立体几何知识总结

立体几何初步的知识点有基本立体图形、立体图形的直观图、立体图形的表面积与体积、空间点、平面之间的位置关系、空间直线、平面的平行等。

立体几何初步

• 基本立体图形
  • 多面体
    • 分类
      • 棱柱
        • 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行
        • 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
        • 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
        • 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱
        • 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
      • 棱锥
        • 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
        • 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
        • 正四面体：四面都是全等正三角形
        • 正三棱锥：底面是正三角形，侧面三个等腰三角形全等
      • 棱台
        • 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
    • 定义：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
      • 2.面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面
      • 3.棱:两个面的公共边叫做多面体的棱
      • 4.顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
  • 旋转体
    • 定义：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的集合体叫做旋转体
      • 这条定直线叫做旋转体的轴
    • 分类
      • 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
      • 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
      • 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
• 立体图形的直观图
  • 斜二测画法（画直观图）
    • 1.横同2.纵半3.平行性不变
• 简单几何体的表面积与体积
• 空间点，直线，平面之间的位置关系
  • 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面（不共线的三点确定一个平面）
    • A∈α，B∈α，C∈α，A，B，C不共线，=>基本事实1
  • 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内那么这条直线在这个平面内
    • A∈l,B∈l,且A∈α，B∈α=>l⊂ɑ
  • 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
    • P∈ɑ，且P∈β=>ɑ∩β=l，且P∈l
  • 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
  • • （基本1+3个推论都能唯一确定一个平面）
  • 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
  • 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
  • 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
  • 点，线，面位置关系
    • 线线
      • 共面直线
        • 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
        • 平行直线：在同一平面内，没有公共点
      • 异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点
    • 线面
      • 1.直线在平面内——有无数个公共点
      • 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点
      • 3.直线与平面平行——没有公共点
    • 面面
      • 两个面相交-有一条公共直线
      • 两个面平行-没有公共点
• 空间直线，平面的平行
  • 1.找点做辅助线的方法
    • 取某线段中点，延长梯形两腰交于一点，取四边形两对角线中点
  • 2.线线平行：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（定理)
  • 3.线面平行
    • 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄ɑ，b⊂ɑ，且a∥b=>a∥ɑ
    • 性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
  • 4.面面平行
    • 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b=P,a∥ɑ,b∥ɑ=>β∥ɑ
    • 性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么这两条直线平行
  • 5.证明线线平行的方法:(1).构造三角形的中位线（2).构造平行四边形（3).线段成比例(4）.基本事实4（5）.两个面平行=>线面平行（6）.线面平行性质定理（7）.空间向量法
• 空间直线，平面的垂直
  • 1.线线角：0°≤β＜90° 线面角：0°≤β＜90° 面面角:0°≤β＜180°
  • 2.线线垂直的方法：（1）.勾股定理逆定理（2).三线合一（3).异面直线a与b所成的角为90°（4）.线面垂直必有线线垂直（5）.正方形或矩形的对角线（6）.直径所对的圆周角（7）.三角形全等（8）.a∥b，a⊥β=>b⊥β
  • 3.线面垂直
    • 判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 m⊂β，n⊂β，m∩n=P,l⊥m，l⊥n=>l⊥β
    • 性质定理：垂直于同一个平面内的两条直线平行
  • 4.面面垂直
    • 判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 a⊂ɑ，a⊥β=>ɑ⊥β
    • 性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
  • 5.找二面角的平面角的方法
    • （1）.定义法【已知点在棱上】（2）.三垂线定理法【已知点在ɑ内】（3）.垂面法（4）.射影法【无棱问题，cosθ=s'/s】（5).向量法
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