导图社区 数学知识点总结
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数学知识点总结
涵盖了集合和充要条件、不等式、函数、指数函数与对数函数、椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的方程、平面向量、数列等详细知识点，内容详实、条理清晰、易于理解，是你不可或缺的学习助手。
编辑于2025-04-11 10:41:01- 不等式
- 平面向量
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- 大纲
数学知识点总结
第一章：集合和充要条件
集合
集合的元素的性质
确定性
互异性
无序性
元素与集合的关系
a ∈A➡️a属于A
a ∉A➡️a不属于A
常见的数集
N——自然数集
N*或N+ ——正整数集
Z ——整数集
Z+——正整数集
Z- ——负整数集
Q ——有理数集
Q+ ——正有理数集
Q- ——负有理数集
R ——实数集
R+ ——正实数集
R- ——负实数集
∅ ——空集
C ——复数集
集合的表示方法
有限集
列举法
例如：｛a，b，c，d｝
无限集
描述法
例如：｛x｜x >1｝
集合之间的关系
A ⊆B（谁大开口朝谁）
读作集合A是集合B的子集或A包含于B或B包含A
A =B
读作集合A是集合B的子集
A ⫋ B（谁大开口朝谁）
读作集合A是集合B的子集或A真包含于B或B真包含A
集合子集和真子集个数公式
子集
2 ⁿ（n ∈N*）
非空子集
2 ⁿ-1（n ∈N*）
真子集
2 ⁿ-1（n ∈N*）
非空真子集
2 ⁿ-2（n ∈N*）
集合的运算
交集
集合A与集合B的公共部分
A∩B =｛x｜x ∈A且x ∈B｝
集合A与集合B的交集
并集
集合A和集合B的所有部分
A∪B=｛x｜x∈A且x∈B｝
集合A与集合B的并集
补集
设U为全集，集合A是全集U的子集，则在全集U中不属于子集A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CuA
得摩根定律
Cu（A∩B）=Cu A∪Cu B
Cu（A∪B）=Cu A∩Cu B
充要条件（小范围=>大范围）
充分条件
p =>q（前者推后者）
必要条件
p <＝q（后者推前者）
充要条件
p <=>q（前后互推）
第二章：不等式
不等式的性质
区间
有限区间
开区间（不含端点）
（a，b）➡️ ｛x｜a<x<b｝
闭区间（含有两个端点）
[a，b] ➡️ ｛x｜a ≤ x ≤ b｝
右半开区间（只含左端点）
[a，b）➡️ ｛x｜a ≤ x < b｝
左半开区间（只含右端点）
（a，b ] ➡️ ｛x｜a < x ≤ b｝
无限区间
“ -∞ ”，读作负无穷
（-∞，b）➡️ ｛x｜x<b｝
（-∞，b ] ➡️ ｛x｜x ≤b｝
“ ∞ ”，读作无穷
（a，+∞）➡️ ｛x｜x>a｝
[ a，+∞）➡️ ｛x｜x ≥ a｝
（-∞，+∞）➡️ R
一元一次不等式
一元二次不等式
含有绝对值不等式的性质
｜a｜+｜b｜≥｜a+b｜≥｜a｜-｜b｜
｜a1｜+｜a2｜+⋯+｜an｜≥｜a1+a2+⋯+an｜
分式不等式
含绝对值的不等式
｜x｜＜a
a>0
-a<x<a
a ≤0
∅
｜x｜>a
a ≥0
x>a或x<-a
a<0
R
｜x｜≤a
a>0
-a ≤x ≤a
a=0
x=0
a<0
∅
｜x｜≥a
a>0
x ≥a或x ≤-a
a=0
R
a<0
R
第三章：函数
函数的概念
y=f（x）=ax+b
自变量x的取值范围叫做函数的定义域
因变量y的取值范围叫做函数的定义域
解析式
一次函数
y=kx+b （k≠0）
反比例函数
y=k/x （k≠0）
二次函数
y=ax²+bx+ c (a≠0)
函数的性质
单调性
增函数
当x1，x2 ∈（a，b），x1>x2，f（x1）>f（x2），图像自左向右呈上升趋势
减函数
当x1，x2 ∈（a，b），x1>x2，f（x1）< f（x2），图像自左向右呈下降趋势
技巧
一次函数
