充分性证明
  • 零点问题
    • 隐零点
    • 常用：零点存在定理，确定零点范围
    • 画图常有惊喜
  • 证明
    • 放缩（类型见上）
    • 主元法：放缩（借助a的临界值，和单调性）
    • 同构：所有问题都可以想一下能不能同构
    • 函数分割（凹凸反转，分而治之）（少见）
    • 数学归纳法（与数列结合时）
  • 极值点偏移

中心主题

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