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事业单位考试—数量
这是一篇关于数量的思维导图，主要内容包括：容斥问题，最值问题，浓度问题，经济利润问题，植树问题，排列组合与概率问题，行程问题，计算方法，工程问题，方程法，倍数特性法，代入排除法。
编辑于2025-05-15 10:52:49- 事业单位考试
- 数量关系
- 相似推荐
- 大纲
数量
代入排除法
适用范围
特定题型
年龄问题
多少岁、几几年
【引例】某人2012年的年龄是3的倍数，2013年的年龄是4的倍数，2014年的年龄是5的倍数，则此人2015年的年龄是（）岁。A.56B.60C.61D.66
余数问题
“剩”、“余”、“缺”
【引例】一个数，除以7余3，除以8余1，这个数可能是多少？A.17B.18C.19D.20
多位数问题
三位数、四位数、五位数根据某些条件变化后，问多位数是多少
【引例】一个三位数，十位和个位对调，比原来大9，这个数可能是多少？ A.121B.123C.125D.127
不定方程问题
未知数个数多于方程个数
【引例】3x+2y=10，求：x、y的值 A.3、2B.2、2C.2、3D.1、2
选项信息充分
选项为一组数（问法：分别/各）
例：甲乙共有100个，……，问甲、乙分别为： A.90、10B.85、15C.80、20D.75、25
选项可转化为一组数
例：甲乙共有100个，……，问甲有几个： A.90B.85C.80D.75
题目复杂，直接求解不易
具体技巧
先排除
奇偶
引例：年龄是个奇数，豹哥最小几岁？ A.329B.289C.350D.492
倍数
尾数
再代入
代入原则
最值原则
问最大值，从最大的选项开始代入
问最小值，从最小的选项开始代入
从简原则
优先代入好算的选项
倍数特性法
定义
倍数特性是排除的一种方法，利用条件中的倍数，排错
整数倍的判定
常见数字
3的倍数：各位数字之和能被3整除
如：573（各位数字和为15，是3的倍数）
9的倍数：各位数字之和能被9整除
如：765（各位数字和为18，同时是3、9的倍数）
4的倍数：末两位能被4整除
如：520（20是4的倍数）、989804（4是4的倍数）
5的倍数：尾数0/5
如：100、365尾数是0、5，均是5的倍数
非常见数字
拆分
范围：所有数都可以拆分
拆成：n的若干倍±数
如：142是否为7的倍数，142=2+140，140是7的倍数，2不是7的倍数，所以142不是7的倍数
如：252是否为7的倍数，252=210+42，210和42都是7的倍数，所以252是7的倍数
余数型
前提
a、x均为整数
答案
若ax+b=答案，则（答案-b）是a的倍数
例：5人一组开黑，还剩3人，则共有（）人 A.12B.13C.14D.15
若ax-b=答案，则（答案+b）是a的倍数
例：5人一组开黑，还少3人，则共有（）人 A.12B.13C.14D.15
比例型
前提
A、B均为整数，m/n为最简整数比
假设
A/B=m/n
结论
A是m的倍数
B是n的倍数
A+B是m+n的倍数
A-B是m-n的倍数
注意
出现比例、分数、百分数、倍数，可考虑倍数特性
统一整理为A/B=m/n的形式，化成最简整数比
例题
已知冰箱：鸡蛋/鸭蛋=3/5， 则：（1）鸡蛋个数是3的倍数，设为3x。 （2）鸭蛋个数是5的倍数，设为5x。 （3）鸡蛋和鸭蛋总数是8的倍数，3x+5x=8x （4）鸡蛋和鸭蛋个数差是2的倍数，5x-3x=2x。
（1）鸡蛋个数与鸭蛋个数的比例是3：5（比例），鸡蛋/鸭蛋=3/5。 （2）鸡蛋个数是鸭蛋的3/5（分数），鸡蛋=鸭蛋*（3/5）→鸡蛋/鸭蛋=3/5。 （3）鸡蛋个数是鸭蛋的60%（百分数），60%=3/5。 （4）鸡蛋个数是鸭蛋的0.6倍（倍数），0.6=6/10=3/5
方程法
普通方程（组）
概述
未知数个数=方程个数
