小学数与代数

这是一个关于小学数与代数的思维导图，将知识点进行了归纳整理，涵盖所有核心内容，非常方便大家学习。适用于考试复习、预习，提高学习效率。赶紧收藏一起学习吧！

小学数与代数

• 数的认识（一）
  • 数的分类
    • 数（按正数，0，负数分）
      • 正数
        • 正整数
        • 正分数（正小数）
      • 0
      • 负数
        • 负整数
        • 负分数（负小数）
    • 数（按整数，小数（分数）分）
      • 整数
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
          • -1，-2，-3......
      • 分数（小数）
        • 正分数（正小数）
        • 负分数（负小数）
    • 在数轴上表示数
      • 在数轴上，从左到右和顺序就是从小到大的顺序，位于右边的数总是大于位于左边的数。
  • 正数和负数
    • 正、负的定义
      • 正数的意义
        • 像1，2，3，4，5，6，7......这样的数叫做正数
      • 负数的定义
        • 像-1，-2，-3，-0.8......这样的数叫做负数
      • 0既不是正数，也不是负数，0是正、负数分界点
    • 正、负数表示相反意义的量，正数前面有“+”，负数前面有“-”，正数前面的“+”可以省略
    • 正数都大于负数。负号比较大小时，负号后面的数越大，这个负数反而越小
  • 整数的读法
    • 从高位到低位，一级一级的读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个0
  • 整数的写法
    • 从高位到低位，一级一级的写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数为上写0
  • 计数单位和数位及比较正整数大小
    • 计数器
      • 从右边起第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位。每一位上是几，就在这一位上拨几颗珠子
    • 计数器上每一位上的珠子所表示的含义
    • 数位和计数单位的区别
    • 多位数的大小比较
      • 看位数
      • 从高位一级一级的比较
        • 位数相同，从最高位比起，最高位大，这个数就大
        • 位数相同，从最高位比起，最高位大小相等，就依次比较下一位，相同数位上数字大的数就大
  • 整数的改写及求近似数
    • 改写整数
      • 把原数的小数点向左动移动4位或8位
      • 在数的后面写“万”或“亿”字
    • 省略尾数
      • 通过四舍五入法省略指定数位后面的尾数
      • 在相应的数后面写“万”或“亿”字
  • 倍数和因数
    • 因数的定义
      • 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身
    • 倍数的定义
      • 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的因数
    • 公倍数的定义
      • 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数，没有最大的公倍数
    • 公因数的定义
      • 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，公因数一定是正整数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
    • 奇数的定义
      • 自然数中，不是2的倍数叫奇数。最小的奇数是1，没有最大的奇数
    • 偶数的定义
      • 自然数中，是2的倍数叫偶数。最小的偶数是0，没有最大的偶数
    • 数的奇偶性
      • 偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数
    • 质数的定义
      • 如果一个数只有1与它本身两个因数，这个数叫做质数
    • 合数的定义
      • 如果一个数除了1和它本身两个因数之外，这个数叫做 合数
  • 2、5、3的倍数特征
    • 2的倍数特征
      • 个位是0，2，4，6，8
    • 5的倍数特征
      • 个位是0，5
    • 3的倍数特征
      • 每一位上的数之和是3的倍数
      • 3的倍数的特征:3的倍数特征是各数位上的数字之和是3的倍数。 ‌例如:561→5+6+1=12→12是3的倍数→561÷3=187 ‌口决记忆： 3的倍数真独特， 计算各位数字和。 只要和是3倍数， 此数就是3倍数。
      • 判断3的倍数的特征方法
        • 先算出各个数位上的数字之和，如果和3的倍数，那么这个数就是3的倍数；否则，就不是3的倍数。
      • 培优小帮手
        • 三个连续自然及其与0组成的数都是3的倍数。如:234，2034
        • 三个连续的奇数或偶数及其与0组成的数都是3的倍数。如:135，1305，246，2046
        • 三个相同的数字及其与0组成的数都是3的倍数，如:555，5055
    • 9的倍数特征
      • 9的倍数的特征:各个数字之和是9的倍数。
      • 如果一个数是9的倍数，那么这个数一定是3的倍数。
• 数的认识（二）
  • 小数的读写
    • 读写小数的时候，整数部分按照整的读写法来读写，小数部分从高位到顺次读写出每个数位上的数字
  • 小数的大小比较
    • 在较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大……
  • 小数的基本性质
    • 小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变
  • 小数的分类
    • 按整数部分是否为0分类
      • 纯小数
        • 整数部分为0的小数，例如：0.8，0.3……
      • 带小数
        • 整数部分不为0的小数，例如：1.5，4.73……
    • 小数部分不同分类
      • 有限小数
        • 小数部分数位是有限的
      • 无限小数
        • 小数部分数位是无限的
        • 无限循环小数
          • 意义：无限循环小数是指一个无限小数，如果从小数部分的某一位起都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数，简称“循环小数”，例如:3.333······
        • 无限不循环小数
          • 意义：无限不循环小数是指一个小数的数位无限多，而且小数部各个数位上的数字是不循环，这样的小数叫做无限不循环小数，例如:圆周率（π）3.1415926······
  • 分数的意义
    • 分数单位：分子是1的分数。如：1/2，1/3......