y=kx+b（k≠0）
当k>0时，为增函数
当k<0 时，为减函数
二次函数
y=ax²+bx+ c (a≠0)
顶点坐标（x，y）
对称轴：x=-b/(2a)
最高（a<0）/低（a>0）点：y（max/min）=4ac-b²/4a
反比例函数
y=k/x（k≠0）
当k>0时，为减函数
当k<0 时，为增函数
奇偶性
偶函数
f（-x）=f（x）
图像关于y轴对称
奇函数
f（-x）=-f（x）
图像关于原点对称
技巧
一次函数
y=kx+b（k≠0）
当b=0 时，为奇函数
当b≠0 时，为偶函数
二次函数
y=ax²+bx+ c (a≠0)
当b= 0 时，为偶函数
当b≠ 0 时，为奇函数
第四章：指数函数与对数函数
实数指数幂
分数指数幂
n次根式
一般，如果x ⁿ=a（n∈N*且n>1），那么x叫做a的方根； 形如ⁿ √a （n∈N*且n>1）的式子叫做a的n次根式，其中，n叫做根指数，a叫做被开方数
当n是奇数时，ⁿ√a ⁿ=a ；
当n是偶数时，ⁿ√a ⁿ=｜a｜=➡️
a（a ≥0）
-a（-a（a<0）
分数指数幂
a^（m/n） = ⁿ √a^m （a>0，m、n ∈N*，n>1）
a^-（m/n）=1/a^（m/n） =1/ （ⁿ √a^m） （a>0，m、n ∈N*，n>1）
注意⚠️：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运算法则
a^m · a^n=a^（m+n） （a>0，m、n∈R）
（a^m）^n=a^（mn ） （a>0，m、n∈R）
（ab）^n=a^n ·b^n （a>0，m、n∈R）
幂函数
定义
一般地 y=x^a （a∈R）的函数叫幂函数
特征
①解析式右边是一个幂
②系数为1
③底数为自变量x
④指数是常数a
性质
①幂函数都在第一象限有图像，第四象限没有图像。 幂函数图像都通过点（1，1）
②当a为奇数时，幂函数为奇函数； 当a为偶数时，幂函数为偶函数
③幂函数在第一象限，a＞0为增函数；a＜0为减函数
④指数越大，越靠近y轴
比大小
①底数相同且x＞1的幂函数，比较指数，指数越大，幂越小
②底数相同且0＜x＜1的幂函数，比较指数，指数越大，幂越小
③指数相同且a＞0，比较底数，底数越大，幂越大
④当指数和底数都不同时，则把两者都和中间值“1”比较
指数函数
定义
一般地，y＝a^x （a＞0且a≠1）的函数叫做指数函数 指数函数定义域为R，值域为（0，+∞）
特征
①系数为1
②底数为常数a
③指数为自变量x
性质
a>1
⑴定义域：R
⑵值域：（0，+∞）
⑶定点：（0，1），即x＝0，y＝1
⑷单调性：是R上的增函数
⑸奇偶性：非奇非偶函数
0<a<1
⑴定义域：R
⑵值域：（0，+∞）
⑶定点：（0，1），即x＝0，y＝1
⑷单调性：是R上的减函数
⑸奇偶性：非奇非偶函数
运算法则
a^m · a^n=a^（m+n）
（ab）^m=a^m · b^m
a^-m=1/a^m
a^m / a^n=a^（m-n）
（a/b）^m =a^m / b^m
a^0=1 （a≠0）
对数
定义
x＝㏒a^N （a＞0，a≠1）➡️ a^x=N a叫做对数的底数，N叫做对数的真数
特征
底数a>0，a≠1，真数N>0
a^x=b叫做指数式，㏒a^N=x叫做对数式
常用对数：以10为底的对数
㏒10N——lgN
自然对数：以e为底的对数（e≈2.71828⋯）
㏒eN——lnN
性质
①㏒a^1=0
②㏒a^a=1
③N＞0，即零和负数无对数
④对数恒等式：a^㏒aN=N
⑤㏒a^ a^x=x(a＞0,且a≠1）
公式
换底公式：㏒a^b=lgb/lga
倒数：㏒a^b=㏒b^b/㏒b^a=1/㏒b^a
运算法则
㏒a^b^n=n㏒a^b
真数相乘，整体想加
lg (M·N）=lgM+lgN（M>0，N>0）
真数相除，整体相减
lgM/N=lgM-lgN
loga^m^（b^n）=n/m loga^b
loga^b·logb^c·logc^d=loga^d
对数函数
定义
y=loga^x（a>0，且a≠1）x为自变量
特殊的对数函数