如：4x+8=28；（2x+3y=70，3x+7y=110）
步骤
设未知数
一般情况下
求谁设谁（避免陷阱，用得最多）
特殊情况下
设中间量
引例1：甲少得4分，乙的分数除以4后，两人分数相等，……，求乙？ 答：设中间量，设相等的分数为x，则甲=x+4，乙=4x
设小不设大，一般设比之后的值
引例2：甲比乙的3倍多2，……，甲是多少？ 答：设小不设大，设乙为x，则甲=3x+2。
按比例倍数设
引例3：……甲与乙的数量之比为2：3，……，乙是多少？ 答：按比例倍数设，设甲为2x，乙为3x
减少分数计算，方便列式
列方程（组）
找到等量关系，列式
题干关键词：共、和、总计、多/少
解方程（组）
方程组：消元
加减消元
代入消元
不定方程（组）
概述
未知数个数＞方程个数
如：4x+y=18；（2x+3y+5z=160，3x+7y+2z=230）
不定方程组先消元，变成不定方程，再求解
方法
未知数一定是整数
奇偶特性
未知数系数恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性
引例：3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数） A.2B.3C.4D.5
偶数倍是偶数，奇数倍不确定
加减法中，同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇
乘法中，有偶则为偶，全部为奇才为奇
倍数特性
未知数系数与常数有公因子时，考虑倍数特性
引例：7x+3y=60，x为多少？（x、y均为正整数） A.5B.6C.7D.8
解释：3y和60存在公因子3，考虑倍数特性，3y和60都是3的倍数，7x=60-3y=3*（20-y），等式右边是3的倍数，7x是3的倍数，7不是3的倍数，则x是3的倍数，只有B项符合
尾数法
当未知数的系数尾数为0或5时，考虑尾数
如：5x、15、10x、30x
引例：5x+3y=29，y=？（x、y均为正整数） A.1B.2C.3D.4
解释：5x的尾数为0或者5，29的尾数为9，则3y的尾数为9或者4
未知数不一定是整数（考得少）
特征
未知数不一定为整数
如：钱数
2种购买方案，求总和：x+y+z
方法
赋零法
赋任意1个未知数为零，赋值x或y或z为0，进而快速计算出其他未知数
一般赋系数最复杂的未知数为0，可简化计算
例题
例：有甲、乙、丙三种货物，若购买甲一件、乙三件、丙七件共需200元；若购买甲两件、乙五件、丙十一件共需350元。则购买甲、乙、丙共需（）元。 A.80B.100C.250D.200
答：甲、乙、丙三者的单价未知，设三者的三家分别为x、y、z，单价不一 定为整数，满足条件（1），两种购买方案，求甲+乙+丙，符合（2），列式： x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②，求x+y+z；赋值z=0，①*2-②：y=50，代入①：x=50，x+y+z=100，对应B项
最值问题
构造数列（和定最值）
题型识别
总和一定，求某个主体的最大值、最小值，此消彼长
方法
定位
确定求谁的什么值
反向
若求最大，其他尽可能小，从最小的开始构造
如：根据名次分为1、2、3、4，求第1名的最大值，其他尽可能小， 从最小的开始构造，第4名最小是1，第3名最小是2，第2名最小是3
若求最小，其他尽可能大，从最大的开始构造
如：根据名次分为1、2、3、4，求第4名的最小值，其他尽可能大，从最大的开始构造，第1名最大是100，第2名最大是99，第3名最大是98
注意：看题干是否有“各不相同”，没说，可以默认相同
求解
若结果不为整数，反向取整
如：最大为7.2，向下取整取7
如：最小为7.2，向上取整取8
例题
例题1
题目：要把19个苹果分给4个人，每人分的数量都不一样。则分得最多的人最少分几个？