    • 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1分或几分的数叫做分数
    • 分数的读写
      • 分数的读法
        • 先读分母，在读"分之″，最后读分子
      • 分数的写法
        • 先写分数线，再写分母，最后写分子
  • 分数的分类
    • 真分数
      • 真分数的定义：分子比分母小的分数
    • 假分数
      • 假分数的意义：分子大于或等于分母的分数
    • 带分数
      • 带分数的意义：带分数是大于1的假分数的另一种写法
  • 分数的基本性质
    • 分数的基本性质
      • 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变
    • 分数的基本性质的应用
      • 约分
        • 把一个分数化成同它相等，但分子，分母较小的分数叫作约分，约分要把分数约成最简分数
      • 通分
        • 把几个分母不同的分数，分别化成和原来分数相等的同分母分数叫作通分
  • 分数与除法的关系
    • a÷b=a/b(b≠0)
      • 除法中的被除数相当于分数的分子，除法中的除数相当于分数中的分母。 除法是一种运算；分数是一种数，外面分数既可以表示具体数量，又可以表示两个量之间的关系
  • 百分数
    • 百分数的意义
      • 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
  • 小数分数百分数的互化
    • 小数分数百分数之间的互化
• 数的运算（一）
  • 四则运算的意义
    • 关系图
  • 加，减，乘，除法算式各部分之间的关系及四则运算的联系
    • 加法，减法，乘法，除法，算式各部分之间的关系
      • 加法
        • 加数 + 加数 = 和
        • 和 — 一个加数 = 另一个加数
      • 减法
        • 被减数 - 减数 = 差
        • 被减数 - 差 = 减数
        • 减法 + 差 = 被减数
      • 乘法
        • 一个因数 × 另一个因数 = 积
        • 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
      • 除法
        • 没有余数
          • 被除数 ÷ 除数 = 商
          • 被除数 ÷商 =除数
          • 除数 ×商 = 被除数
        • 有余数
          • 被除数 ÷除数 = 商 ...... 余数
          • 除数 × 商 + 余数 = 被除数
  • 加，减，乘，除计算法则
    • 加，减的计算法则
      • 整数加，减法
        • 将同数位对齐
        • 相同计数单位的数相加或相减
        • 若有哪1位满10就向前一位进1，不够减要向前一位退1
      • 小数加，减法
        • 把各数的小数点对齐(也就是把相同数位上的数对齐)
        • 按照整数加，减法的法则进行计算
        • 小数点要和加紧的数里的小数点对齐
        • 若小数部分末尾有0，便要先将0去掉
      • 分数加，减法
        • 分母相同时，只把分子相加、减，分母不变
        • 分母不相同时，要先通分成同分母分数，在相加、减
        • 能约分的要约分
          • 约分的注意事项： 1、分数的大小不变 2、约分的结果是最简分数
    • 乘法的计算法则
      • 整数乘法
        • 整数末尾有0的乘法:可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘积的末尾添几个0
        • 数位对齐
        • 从末位算起，依次用第二个因数去乘 第一个因数，用到第二个因数的哪一位，得数的末尾就和第二个因素的那一位对齐，然后把几次乘得的数加起来
      • 小数乘法
        • 按整数乘法法则算出积
        • 因数中一共有几位小数，就从得数的右边起算出几位，然后点上小数点
        • 如果小数部分末尾有0，一般要把0去掉
      • 分数乘法
        • 分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母
        • 能约分的要先约分
        • 计算
    • 除法的计算法则
      • 整数除法
        • 从被除数的最高位除起，先看除数有几位，就用除数试除被除数的前几位
        • 如果它比除数小，再试除多一位数，除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商，每次除后余下的数必须比除数小
      • 小数除法
