导图社区 平面向量及解三角形
这是一篇关于平面向量及解三角形的思维导图，主要内容包括：平面向量，解三角形。具体包括向量的定义、基本概念、表示方法、运算法则、坐标表示以及在实际问题中的应用。
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平面向量及解三角形
平面向量
向量的基本概念
向量的定义
既有大小又有方向的量
向量的表示
有向线段（起点、方向、长度），字母表示（a等）
特殊向量
零向量（模为 0，方向任意），单位向量（模为 1），相等向量（大小相等且方向相同），相反向量（大小相等方向相反）
向量的运算
向量的加法
运算法则
三角形法则（首尾相连，首指向尾），平行四边形法则（共起点，对角线）
运算律
交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)
向量的减法
三角形法则
共起点，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点
向量的数乘
定义
λa，λ为实数，模为∣λ∣∣a∣，方向根据λ正负确定
λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
向量的数量积
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ（θ为a与b的夹角）
性质
a⋅a=∣a∣²
a⊥b⇔a⋅b=0
交换律a⋅b=b⋅a
分配律(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
向量的坐标运算
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)
坐标运算
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a−b=(x1−x2,y1−y2)
λa=(λx1,λy1)
a⋅b=x1x2+y1y2
向量模长
∣a∣=x1²+y1²
向量平行与垂直的坐标表示
a∥b⇔x1y2−x2y1=0
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
|a-b|=|a+b|
做题时可用到的方法总结
基底法
选取合适的两个不共线向量作为基底，将其他向量用基底表示，然后通过基底向量的运算来解决问题。例如，在三角形中，常选取三角形的边对应的向量作为基底。
若已知向量AB和AC，对于向量AD，若BD:DC=m:n（D在BC上），则AD=（m+nn）AB+（m+nm）AC。这是一个常用的结论，可以快速将向量用基底表示。
坐标法
建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算来解题。当题目中出现特殊的角度（如直角）、特殊的图形（如矩形、正方形等）时，坐标法往往比较方便。
对于一些复杂的向量问题，可通过设点的坐标来表示向量。比如，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2−x1,y2−y1)。然后根据已知条件列出方程或方程组求解。
注意事项
向量的方向：向量具有方向，在进行向量运算时，要注意方向的一致性。例如，向量的加法和减法遵循三角形法则或平行四边形法则，方向的错误会导致结果错误。
向量的模与数量积的区别：向量的模是一个非负实数，表示向量的长度；而数量积是一个实数，它等于两个向量的模与它们夹角余弦值的乘积。不要混淆两者的概念和运算。
夹角的范围：向量夹角的范围是[0,π]，在使用向量数量积公式a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ时，要注意夹角θ的取值范围，特别是在根据数量积的正负判断夹角的大小时，要准确无误。
零向量：零向量的方向是任意的，且与任何向量平行。在涉及向量平行、垂直等问题时，要特别考虑零向量的情况，避免遗漏。例如，若a∥b，当b=0时，a可以是任意向量。
运算律的适用范围：向量的运算律有其适用范围，例如，向量的数量积不满足结合律，即(a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)。在进行向量运算时，要严格按照运算律的规则进行，不能随意类推实数运算的性质。
解三角形
正弦定理
内容
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC外接圆半径）
应用
已知两角和任一边，求其他边和角
已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（可能有两解、一解或无解）
余弦定理
a²=b²+c²−2bccosA，b²=a²+c²−2accosB，c²=a²+b²−2abcosC
推论
cosA=b²+c²−a²/2bc，cosB=a²+c²−b²/2ac，cosC=a²+b²−c²/2ab
三角形面积公式
公式
S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
巧法
遇到直角且题目复杂时建系
以直角顶点为原点，直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解三角形中的边、角等问题
边角互化
利用正弦定理和余弦定理将边化为角或角化为边，简化计算