答案：总和一定（19个苹果），求某个主体的最大值、最小值，和定最值问题。 ①定位：根据名次分为1、2、3、4，求分得最多的人的最小值，设第1名最小为x ②反向：和一定，此消彼长，求第1名的最小值，其他尽可能大，从最大的开始构造，每人分的数量都不一样，且不能比第1名x大，第2名最大是x-1，第3名最大是x-2，第4名最大是x-3 ③求解：x+x-1+x-2+x-3=19，4x=25，x=6.25，苹果无法分半个，最小值是6.25，向上取整取7
例题2
题目：要把19个苹果分给4个人，则分得最多的人最少分几个？
答：①定位：问分得最多的人最少分几个，设第1名最小为x。 ②反向：未提及互不相同，默认可以相同，求第1名最小，其他尽可能大，从最大的开始构造，第2名最大是x，第3名最大是x，第4名最大是x。 ③求解：x+x+x+x=19，4x=19，x=4.7，问最少向上取整取5。
例题3
题目：要把19个苹果分给4个人，每人分的数量都不一样。则分得最少的人最多分几个？
答：①定位：问分得最少的人最多分几个，设第4名最大为x。 ②反向：求第4名最大，其他尽可能小，从最小的开始构造，第3名最小是x+1，第2名最小是x+2，第1名最小是x+3。 ③求解：x+x+1+x+2+x+3=19，4x+6=19，4x=13，x=3.2，问最多向下取整取3。
例题4
题目：从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？
答案：6辆车载货总量为6*62=372吨，和一定，求某个数值的最大值或最小值，（1）定位：要求装货第三重的卡车最少要装多少吨，设为x。 （2）反向：要使装货第三重的卡车载重尽量小，则其他货车装载量应尽量多，已知最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨，由于每辆货车载重量各不相同，排名第二的要尽量大，不能大于71，则比71少1，为70；排名第四的不能超过x，则比x少1，为x-1；同理，排名第五的为x-2； （3）加和：71+70+x+（x-1）+（x-2）+54=372→3x=180→x=60
最不利构造
题型识别
至少……才能保证……
方法
保证数=最不利情况数+1
例题
例题1
题目：有4个红球，5个蓝球，8个黄球，至少拿几个，才能保证拿到红球？
答案：先拿出5个蓝球，8个黄球，最倒霉的情况=最不利数=5+8，再拿出1 个球一定能拿出红球，保证数=最不利数+1=5+8+1
例题2
题目：有4个红球，5个蓝球，8个黄球，至少拿几个，才能保证拿到6个相同颜色的球？
答案：先拿出4个红球，无法满足条件；再拿出5个蓝球，无法满足条件，最倒霉的情况是还拿出5个黄球，保证数=最不利数+1=4+5+5+1，保证数=最不利数+1=4+5+5+1
例题3
题目：有4个红球，5个蓝球，8个黄球，至少拿几个，才能保证拿到3个相同颜色的球？
答案：红球最多拿2个，蓝球最多拿2个，黄球最多拿2个，保证数=最不利+1=2+2+2+1
多集合反向构造
识别
都（同时、共同）……至少……
方法
常规方法
反向→求和→作差
题目：30名学生，其中23名小来，20名喜欢小照，18名喜欢帅志，问三 人都喜欢的至少有多少人？
答案：列式：总数-不喜欢=30-不喜欢，总数固定，要求都喜欢的最少，则要使不喜欢的人尽可能多，不喜欢小来、小赵、帅志的分别有30-23=7人、30-20=10人、30-18=12人，如果存在交集，则不喜欢的人数会变小，要使不喜欢的人数最多，则三部分没有交集，列式：30-（7+10+12）
无脑公式
公式
（A∩B）最小=A+B-全部
“全部”就是全部的数量（总体）
（A∩B∩C）最小=A+B+C-2*全部
（A∩B∩C∩D）最小=A+B+C+D-3*全部
（A∩B∩C∩D∩E）最小=A+B+C+D+E-4*全部
例题