        • 按照整数除法的法则去除
        • 商的小数点要和被除数的小数点对齐
        • 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补0再继续除
      • 分数除法
        • 将除数的分子和分母互换，即找到除数的倒数。
        • 将除法转换为乘法，即被除数乘以除数的倒数。
        • 进行乘法运算，即分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
        • 简化结果，如果可能的话，将分数约分到最简形式。
• 数的运算（二）
  • 括号的分类
    • 小括号
    • 中括号
    • 大括号
  • 四则混合运算的顺序以及比例尺
    • 两级运算
      • 一级运算
        • 加法
        • 减法
      • 二级运算
        • 乘法
        • 除法
    • 运算顺序
      • 有括号
        • 括号里面的，再算括号外面的，括号外面有乘除法，在依照两级运算的方法计算
      • 没有括号
        • 同级运算
          • 往右往右，依次计算
        • 两级运算
          • 先算乘除法，再算加减法
    • 比例尺
      • 图上距离/实际距离=比例尺 图上距离 : 实际距离=比例尺 ↓ 图上距离=实际距离×比例尺 ↓ 实际距离=图上距离÷比例尺
      • 比例尺的种类
        • 数值比例尺
        • 线段比例尺
        • 缩小/放大比例尺
      • 比例尺的意义
        • 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺
  • 简单应用题的类型
    • 简单应用题
      • 用一步计算解答的应用题
    • 用加，减，乘，除解答的应用题
      • 用加法解答的应用题
        • 求两个数的和
        • 求比一个数多几的数
      • 用减法解答的应用题
        • 求剩余
        • 求两个数相差多少
        • 求比一个数少几的数
      • 用乘法解答的应用题
        • 求几个相同加数的和
        • 求二个数的几倍或几分三几是多少
      • 用除法解答的应用题
        • 把一个数平均分成几份，求每份是多少
        • 求一个数里包含几个另一个数
        • 一个数是另一个数是几倍或几分之几
        • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数
  • “归一”问题
    • 总量÷数量=单一量
    • 先求出单一量
    • 再根据单一量，解决题中所要求的量
  • “归总”问题
    • 单一量×数量=总量
    • 先求出总量
    • 再根据总量算出总量
  • 行程问题
    • 1、同时异地相向而行：两地路程=速度和×时间 2、同时同地背向而行：路程=速度和×时间 3、同时异地同向而行(速度慢的在前，速度快的在后)：追及路程=速度差×追及时间 4、同时同地同向而行：相差路程=速度差×时间
    • 根据速度、时间和路程之间的关系，计算出相向、相背或同向运动的问题
  • 工程问题
    • 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率
    • 工作总量、工作效率和工作时间三个量之间的相互关系 (当题目不给出工作总量，解题时把工作总量看做单位“1″)
  • 分数问题（百分数问题）
    • 1、求一个数是另一个数的几(百)分之几 一个数÷另一个数 2、求一个数的几(百)分之几是多少 一个数×几(百)分之几 3、已知一个数的几(百)分之几是多少，求这个数 已知量÷几(百)分之几 4、求比一个数多(少)几(百)分之几的数是多少 一个数×[1±几(百)分之几] 5、已知比一个数多(少)几(百)分之几的数是多少，求这个数 已知量÷[1±几(百)分之几] 6、求甲数比乙数多吉百分之几 (甲数-乙数)÷乙数 7、求乙数比甲数少几(百)分之几 (甲数-乙数)÷甲数 8、利息=本金×利率x时间 应纳税额=总收入×税率 税率=应纳税额/总收入×100%
    • 找准标准量
    • 是用乘法还是用除法
      • 若单位“1”已知
        • 用乘法计算
      • 若单位“1”不知
        • 用除法计算
  • 比的问题
    • 方法一
      • 先求出总分数
      • 求各部分量占总数的几分之几
      • 用总数和各部分量占总数的几分之几，求各部分量
    • 方法二
      • 求出每份是多少
      • 求每份数和各部分量所占的份数
      • 求各部分量
  • 分数问题
    • 分数前面的那个量就是单位“1”
    • 要找准单位1
  • 本金，利率，利息的问题
