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有理数

这是一篇关于有理数的思维导图，主要内容包括：二元一次方程组，一元一次方程，代数式，有理数的分类，相反数，绝对值进阶(2)，绝对值进阶(3)，绝对值进阶(1)，绝对值，有理数的四则运算，乘方，巧算（裂项），混合运算，倒数与负倒数，数轴，分类，正数负数。

编辑于2025-03-20 23:58:01

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有理数

正数负数

正数

大于零的数都是正数

负数

在正数前加上”-”的数叫做负数

概要

正数大于零负数小于零

零既不是正数也不是负数

正数前面的“+”可以省略，负数前的“-”不能省略

相反意义

正数表示某种意义，负数表示它的相反的意义

相反的意义，分别是指相反的意义和相反意义的基础上要有的量

量是指种类单位必须一致

相反意义不是不同意义：比如男生和女生

有最小的正负整数，没有最小的正负数

分类

整数

有限小数

循环小数

无限不循环小数

不能化分数

无理数（实数）

数轴

数轴必须是直线

三要素

原点

区分正负（零所在的位置）

正方向

数字变大（规定向右）

单位长度

计算基础（统一）

单位长度和长度单位是两个不同的概念

定义

规定三要素，用来表示数的一种直线

思考

所有的有理数均可在数轴上表示

数轴上的点不一定都是有理数

概要

数轴包括有理数和无理数

有理数与数轴的关系并非一一对应

与实数是一一对应的

总结

零左边的数小于右边数

负数<零<正数

零右边的数减去左边的数差为正数

数轴的中点公式

c-a=b-c

c+c=b+a

c=(b+a)/2

负数比大小

绝对值大的反而小,绝对值小的反而大

倒数与负倒数

定义

a与b互为倒数⇒ab=1

a与b互为负倒数⇒ab=-1

负倒数.倒数的相反数

例如三的负倒数为负三分之一

零没有倒数,倒数为本身的数是±1

没有负倒数为其本身的数

零没有负倒数

混合运算

三从

从高到低

先乘方，再乘除，再加减

从小到大

先求小括号，再求中括号，再求大括号

从左到右

从左到右计算

四得

优先得0

优先得整数

优先得符号，再得绝对值

有理数加减混合运算的步骤

运用减法法则，把算式中的减法转化为加法

省略加号与括号

利用加法法则和加法运算率简化运算

巧算（裂项）

分母

是否裂项

符号

裂差或者裂和

科学技术法

把一个大于10的数表示成A ×10的N次方的形式（其中一小于等于A小于10，N是正整数）

有效数字

从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字（从高位到低位，首位非零数之后所有）

乘方

标准形式

a是底数，n是指数，读作A的次幂

负数的乘方

（-1）的平方=1

（-1）的次方=-1

（-1）的2015次方=-1

概要

多重符号化简

多个负数连乘

负数的次方

概要

奇负偶正

易错题

(-1)的四次方=1

-(1的N次方)=-1

拓展

当X不等于零时,x的零次方=1

当X不等于零时,x的-2次方等于X的平方分之一,x的-1次方等于X的1次方分之一

x负二次方，等于，X的零减二次方，等于X的二次方分之X的零次方，得出X的二次方分之一

有理数的四则运算

加减法计算

加法

总结

同号相加，符号不变，绝对值相加异号相加，符号取决大，大绝对值减小绝对值

运算律

交换律

两个加数相加，交换加数的位置，和不变

结合律

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加

减法

A-B=A +(-B) 减去1个数=加上这个数的相反数

大-小

直接算

小-大

-（大-小）

正-负

正

有理数的乘除运算法则

乘法

法则

概念

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

注意

先定符号，再将绝对值相乘

任何数同零相乘，都得零

运算律

交换律

两个数相乘，交换两数的位置，积相等

结合律

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等

分配律

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加

多个数相乘（先定积的符号，再将绝对值相乘）

乘法法则

几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数，当负因数的个数是偶数时，积为正数

几个数相乘，如果有一个因数为零，则积为零

举例

三个负号，结果为负

四个负号，结果为正

除法

法则

概念

除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除

0除以任何一个不等于零的数，都得零

绝对值

定义

数轴上表示数A的点与原点的距离叫做A的绝对值

意义

一个数去掉符号，记作|a|

规则

|a|=

a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)

|正数|=正数，|负数|=负数,|0|=0

绝对值的性质

非负性

|a|≥0

|a-3b-3c-3d|≥0

进阶

若|a|+|b|=0,则a=b=0

若|3x-y|与|2x+6|互为相反数,则3x-y=2x+6

双解性

|x|=5⇒x=±5

|a|=b,则

b<0 a无解

b=0 a=0

b>0 a=±b

|a|=|b|,则a=±b

绝对值等于本身的数是≥0的数

绝对值进阶(1)