题目：某单位在网上办公系统传阅了15份文件，甲阅读了9份，乙阅读了12份，丙阅读了10份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有多少份？
答案：三个主体，代入公式：A+B+C-2*全部=9+12+10-2*15=1
容斥问题
集合
两集合
公式
总数=A+B+都不-A∩B（背）
例题
题目：30人是来来的粉丝、35人是照照的粉丝，喜欢来来也喜欢照照的有5人， 10人两个都不喜欢，求班级总数？
答案：总人数=30+35+10-5
三集合
标准型
适用题型
分别给出两两交集（既……又）
如：有三个主体，且给出A∩B、A∩C、B∩C
公式
总数=A+B+C+都不+A∩B∩C-A∩B-A∩C-B∩C（背）
例子
一共有200人，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人？
非标准型
适用题型
统一给出满足两者
如：参加两项、喜欢两种
公式
总数=A+B+C+都不-满足两项-2*满足三项（背）
例子
参加合唱活动的有189人，参加象棋活动的有152人，参加羽毛球活动的有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为多少？
方法
公式法
题目中所给、所求都是公式中的一部分
画图法
情形
题目中所给、所求出现“只A”
方法
画图
几个集合，画几个圈
标数字
从交集开始标数、不重不漏
加和求解
根据选项，观察尾数
例题
题目：某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的比例是多少？
答案：有香蕉、香肠2个集合，出现“只吃香蕉”，是只满足某一种情况，考虑画图法，画两个圈代表2个集合，方框内、圈外为“都不”，从交集开始标数，图中有4个封闭空间，要求4个封闭空间不能重复，但是题目没有给出具体数，给比例求比例， 考虑赋值法。设两个都吃的狒狒数量为2，则只吃香肠的狒狒数量为3，吃香肠的狒狒数量为5，已知“吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3倍”，则吃香蕉的狒狒数量为15，只吃香蕉的狒狒数量为13，共有13+2+3=18个狒狒进食，已知“90%的狒狒有进食”，则狒狒总数=20，未进食的狒狒数量为2，所求=2/13
容斥最值
根据公式列式，分析最值情况
答案：给出两两之间交集，考虑标准型公式：全部=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩ C+都不，代入数据：全部=23+21+20-8-6-10+x+5→总数=45+x，要想总数最大，x 要最大，三门功课都90分以上的不可能超过6人，x最大为6，所求=45+6=51
经济利润问题
常规经济
必背公式
常用方法
方程法（找等量关系）
情形
给具体带单位（元、件、个）的数值
例子
商店购入400件同款春装……总共获利15000元……
赋值法（一般赋成本）
情形
无具体带单位的数值（给比例，求比例）
例题
题目：一批商品按50%的利润率定价；后来打8折销售，打折后的利润率为多少？
答案：没有出现任何带单位的具体值，只给了比例，求的利润率也是一个比例。赋值进价为100，定价为150，打8折后，售价为120，（120-100）/100=20%。
分段计费
计算方法
先按标准分开计算
计算之后再汇总
例题
题目：出租车3公里内起步价8元，超出3公里的部分每公里2元。 行驶12公里，收费多少元？
答案：0～3公里范围内无论走多少公里，收费都是8元。 总收费=8+（12-3）*2=8+9*2=8+18=26元
函数最值
题型特征
单价（单利）和销量此消彼长
求最大销售总额（总利润）
方法
设提价或降价次数为x，列方程，销售总额/总利润=（）*（）
令总销售额/总利润为0，解得x1、x2
当x=（x1+x2）/2时，取得最值
例题