常用对数函数
y=lgx
自然对数函数
y=lnx
性质
0<a<1
⑴定义域：（0，+∞）
⑵值域： R
⑶过定点：（1，0），即x＝1时，y＝0
⑷单调性：在（0，+∞）上为减函数
⑸0＜x＜1时，y＞0 x＞1时，y＜0
a>1
⑴定义域：（0，+∞）
⑵值域： R
⑶过定点：（1，0），即x＝1 时，y＝0
⑷单调性：在（0，+∞）上为增函数
⑸0＜x＜1时，y＜0 x＞1时，y＞0
对称性
y＝㏒a^x与y＝㏒1/a^x图像关于x轴对称
第五章：数列
等差数列
定义
项数：n
等差：d
求和：S
等差定义
d＝a（n+1）-an （n≥1）
等差通项公式
an＝a1+（n-1）d
等差中项
a，A，b
A＝（a+b）/2
等差求和公式
Sn=（a1+an）·n/2
Sn=n·a1+n·（n-1）·d/2
等差数列的性质
an-am=（n-m）·d
m+n=p+q时，am+an=ap+aq
m+m=p+q时，am+am=ap+aq
等比数列
定义
项数：n
公比：q
求和：S
等比定义
q＝a（n+1）/an （n∈N*）
等比通项公式
an=a1·q^（n-1）
等比中项
a，G，b
G^2=ab
等比求和公式
Sn=a1-a1·q^n/1-q （q≠1）
第六章：平面向量
定义
向量
既有大小，又有方向的量
数量
只有大小，没有方向的量
有向线段三要素
起点、方向、长度
向量的模
向量的大小（长度）
向量a的模记作｜a｜
零向量
模为零的向量
单位向量
模为1的向量
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的两个非零向量互相平行的向量
记作a//b
规定：零向量与任何一个向量平行
相等向量
方向相同，模相等
相反向量
方向相反，模相等
平面向量的加法
三角形法则
a+b=AB+BC=AC
平行四边形法则
AB+AD=AB+BC=AC
平面向量的减法
a-b=a+（-b）
平面向量的数乘运算
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa
它的模长为｜λa｜=｜λ｜｜a｜
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反
平面向量的坐标表示
A（x1，y2),B(x2,y2) AB=(x2-x1,y2-y1)
向量线段运算的坐标表示
a(x1,y1) , b(x2,y2) a+b=(x1+x2,y1+y2) a-b=(x1-x2,y1-y2) λa=(λx1, λy1)
共线向量的坐标表示（平行）🌟
a//b⇔x1y1-x2y2=0 （交叉相乘再相减等于0）
平面向量的内积
cos ：余弦
a·b=｜a｜｜b｜cos＜a，b＞
平面向量的内积的坐标表示🌟
a（x1，y1），b（x2，y2）
a·b=x1x2+y1y2
|a|=√x²+y²
cos＜a，b＞=(a•b)/(|a||b|)=(x1x2+y1y2)/(√x1²+y1² · √x2²+y2²)
“⊥”垂直🌟
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
第七章：直线和圆的方程
两点间的距离与线段中点的坐标
两点间的距离
在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1），P2（x2，y2）
｜p1p2｜=√（x2-x1）²+（y2-y1）²
线段中点的坐标
P0（x0，y0）
x0=(x1+x2)/2 , y0=(y1+y2)/2
直线的方程
直线的倾斜角与斜率
倾斜角a（a≠90°）的正切值叫做直线l的斜率，用小写字母k表示
k＝tan a k＝（y2-y1）/（x2-x1） （x1≠x2）
当a≠90°时，x1≠x2，tan a=（y2-y1）/（x2-x1） 当a＝90°时，x1＝x2，tan a的值不存在
直线的点斜式方程
y-y0=k（x-x0）
直线的斜截式方程
y=kx+b （b：在y轴上的截距）
⚠️注：求y轴截距，x=0 求x轴截距，y=0
