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这是一篇关于8.4椭圆的思维导图，主要内容包括：椭圆的定义及标准方程，椭圆的基本性质。介绍详细，描述全面，希望对感兴趣的小伙伴有所帮助！
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8.4椭圆
椭圆的定义及标准方程
椭圆的定义
椭圆的第一定义
平面上到两定点的距离之和为定值(2a>F1F2)的动点的轨迹为椭圆
当2a>2c的时候，动点轨迹为椭圆
当2a=2c的时候，动点轨迹为线段F1F2
当2a<2c的时候，轨迹不存在
椭圆的第二定义（比值定义法）
平面上到定点F的距离与到定直线l(准线，F不在l上)的距离之比为定值e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆
在构建椭圆标准方程的过程中就可以顺手推导出
椭圆的第三定义
平面上与两定点连线的斜率之积为定值(-1,0)的动点的轨迹为椭圆(不包含两定点）
椭圆上任意一点与椭圆上关于原点对称的两个点(不重合)连线的斜率之积为定值
椭圆与圆的关系
椭圆是由圆压缩所得
圆的离心率可以看做是0，当圆被挤压的时候圆心就偏移成两个，偏移程度就是离心率，所以离心率越大，椭圆越扁，焦点离定点越近；离心率越小，椭圆越圆，焦点离原点越近
当离心率等于1的时候，曲线由椭圆突变为了抛物线
当离心率大于1的时候，曲线为双曲线，离心率越大，双曲线开口越大；离心率越小，双曲线开口越小
由第二定义的推演逻辑也可以看出圆、椭圆、抛物线、双曲线的演化逻辑
椭圆的标准方程
两种情况
焦点位于x轴上
焦点位于y轴上
构建过程
在构建椭圆标准方程的过程中体会"简化"的思想
引申出椭圆的第二定义：比值定义法
在给定条件下求椭圆的标准方程
分类讨论思想
在焦点不确定在哪个坐标轴上的时候进行分类讨论
共焦点椭圆系
共离心率椭圆系
统一方程
焦点在x轴
焦点在y轴
圆
统一方程适用于已知椭圆上面两个点求椭圆的标准方程
伏笔：统一方程其实也可以表示双曲线
椭圆的参数方程
参数化
椭圆的基本性质
以焦点在x轴上的椭圆为研究对象
端点
对称性
椭圆关于x轴，y轴，原点对称
光学特征
一光线从F1出发，经过椭圆发生反射，反射光线必然经过点F2
最值范围
最值范围问题的解决方式
代数法
参数方程法
x,y的取值范围
焦半径、焦点弦
焦点弦长|AB|
AB过F1
AB过F2
通径长
最短的焦点弦长为通径长
当P点位于短轴端点时，mn取最大值
当P点位于长轴端点时，mn取最小值
在此也可以去根据椭圆的对称性定性分析
也可以用消元法求解
范围
[a-c,a+c]
证明过程
代数化与消元二次函数取最值
参数方程
椭圆第二定义法
焦半径、焦点弦与直线倾斜角q的关系
利用定义转化
离心率
离心率的取值范围
离心率越大，椭圆越接近于线段
离心率越小，椭圆越接近于圆
离心率与a，b的关系
给定条件求离心率及其范围
求离心率：构建a,b,c的齐次等式
求离心率的范围：构建a,b,c的齐次不等式
焦点三角形
周长定值
由此也能够得到mn的范围
面积
当且仅当p点位于短轴端点时面积取最大值
焦点三角形与内切圆
焦点三角形与离心率