题目：单价为30元，可卖出16件。若单价每提升3元， 销量会降低1件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
答案：设提价次数为x，销售总额y=（30+3x）*（16-x），令y=0，30+3x=0、16-x=0，解得x1=-10，x2=16。当x=（x1+x2）/2=（-10+16）/2=3时，销售总额最高，问的是单价，单价=30+3x=30+3*3=39。
工程问题
三量关系
总量=效率*时间
考查题型
给完工时间型
特征
出现两个及两个以上完工时间
一个主体或多个主体一次性完成这件工作花费的时间
如：甲做3天跑路了，乙接着做4天完成整个工程：3天和4天是分成两个不同阶段，不属于给完工时间型工程问题
如：一项工作，甲单独做4小时可以完成，乙单独做6小时可以完成，那么甲和乙合作需要多少小时能完成？这就是给完工时间型工程问题
步骤
赋总量
时间的最小公倍数
算效率
效率＝总量/时间
根据过程列式求解
例题
题目：一项工作，甲单独做4小时可以完成，乙单独做6小时可以完成，那 么甲和乙合作需要多少小时能完成？
答案：（1）赋总量（时间的最小公倍数）。赋值为4和6的最小公倍数12。 （2）算效率：效率＝总量/时间，甲=12/4=3，乙=12/6=2。 （3）根据过程列式求解。看问什么，t=w/p=12/（3+2）=12/5小时。
给效率比例型
特征
给效率比例关系
一般情形
直接给效率比例关系
间接给效率比例关系
给等量关系，整合出效率比例
例：甲干2天的工作相当于乙干3天的一半。 甲*2=乙*3*（1/2）→甲：乙=3：4
特殊情形
给人数或机器数
默认每人/每台机器效率相同
赋每人/每台机器效率为1
步骤
赋效率
满足比例即可，可适当放缩
一般情况下，比值是多少，直接就赋多少
算总量
总量=效率*时间
根据工作过程列式计算
例题
一般情形
题目：一项工作，甲乙两人工作时的效率之比为5：2，两人合作6天可以 完成，问乙单独工作需多少天完工？
答案：（1）赋效率：，赋值甲为5，乙为2。 （2）算总量：（5+2）*6=42。 （3）根据工作过程列式计算：t=W/P=42/2=21天
特殊情形
题目：某茶园需要在一定时间内完成采摘。前4天安排了20名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用10天完成全部采摘，至少还需要增加多少名采茶工？
答案：（1）赋效率，赋值每人效率为1。 （2）计算总量，20*1*4=80=1/5W，工作总量W=80*5=400。 （3）列式，假设每天人数为x，400-80=x*1*10，解得x=320/10=32。 故至少还需要增加的人数为32-20=12人。
给具体单位型
特征
给出具体工作效率或工作量
例：要修5000米的路（出现具体米数），每天修300米（出现具体效率）， 甲比乙每天多修10米（出现效率差值的具体值）
方法
方程法
设未知数
找等量关系列方程
行程问题
基础行程
基本公式
路程=速度*时间
单位换算
时间
1h=60min=3600s
速度
1m/s=3.6km/h
等距离平均速度
公式
平均速度=总路程/总时间
V̅=2V1V2/（V1+V2）
记忆：2积除和
适用范围
直线往返
去的速度是V1，回的速度是V2，去和回路程相同，可以用到等距离平均速度公式
等距离两段
B点是A、C的中点，AB段速度是V1，BC段速度是V2，符合等距离平均速度公式
上下坡往返
AC是上坡，设为V1，设为V2，走的距离是相同的，可以用等距离平均速度公式
例题
题目：甲往返两地的平均速度为多少？
答案：去的速度为V1，回的速度为V2，去和回走的路程相同，假设都是S，则V̅=S总/t总=2S÷[（S/V1）+（S/V2）]，可以约分，得到2÷（1/V1+1/V2)，继续整 理，对分母进行通分，变成2÷[（V1+V2）/（V1*V2）]=2V1V2/（V1+V2）
火车过桥
完全通过桥
