中考数学必知必会

这是一篇关于中考数学必知必会的思维导图，主要内容包括：学习建议，15. 一次函数建模，14. 树状图计算概率，13. 解分式方程工程问题，12. 立方体11种展开图，11. 相似三角形应用，10. 加权平均数与方差，9. 解含绝对值的不等式，8. 配方法求二次函数顶点，7. 圆周角定理及推论，6. 解二元一次方程组，5. 圆锥/圆柱表面积与体积。

• 中考数学必知必会
• 1. 三种方法证明勾股定理
  • 方法一：赵爽弦图法
  • 构造四个全等直角三角形（直角边a,b，斜边c）拼成边长为(a+b)的正方形
  • 内部形成边长为c的小正方形
  • 面积关系：(a+b)² = c² + 4×(1/2ab)
  • 化简得：a² + b² = c²
  • 方法二：欧几里得证法
  • 在△ABC三边作正方形，证明△ABD ≌ △FBC
  • 面积转换得S(ABDE) = S(ACFG) + S(BCHI)
  • 方法三：相似三角形法
  • 作斜边高h，将原三角形分为两个小相似三角形
  • 根据相似比：a² = c×m，b² = c×n
  • 相加得a² + b² = c(m + n) = c²
• 2. 解含参数的一元二次方程
  • 步骤
  • ①化为标准形式：ax² + bx + c = 0（a≠0）
  • ②计算判别式Δ = b² - 4ac
  • 分类讨论：
  • Δ > 0：x = [-b ± √Δ]/2a
  • Δ = 0：x = -b/(2a)
  • Δ < 0：无实根
  • 例题
  • 解(k-1)x² + 2x + 1 = 0 ①当k≠1时，Δ=4-4(k-1)=8-4k ②当8-4k≥0即k≤2时，有实根 ③当k=1时，退化为一次方程2x+1=0→x=-1/2
• 3. 二次函数图像与性质
  • 图像特征
  • 开口方向：a>0向上，a<0向下
  • 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))
  • 对称轴：x = -b/(2a)
  • 最值：a>0时最小值为顶点纵坐标
  • 作图步骤
  • 确定顶点
  • 列对称点（如顶点左右各取两个点）
  • 平滑连接
• 4. 全等三角形判定定理
  • ①SSS （三边对应相等）
  • ② SAS （两边及夹角相等）
  • ③ ASA （两角及夹边相等）
  • ④ AAS （两角及非夹边相等）
  • ⑤ HL （直角三角形斜边直角边）
  • 例题
  • 已知AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，求证△ABC≌△DEF 证：符合SAS条件
• 5. 圆锥/圆柱表面积与体积
  • 圆柱
  • 侧面积：2πrh
  • 表面积：2πr(r + h)
  • 体积：πr²h
  • 圆锥
  • 侧面积：πrl（l为母线长）
  • 表面积：πr(r + l)
  • 体积：(1/3)πr²h
  • 记忆技巧
  • 圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3
• 6. 解二元一次方程组
  • 代入法
  • 从一方程解出x = ...
  • 代入另一方程求y
  • 回代求x
  • 加减法
  • 调整系数使某未知数系数相反
  • 两式相加消元
  • 解一元方程后回代
  • 例题
  • 解{2x + y = 5，x - y = 1 解：两式相加得3x=6→x=2，代入得y=1
• 7. 圆周角定理及推论
  • 定理
  • 圆周角等于所对圆心角的一半
  • 推论
  • ① 同弧所对圆周角相等
  • ② 直径所对圆周角为90°
  • ③ 圆内接四边形对角互补
  • 证明
  • 作圆心O与圆周角顶点连线，利用等腰三角形性质推导
• 8. 配方法求二次函数顶点
  • 提系数：y = 2x² -4x +1 = 2(x²-2x) +1
  • 配方：x²-2x = (x-1)² -1
  • 整理：y = 2[(x-1)² -1] +1 = 2(x-1)² -1
  • 顶点(1, -1)
• 9. 解含绝对值的不等式
  • 类型
  • |ax + b| > c 或 |ax + b| < c
  • 解法
  • ① |E| < c → -c < E < c
  • ② |E| > c → E < -c 或 E > c
  • 例题
  • 解|2x -3| ≤5
  • 解：-5 ≤2x-3 ≤5 → -2 ≤2x ≤8 → -1 ≤x ≤4
• 10. 加权平均数与方差
  • 加权平均数
  • 方差
  • 例题
  • 成绩权重： 平时30%（80分） 期末70%（90分） 加权平均分=0.3×80 +0.7×90=87
• 11. 相似三角形应用
  • 影子测量法
  • 物体高度/影子长 = 标杆高度/标杆影子长
  • 例题
  • 旗杆影长6m，1.5m标杆影长2m，求旗杆高 解：H/6 =1.5/2 → H=4.5m
• 12. 立方体11种展开图
  • 记忆口诀
  • 一四一型6种，一三二型3种，三三型1种，二二二型1种
  • 典型展开图
• 13. 解分式方程工程问题
  • 步骤
  • ①设未知数，如工作总量为1
  • ②列工作效率：甲1/x，乙1/y
  • ③根据合作时间列方程
  • ④检验分母不为零
  • 例题
  • 甲独做需6天，乙独做需4天，合作需几天？ 解：1/(1/6 +1/4)=1/(5/12)=2.4天
• 14. 树状图计算概率
  • 步骤
  • ①列出所有等可能结果
  • ②标记符合条件的结果数
  • ③概率=符合数/总结果数
  • 例题
  • 抛两次硬币，求至少一次正面 解：{正正,正反,反正,反反}，符合3种，P=3/4
• 15. 一次函数建模
  • 步骤
  • 确定变量（x-自变量，y-因变量）
  • 找两组对应值求k,b
  • 验证模型合理性
  • 例题
  • 某打车软件起步费10元，每公里2元写出费用y与里程x关系 解：y=2x+10
• 学习建议
  • 制作"几何定理速查卡"随身记忆
  • 用GeoGebra动态验证函数图像
  • 建立"典型错题档案馆"分类整理
  • 每周进行1次数学建模实战训练
  • 使用"费曼学习法"讲给同伴听
  • 通过系统掌握这15项核心能力，
  • 可快速提升数学思维与解题能力。
  • 建议配合《初中数学经典题精解》针对性训练。