初中代数核心思维导图

主要概述了一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程及一元一次不等式的内容，同时简要介绍了分式方程、一元一次不等式组及特殊情景下的解法和适用性条件。

初中代数核心思维导图（量与量之间的关系）

• 方程
  • 一元一次方程
    • 定义（一般形式）
      • ax+b=0(a≠0)
    • 步骤
      • 去分母
      • 去括号
      • 移项
      • 合并同类项
      • 系数化为一
  • 二元一次方程组
    • 定义（一般形式）
      • a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂
    • 解法
      • 代入消元法
      • 加减消元法
  • 一元二次方程
    • 一般形式
      • ax² + bx + c = 0 （a≠0）
    • 解法
      • 直接开平方法
        • 适用于x² = a或(ax + b)² = c
      • 因式分解法
      • 伟达定理
        • 内容：两根之和：x₁ + x₂ = -b/a 两根之积：x₁ x₂ = c/a
          • 扩展：x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂)
          • 特殊情景：一根为0 ⇔ c=0 两根互为相反数 ⇔ b=0 两根互为倒数 ⇔ a=c
        • 要求：当Δ≥0时，定理才适用（有实根）
      • 十字相乘法
      • 配方法（公式法）
        • 化成一般形式
          • 求根公式：= [-b±√(b²-4ac)] / 2a
          • 判别式△＞0：两个不相等的实数根 △=0：两个相等的实数根 △＜0：无实数根
  • 分式方程
    • 关键步骤
      • 去分母或分母有理化（化为整数方程）
      • 检验
        • 目的：防止增根
  • 不等式
    • 基础概念
      • 定义：用＞、＜、≥、≤连接的式子
      • 性质
        • 传递性（a＞b且b＞c ⇒ a＞c）
        • 加减同数不变号（a＞b ⇒ a±c＞b±c）
        • 解集表示： 区间表示法（如x∈(2,5]） 数轴表示法（空心/实心点）
    • 种类
      • 一元一次不等式
        • 解法步骤
          • 去分母（注意分母正负）
          • 去括号
          • 移项
          • 系数化1（负数要变号）
        • 口诀
          • 同向取边，异向取交，矛盾无解
      • 一元一次不等式组
        • 解集确定
          • 同大取大（x＞a且x＞b ⇒ x＞max{a,b}）
          • 同小取小 大小交叉取中间 无解情况（x＞a且x＜b，当a≥b时）
        • 口诀
          • 大于取两边，小于取中间
• 函数
  • 概念
    • y=f(x)
  • 常见函数
    • 一次函数(y = kx + b)
      • 特殊:正比例函数(y=kx)
        • 图像：一条过原点的直线
      • 图像与性质
        • k＞0
          • b＞0
            • 第一,二,三，像线
          • b＜0
            • 第一,三,四，像线
          • Y随x增大而增大
        • k＜0
          • b＞0
            • 第一,二,四，像线
          • b＜0
            • 第二,三,四，像线
          • Y随x增大而减小
        • 性质
          • 图像:一条直线
          • 斜率（k）:决定倾写方向和程度
          • 截距（b）:与y轴交点（0，b）
        • 性质
          • k＞0:直线位于Y轴正半轴
          • k＜0:直线位于Y轴负半轴
          • k的绝对值越大越陡
          • b＞0:直线位于X轴正半轴
          • b＜0:直线位于X轴负半轴
    • 二次函数（y = ax² + bx + c）
      • 图像与性质
        • 图像:抛物线
          • 最值:( a > 0 )时，y有最小值 ( a < 0 )时，y有最大值
          • 与y轴交点：（0，c）
        • 对称轴 x=-b/2a
        • 开口方向
          • a＞0:开口向上
            • 左减右增
          • a＜0:开口向下
            • 左增右减
      • 基本形式
        • 一般形式:( y = ax2 + bx + c )
        • 顶点式:( y = a(x - h)2 + k )
          • 顶点坐标(h,b)
        • 交点式：( y = a(x - x1)(x - x2)
          • 与x轴交点：（0，x1）(0,x2)
        • a≠0
      • 顶点坐标（-b/2a，(4ac-b²)/4a）
      • 与方程不等式的关系
        • 与x轴交点解方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ），判别式（△Delta = b2 - 4ac )
        • △>0：两个不同实数根（与x轴两交点）
        • △=0：一个实数根（顶点在x轴上）
        • △<0：无实数根（不与x轴相交）
        • ( ax2 + bx + c > 0 )：取抛物线在x轴上方的区间
        • ( ax2+ bx + c < 0 )：取抛物线在x轴下方的区间
    • 反比例函数
      • 一般形式(定义)：y= k/x（k≠0）
        • xy=k
        • y=x-1k
      • 性质
        • 图像
          • 双曲线
          • k＞0:一,三象线
            • 增减性：Y随x增大而减小
          • k＜0二,四象线
            • 增减性：Y随x增大而增大
        • 对称性
          • 关于原点对称
      • 平移
        • 左右平移:( y =k÷(x-h) )对称中心变为(h, 0)
        • 上下平移:( y =k÷x+ m )渐近线变为( y = m ）
      • K的绝对值越大开口越小
      • 比例系数k的几何意义
        • 矩形面积：双曲线上任意一点( P(x, y) )与坐标轴围成的矩形面积恒为( |k| )（即( |xy| = |k| ）
        • 三角形面积：连接点( P\)、原点及坐标轴垂足，形成的三角形面积为|k|÷2
      • 与一次函数结合
        • 求交点：联立方程y=k÷x和y=mx+b，转化为二次方程求解
        • 几何意义：交点个数由判别式决定（0、1或2个交点）
• 归纳总结
  • 方程与函数可以互相转化即静态的数值解转化为动态的图像趋势急性质
• 口诀
  • 横坐标负2a分之b，纵坐标代入求
• 口诀
  • 一元二次求根公式："2a分之负b加减根号b方减4ac