S=L桥+L车
车身完全在桥上
S=L桥-L车
相对行程
相遇追及
相遇
通用公式
S和=V和*t
V和：两人各自的速度加和
类型
直线相遇
两人同时相向而行
S和：两人各自走的路程加和
环形相遇
同时同点出发、反向相遇
S和：相遇n次，S和=n圈*每圈长度
相遇1次，S和=1圈*每圈长度
相遇2次，S和=2圈*每圈长度
相遇n次，S和=n圈*每圈长度
直线两端出发多次相遇
S和：第n次迎面相遇，S和=（2n-1）*S
S：两人出发时相距的距离
追及
通用公式
S差=V差*t
V差：两人相差的速度
类型
直线追及
两人同时同向而行
S差：追及刚开始时两人相差的距离
环形追及
同时同点出发、同向追及
S差：追上n次，S差=n圈*每圈长度
追上1次，S差=1圈*每圈长度
追上2次，S差=2圈*每圈长度
追上n次，S差=n圈*每圈长度
流水行船
公式
V顺=V船+V水
V逆=V船-V水
注意
上游→下游，是顺水
下游→上游，是逆水
静水速度=船速
漂流速度=水速
排列组合与概率问题
排列组合
基础概念
分步分类
分步
分成几个步骤
分步相乘
题目：打算吃完饭去看一部电影，有3个餐厅、5部电影可供选择， 则有多少种不同的选择？
答案：整个计划分为两步，第一步吃饭，第二步看电影。 3个餐厅中选1个，5个电影中选1个，3*5=15种
能用“既……又……”造句
如：既要选择一个餐厅，又要选择一个电影
分类
分成几个类别
分类相加
题目：要选择1个地点约会，有3个博物馆、4个主题游乐园、 5个运动馆开放，有多少种不同的约会选择？
答案：把去博物馆、去主题游乐园、去运动馆的情况相加，3+4+5=12
能用“要么……要么……”造句
如：要么选博物馆，要么选游乐园，要么选运动馆，选择其中一个
排列组合
排列
概述
从n个物品中选择m个排成一列，有多少种排法？
题目：从8个同学中任选2人分别去数学比赛和英语比赛，有多少种情况？
答案：8个同学中选择2个人，必须安排谁去数学、谁去英语，
题目：4个同学坐成一排，有多少种情况？
答案：4个同学抽出来4个排位置，涉及到人一般有顺序，用
交换位置对结果有影响
计算
=从n开始往下乘m个数
=7*6*5=210（从7开始往下连续乘3个数）
=5*4*3*2*1=120（从5开始往下连续乘5个数）
=6，6个东西中选1个，有6种选法
组合
概述
从n个物品中选择m个组成一组，有多少种选法？
题目：从8个同学中任选2人一起去参加比赛，有多少种情况？
答案：8个人选2个人，用组合，只要选出来完成任务就行，
交换位置对结果无影响
正面思考复杂，可以考虑反面
所求=总情况数-反面情况数
问题：已知M、N两地间有6条并联网线，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4。若要从6条网线中任选3条，且要求能同时通过的最大信息量之和至少为6，则共有多少种选择方法？
答案：信息量之和至少为6，要≥6。1+3+4≥6，2+2+3≥6，2+3+4≥6，正向很难，可以考虑反向。所求=总情况数-反面（信息量之和＜6），观察网线，最小的信息量之和是1+1+2=4，比4大一点是1+1+3=5，1+2+2=5，可以把网线标号为a、b、c、d、e、f，和为4：可以选a、b、c，也可以选a、b、d。和为5：为1+1+3，a、b、e，1种情况。1+2+2，a、c、d或者b、c、d有2种情况。反面总情况有2+1+2=5种，代入计算，所求=C（6,3）-5=20-5=15
计算
=（5*4*3）/（3*2*1）=10
上角标的数字加和=下角标的数字，就可以进行转化
例子：C（5,3）=C（5,2），5个同学选3个扫大街和5个同学选2个同学在教室是一样的
=5，5个东西中选1个，有5种选法
常用方法
枚举法
题型特征
选项的情况数≤10
例题
题目：小王在商店消费了90元，口袋里只有1张50元、4张20元、8张10元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？