    • 本金×利率×时间=利息 利息÷利率÷时间=本金
  • 植树问题
    • 总长度÷间隔距离=间隔数 间隔数+1=植树棵树(两端都植)
• 数的运算（三）
  • 估算的方法
    • “四舍五入”法的定义
      • 要保留到哪一位，就看它的下一位
        • 下一位小于5，就舍去。 下一位大于等于5，也舍去，然后再向前进1。
    • “进一”法
      • 在取近似值时，把舍去的部分去掉后，在保留部分的末尾加上1
    • “去尾”法
      • 在取近似值时，把舍去的部分去掉后，所保留的数不变
  • 加，减，乘，除的估算
    • 加减法估算
      • 先把加数（或被减数、减数）看成与其接近的数，求出近似数，然后按近似数求和（或差），这样就知道“和”或“差”大致接近哪个数了
    • 乘法估算
      • 一个因数是另一个因数的乘法估算
        • 先把另一个因数看成和他接近的数，求出这个近似数，再和这个一位数相乘
      • 因素是两位数或两位数以上的数的乘法估算
        • 先把两个因数的最高位后面的尾数四舍五入，分别求出它们的近似数，再把这两个近似数相乘
    • 除法估算
      • 除数是一位数的除法估算
        • 如果被指数最高位上的数比除数大，那么就把被除数最高位后面的尾数四舍五入；如果被除数最高位上的数比除数小，就先把被除数前两位后面的尾数四舍五入，再用求得的近似数除以除数
      • 除数是两位数的除法估算
        • 分别求出除数和被除数的近似数，把除数后面的尾数四舍五入。，如果被除数最高位上的数比除数十位上的数大，就把被除数最高位后面的尾数四舍五入；如果被除数最高位上的数比除数十位上的数小；就先把被除数前两位后面的尾数四舍五入，再求这两个近似数的商
• 数的运算（四）
  • 运算律
    • 加法交换律
      • a+b=b+a
      • 两个数相加，交换加数的位置，和不变
    • 加法交换律
      • （a+b）+c=a+（b+c）
      • 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变
    • 乘法交换律
      • a×b=b×a
      • 两个数相乘，交换因数的位置，积不变
    • 乘法结合律
      • （a×b）×c=a×（b×c）
      • 三个数相乘，先乘两个数，再乘第三个数或者先乘后两个数，再乘第一个数，积不变
    • 乘法分配律
      • （a+b）×c=a×c+b×c
      • 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变
    • 减法的运算性质
      • a-（b+c）=a-b-c
      • 三个数连减，先把第一个数和第二个数相减，再减第三个数或者先把后两个数相加，再用第一个数减去它们的和，差不变
    • 除法运算性质
      • ❶a÷b÷c=a÷（b×c）（b≠0,c≠0） ❷（a+b）÷c=a÷c+b÷c（c≠0）
      • 三个数连除，先把第一个数和第二个数相除，再除以第三个数或者先把后两个数相乘，再用第一个数除以它们的积，积不变
• 式与方程
  • 用字母表示数及公式、规律
    • 用字母表示数
      • 用字母或含有字母的式子可以表示数（包括整数，小数，分数，和百分数），也可以表示数量关系，运算律和计算公式
      • 在含有字母的式子里字母就读字母的名称，字母与字母，字母与数字之间的乘号可以记作“·”或省略不写
        • 但是在省略乘号的时候，应当把数字写在字母的前面，如a×4=4·a=4a
    • 用字母表示公式和规律
      • 计算公式
      • 运算律
  • 等式与方程
    • 等式与方程
      • 等式
        • 等式的意义
          • 表示相等关系的式子
        • 等式的条件
          • 左边的和等于右边的和
          • 式子里有等式
      • 方程的意义
        • 含有未知数的等式
      • 等式与方程的关系
        • 方程一定是等式，等式不一定是方程
    • 方程的解和解方程
      • 方程的解的意义
        • 解方程的解是一个数
        • 使方程左右两边相等的未知数的值
      • 解方程的意义
        • 解方程是一个过程
        • 求方程的解的过程
      • 解方程的依据
        • 等式的基本性质
          • 等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边都乘或除以同一个不为0的数，但是仍然成立
    • 检验方程解的方法
      • 将求得的未知数的值代入原方程
        • 代入原方程就是把方程中的字母换成求得的未知数的值
  • 列方程解应用题的一般步骤
    • 找数量关系
    • 设未知数
    • 列方程