直线的一般式方程
Ax+By+C=0 （其中A、B不全为0）
点斜式→一般式：kx-y+y0-kx0=0
斜截式→一般式: kx-y+b=0
两条直线的位置关系
两条直线位置关系
当直线L1,L2的斜率都存在时，设L1:y=k1x+b1 , L2:y=k2+b2
两条直线平行
K1=k2,b1≠b2
两条直线重合
k1=k2,b1=b2
两条直线相交
k1≠k2
两条直线垂直
k1·k2=-1
点到直线的距离
点到直线的距离公式
点P0（x0，y0）到直线L：Ax+By+C=0的距离（d）
d=|Ax0+By0+C| /√A²+B²
两平行线之间的距离
L1:Ax+By+C1=0 , L2:Ax+By+C2=0,求L1与L2之间的距离
d=|C1-C2| /√A²+B²
圆的方程
圆的标准方程
过点（a，b），（x-a）²+（y-b）²=r²
当点（a，b）为（0，0）时，x²+y²=r²
圆的一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0（其中D²+E²-4F＞0） D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²
⚠️注：含x²项的系数与含y²项的系数都是1
当D²+E²-4F＞0时，圆心在（-D/2，-E/2），半径为√D²+E²-4F/2
直线与圆的位置关系（比较d与r的大小）
三种关系
相离
无交点
相切
仅有一个交点
相交
有两个交点
直线Ax+By+C=0与圆（x-a）²+（y-b）²=r²的位置关系
当d＞r时，直线与圆相离
当d = r时，直线与圆相切
当d＜r时，直线与圆相交
第八章：椭圆、双曲线、抛物线
椭圆
定义
到两个定点的和等于定长的点的集合，叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
椭圆的方程
焦点在x轴上
标准方程
x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）
总结：a²＝b²+c²
焦点坐标
（±c，0）
顶点坐标
（±a，0）（0，±b）
离心率
e=c/a=√（1-b²/a²）
焦点在y轴上
标准方程
y²/a²+x²/b²=1（a＞b＞0）
总结：a²＝b²+c²
焦点坐标
（0，±c）
顶点坐标
（0，±a）（±b，0）
离心率
e=c/a=√（1-b²/a²）
知识点
焦距：｜F1F2｜=2c
长轴长：2a
短轴长：2b
双曲线
定义
平面内到两个定点F1F2的距离之差的绝对值为常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线
双曲线的方程
焦点在x轴上
标准方程
x²/a²-y²/b²=1（a＞b＞0）
焦点坐标
（±c，0）
a，b，c的关系
c²＝a²+b²
顶点坐标
（±a，0）
渐进线
y＝±（b/a）x
离心率
e=c/a=√（1-b²/a²）
焦点在y轴上
标准方程
y²/a²+x²/b²=1（a＞b＞0）
焦点坐标
（0，±c）
a，b，c的关系
c²＝a²+b²
顶点坐标
（0，±a）
渐进线
y＝±（a/b）x
离心率
e=c/a=√（1-b²/a²）
知识点
焦距：｜F1F2｜=2c
实轴长：2a
虚轴长：2b
抛物线
定义
一般的，平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹(或集合）叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
抛物线的方程
焦点在x轴上
正半轴
标准方程
y²＝2px（p＞0）
焦点坐标
（p/2，0）
准线方程
x=-p/2
负半轴
标准方程
y²＝-2px（p＞0）
焦点坐标
（-p/2，0）
准线方程
x=p/2
焦点在y轴上
正半轴
标准方程
x²＝2py（p＞0）
焦点坐标
（0，p/2）
准线方程
y=-p/2
负半轴
标准方程
x²＝2py（p＞0）
焦点坐标
（0，-p/2）
准线方程
y=p/2