答案：问“共有几种付款方式”，为排列组合问题。观察选项 ，情况数均小于10，考虑枚举法，先枚举面值大的钞票。 （1）1张50元，2张20元，0张10元； （2）1张50元，1张20元，2张10元； （3）1张50元，0张20元，4张10元； （4）0张50元，4张20元，1张10元； （5）0张50元，3张20元，3张10元； （6）0张50元，2张20元，5张10元； （7）0张50元，1张20元，7张10元。一共有7种方式
捆绑法
题型特征
在一起/相邻/相连
方法
先捆，把相邻的捆绑起来看成一个整体
注意：捆绑过程需考虑内部有无顺序
再排，把捆后的“整体”与其他进行排列组合
例题
题目：3男生和3女生站成一排，3个女生必须站在一起，有几种情况？
答案：出现了关键词“必须在一起”，女生站在一起，需要考虑顺序，3个女生内部需要考虑顺序为A（3,3）。女生看成一个整体与男生排序，一共4个整体排序，是A（4,4）。既要把女生捆绑，又要把男生和女生进行排序，用乘法，A（3,3）*A（4,4）
插空法
题型特征
不在一起/不相邻/不相连
方法
先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位
再插：将不相邻的元素插入到符合条件的空位中
例题
题目：4个男生和2个女生站成一排，2个女生不能站在一起，有几种情况？
答案：先排男生，4个男生排位置是A（4,4），4个男生形成了5个空，从空 位中选出2个女生插进去，交换位置对结果有影响，用A（4,4）*A（5,2）。
错位重排
方法
错位重排数=前面两个错位重排数加和*前面元素个数
4个主体的错位重排数（考试经常考）：（1+2）*3=9
5个主体的错位重排数（考试经常考）（2+9）*4=44
6个主体的错位重排数（考试不会考）（9+44）*5=265
考试主要考查4个主体的错位重排数为9、5个主体的错位重排数为44（记住即可）
例题
例题1
答案：某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？
答案：“某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室”，即每个人不能回到自己的科室，为5个人的错位重排，结果为D5=44
例题2
题目：A、B、C、D、E、F，6个人一人拿出一只袜子，只有A闻自己的袜子，有几种情况？
答：排列组合问题，只要出现确定的就不用管，相当于是5个人的错位重排，对应44
例题3
题目：A、B、C、D、E、F，6个人一人拿出一只袜子，只有一个人闻自己的袜子， 有几种情况？
答案：6个人中选择1个人闻自己的袜子，C（6,1），还剩5个人，不闻自己的， 对应44，C（6,1）*44
例题4
题目：A、B、C、D、E、F，6个人一人拿出一只袜子，有两个人闻自己的袜子， 有几种情况？
答案：先选择2个人闻自己的袜子，没有顺序，C（6,2），剩下4个人错位重排， 对应9，C（6,2）*9。
概率问题
给情况求概率
概述
没有已知的概率，求概率
基本公式
例题
题目：5个男生、3个女生，任选2个人参加培训，都是女生的概率？
答案：总情况数从8个里面选2个，概率是C（8,2）,选女生的概率是C（3,2）, P=满足要求的情况数/总情况数=C（3,2）/C（8,2）=3÷[8*7/（2*1）]=3/28
给概率求概率
概述
有已知概率，求概率
方法
分类相加
P=P1+P2+P3+……
能用“要么……要么……”造句
题目：买同一期彩票，一等奖中奖概率为1%，二等奖中奖概率为5%， 三等奖中奖概率为10%，买一张彩票，中奖的概率为多少？
答案：要么中一等奖，要么中二等奖，要么中三等奖，分类相加， 所求=1%+5%+10%=16%
分步相乘
P=P1*P2*P3*……