      • 要找出题目中数量间的相等关系
    • 解方程
    • 检验，作答
      • 好习惯：题目中如果没有要求的话，即可在草稿纸上进行检验
• 正比例与反比例
  • 比
    • 比的意义
      • a：b=a÷b=a/b（b≠0）
      • 两个数相除就叫这两个数的比
        • 如：3÷5=3:5
    • 比的基本性质
      • 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
    • 比、除法、分数的关系用字母表示
    • 求比值和化简比
  • 比例
    • 比例的意义
      • 表示两个比相等的式子叫作比例
    • 比例的意义的应用
      • 判断两个比能否组成比例
    • 比例的基本性质
      • 一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积
    • 比例的基本性质的应用
      • 应用比例的基本性质可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例
  • 正、反比例的意义
    • 正比例的意义
      • y/x=k（一定）
      • 两个相关联的量
      • 比值一定
    • 反比例的意义
      • y×x=k（一定）
      • 两个相关联的量
      • 乘积一定
  • 判断正、反比例的方法
    • 判断两个量是否成正比例的方法
      • 是不是两个相关联的量
      • 一个量是不是随着另一个量变化而变化
      • 相对应的两个数的比值是否一定
    • 判断两个量是否成反比例的方法
      • 是不是两个相关联的量
      • 一个量是不是随着另一个量变化而变化
      • 相对应的两个数的积是否一定
  • 比值的意义
    • 前项除以后项的值，而且比值是一个数
  • 解比例的方法
    • 根据比例的基本性质，把比例转化成一般的方程
• 常见的量
  • 人民币的单位和它们之间的关系
    • 人民币的单位
      • 元
      • 角
      • 分
    • 人民币单位间的进率(相邻的进率是10)
      • 1元=10角
      • 1角=10分
      • 1元=100分
    • 关系图
  • 质量
    • 质量单位
      • 克(g)
      • 千克(kg)
      • 吨(t)
    • 质量单位间的进率(相邻的进率是1000)
      • 1千克=1000克
      • 1吨=1000千克
      • 1吨=1000000克
    • 关系图
  • 时间
    • 时间单位
      • 世纪
      • 年
      • 季度
      • 月
        • 每个月中的1~10日是上旬，11~20日是中旬，21~月末是下旬
      • 星期
      • 日
      • 时
      • 分
      • 秒
    • 常考
      • 1小时=60分钟
      • 1分钟=60秒
      • 1小时=360秒
    • 关系图
      • 关系图1
      • 关系图2
    • 24计时法
      • 从下午1点开始发生变化，直到晚上12点，下面是它们所对应的时间： 下午1点=13点 下午2点=14点 下午3点=15点 下午4点=16点 下午5点=17点 傍晚6点=18点 傍晚7点=19点 晚上8点=20点 晚上9点=21点 晚上10点=22点 深夜11点=23点 深夜12点=24点
      • 24计时法的定义
        • 采用0时～24时的计时方法，通常叫做二十四计时法
      • 24计时法
        • 时针走第一圈时，钟面上的时数于普通计时法相同
        • 时针走第二圈时，就等于钟面上的时数加上12
  • 名数的意义与改写
    • 名数的意义
      • 计算的结果，要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把它们合起来叫作名数
    • 名数的分类
      • 单名数
        • 只有1个单位名称
      • 复名数
        • 复名数的改写： 1、单名数化成复名数的方法： ❶分解成整数部分，就是相同单位上的数 ❷小数部分化成低级单位上的数 2、复名数化成单名数
        • 带有2个或2个以上的单位名称
    • 单位换算的方法
      • 高级单位换成低级单位就乘进率，低级单位换成高级单位就除以进率
• 探索规律
  • 数字规律
    • 等差排列
    • 等比排列
    • 相邻奇（偶）位上数字差值相等
    • 累加递增
  • 图形规律
    • 数线段
      • （n-2）+（n-2）......+2+1（n为线段上的总点数）
    • 数小长方形的个数
      • 长边上的线段条数×短边上的线段条数