绝对值的双解性,非负性

绝对值定义

数轴上表示数A的点与原点的距离叫做数A的绝对值，记作|a|（几何定义）

代数意义

一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零

原理

|a|=

a（a>0)

0(a=0)

-a(a<0)

深入

相反数

|a|=a a大于等于0

|a|=-a a小于等于0

|a-b|

-a+b

a-b

给范围化简

判断每个”|……|“内部的整体正负

逐个去掉”|……|“变

正数，直接去掉（）

负数，取相反数

去括号，合并同类项

绝对值的性质

非负性

双解性

绝对值的化简

零点分段讨论法

零点讨论法的目的

解决无范围限定的化简绝对值题型

零点分段讨论法的四重境界

化简|a|

a（a>0)

0(a=0)

-a(a<0)

化简|a-1|

a-1（a>1)

0(a=1)

-a+1(a<1)

化简|a-1|+|a+2|

-2a-1（a<-2)

3(-2小于等于a小于等于1)

2a+1(a>1)

化简|a-1|+|1/2 a-3|

- 3/2 a+4（a<1)

1/2 a+2(1小于等于a小于等于6)

3/2 a-4(a>6)

总结

零点

使绝对值等于零的未知数的值积为零点,有几个绝对值,就有几个零点

方法

寻找所有零点,并在数轴上表示

依据零点将数轴进行分段

分别根据每段未知数的范围去绝对值

作用

化简含有绝对值的式子，且可以求最值

绝对值进阶(3)

绝对值进阶(2)

讨论

直接讨论

|a|/a

-1

变形讨论

数量变形

|a|/a+|b|/b

±2

|a|/a+|b|/b+|c|/c

±1

±3

|a|/a+|b|/b+|c|/c+|d|/d

±2

±4

|a1|/a1+|a2|/a2+|a3|/a3+……+|an|/an

±1 ±3 ±5 …… ±n(n为奇数)

0 ±2 ±4 ……±n(n为偶数)

结论变形

|a|/a+b/|b|

±2

|a|/a+|b|/b+|ab|/ab

-1

|a|/a+|b|/b+|c|/c+|abc|/abc

±4

|ab|/ab+|bc|/bc+|ac|/ac

-1

|a|/a+|b|/b+|c|/c+|ab|/ab+|bc|/bc+|ac|/ac+|abc|/abc

-1

限制条件(减少分讨论次数)

ab>0 则ab两正或两负

同号

ab<0 则ab一正一负

异号

a+b>0 则ab两正或一正一负

a+b<0 则ab两负或一正一负

a+b+c=0 则abc两正一负或一正两负

abc>0 则abc三正或一正两负

abc<0 则abc三负或两正一负

abc>0 a+b+c=0则abc一正两负

核心分类讨论

并不关心谁正谁负关心的是几正几负

相反数

定义

几何

位于原点两侧,且到原点距离相同

代数

A与B互为相反数(a+b=0)

符号相反的两个数

特别注意:零的相反数是零

考点

整体求相反数

“-”

减号（小学）

负号（初中)

相反数

多重符号化简,奇负偶正。-（-2）

有理数的分类

按符号分类

正有理数

正整数

正分数

零

负有理数

负整数

负分数

按定义分类

整数

正整数

零

自然数

负整数

分数

正分数

负分数

小数

有限小数（可以化成分数）

无限小数

无限循环小数（可以化成分数）

无限不循环小数（不可以化成分数，是无理数）

“六非”

非正数

零

负数

非负数

零

正数

非正有理数

零

负有理数

非负有理数

零

正有理数

非正整数

零

负整数

非负整数

零

正整数

定义

整数与分数统称为有理数

代数式

代数式的基本概念

代数式基础知识

分类(1)

有理式

整式

单项式

多项式

分式

无理式

分类(2)

整式

分式

概念

根式

定义

用基本运算符号连接数与字母的式子

单独的一个数或者字母是代数式

含有等号，不等号，或者约等号等含有关系符号的式子都不是代数式，只有一块

整式与分式

整式

单项式与多项式的统称

分式

分母含有字母的代数式

判定，不化简

单项式

定义

数与字母的乘积形式

单独的一个数或者字母是单项式

不含有”±“连接

比如

3x（单个数或单个字母为单项式）

（a+b)/2(多项式)

1/m(分式)

次数

单项式中所有字母的指数和

系数

单项式中的数字因数叫单项式的系数

书写规范

数字在前，字母在后

乘号省略，除号写成分数线

系数为±1时的，省略数字1

指数为1，系数为1，皆可省略不写

带分数化为假分数

相同项连乘写成幂的标准形式