能用“既……又……”造句
题目：买同一期彩票，一等奖中奖概率为1%，二等奖中奖概率为5%， 三等奖中奖概率为10%，买两张彩票，都中三等奖的概率是多少？
答案：既要第一张中三等奖，又要第二张中三等奖，分步相乘， 所求=10%*10%=1%
植树问题
基础植树
两端植树（单侧）
10米长的路，间距为2m/棵，两端植树棵数=10/2+1=6棵
单端植树、环形植树（单侧）
楼间植树（两端都不植）（单侧）
题目中有很多端点时，为了不重复计算端点，可以先用楼间植树的公式算出树的棵树， 再加上端点数的棵树
不移动植树
特征
已知前后间隔，求不移动的棵数
步骤
找总长
求前后间距的最小公倍数
套公式
例题
题目：两端植树（单侧），已知总长18米，开始间距是2米/棵，现在需要将间隔调为3米/棵，求不移动的棵数
答案：相同间距树不需要移动，说明间距是2的倍数也是3的倍数，是2、3的公倍数。最小公倍数是6，每6米有一棵不移动，不移动棵树=18/6+1=4
浓度问题
基本公式
如：90克水中加入10克糖，溶质为糖，溶剂为水， 溶液总质量=糖+水=10+90=100克， 浓度=10/（10+90）=10%
解题方法
方程法
根据混合前后的等量关系（一般溶质不变），列式解方程
题目：10%的A溶液x克，20%的B溶液y克，混合后浓度为14%，求x：y
答案：混合前后溶质不会发生变化，根据溶质不变列式：10%x+20%y=14%*（x+y）， 百分号可以约掉，10x+20y=14*（x+y），5x+10y=7x+7y，2x=3y。x/y=3/2
线段法
适用条件
两种溶液混合，浓度均已知
方法
混合之前写两边，混合之后写中间，距离与溶液成反比
例题
题目：10%的A溶液x克，20%的B溶液y克，混合后浓度为14%，求x：y
答案：混合之前的10%和20%写两边，混合之后的14%写中间。距离之比=（14%-10%）：（20%-14%）=4%：6%，距离和溶液成反比，x/y=6%/4%=3/2
赋值法
适用条件
给比例，求比例
方法
哪个量不变，给哪个量赋值
题型一
适用条件
溶质不变（反复蒸发水/加水）
方法
对溶质赋值，一般赋为浓度的公倍数
例题
题目：某盐溶液加入水混合后的浓度为4%，再加入同样多的水浓度变 为3%。如果再加入同样多的水，则溶液的浓度变为？
答案：反复加水，溶质不变，赋值溶质为4%和3%的公倍数12，已知溶质、浓 度，可以求溶液。第一次加水后，溶液=12/4%=300克，第二次加水后，溶液 =12/3%=400克，溶液质量差为100克，说明加水量为100克。第三次再加入同 样多的水，浓度=12/（400+100）=12/500=2.4%
题型二
适用条件
溶液不变（倒出、再用水加满），默认起初是满的
方法
溶液倒出n/m后加满水，浓度变为原来的（1-n/m）
例题
例题1
题目：一瓶浓度为50%的溶液，倒出1/10后，再加满水，此时浓度变为？
答案：赋值溶液为100，100*50%*（1-1/10）÷100=50%*（1-1/10）=45%，赋值的100实际上没有用到，以后遇到这类题目直接代入结论计算即可
例题2
题目：从一瓶浓度为25%的消毒液中倒出3/5后，加满清水再倒出3/5，又加满清水，此时消毒液的浓度为？
答案：25%*（1-3/5）*（1-3/5）=25%*（2/5）*（2/5）=10%*（2/5）=4%
溶液等量混合
溶液等量混合之后的浓度等于平均值
题目：10%、15%、20%、35%酒精溶液各50毫升混合，浓度为？
答案：混合后浓度=溶质/溶液=（50*10%+50*15%+50*20%+50*35%）/（50*4）=（10%+15%+20%+35%）/4=20%
计算方法
找最小公倍数
短除法
基本方法
分解到两两之间没有公因数
存在小数的方法
可以同时放大相同的倍数，再缩小相同的倍数
找1和0.8的最小公倍数，可以同时放大10倍， 变为找10、8的公倍数为40，再缩小10倍，为4